精品解析：上海市南洋模范中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

南模中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角的范围和同角三角函数平方关系可得，由同角三角函数商数关系可得结果. 【详解】，，， . 故答案为：. 2. 四边形为菱形，其中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 3. 已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数定义计算可得，再由角以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由题可知， 将角的终边逆时针旋转得到角，可得， 因此； 所以. 故答案为： 4. 若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，化简求. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 所以，因为不恒为， 所以，所以. 故答案为：. 5. 已知的表达式为的部分图象如图，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据最大值可知，利用可求得，由此可得，代入即可. 【详解】由图象知：，； ，，， 又，，， . 故答案为：. 6. 已知是方程的两个实数根，则______． 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据韦达定理以及正切的和差角公式可得，即可利用正弦二倍角公式以及相切互化齐次式求解. 【详解】因为是方程的两个实数根， 所以 因此 ， 故答案为： 7. 已知，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，并将正切化简为正弦和余弦公式，即可求解. 【详解】， ， 由， 则， . 故答案为： 8. 在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 【答案】; 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 9. 如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，由两角差的正弦展开式结合诱导公式可求. 【详解】由题意可得，，，， 所以， 所以 . 故答案为： 10. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，则， 任取， 则， 因为， 所以，则， 所以在上为增函数， 所以有解， 所以有解，即， 设，又得，， 则，当且仅当时等号成立， 由双勾函数的单调性知，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故答案为：． 11. 已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出的图象，设，得到方程，设结合图象，要使得方程有6个不同的根，则满足或，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，当时， ， 因为，可得，所以在单调递增，， 又由时，为单调递减函数，且， 因为函数是上的偶函数，画出函数的图象，如图所示， 设，则方程可化为， 由图象可得： 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有4个实数根； 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有1个实数根； 要使得有6个不同的根， 设是方程的两根，设， ①，当时，可得，可得， 此时方程为，解得，不满足，所以无解. ②，即，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解. 12. 设函数，其中、为已知实常数，. 下列所有正确命题的序号是____________．　 ①若，则对任意实数恒成立； ②若，则函数为奇函数； ③若，则函数为偶函数； ④当时，若，则. 【答案】①②③④. 【解析】 【分析】对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出； 对于②，根据奇函数的定义可得出结论； 对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论； 对于④，根据得 ，于此得出结论. 【详解】对于命题①，若，则， 则 ， 函数为奇函数， 若，则 ， ， 函数为偶函数， 若，则函数既是奇函数，又是偶函数，即，命题①正确； 对于命题②，由①的证明过程可知，当时，函数为奇函数，命题①正确； 对于命题③，由①的证明过程可知，当时，函数为偶函数，命题②正确； 对于命题④，当时， ， 令， ，则， 由辅助角公式得， 其中，， ，则、是函数的两个对称中心点， 函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半， 因此，，命题④正确. 故答案为①②③④. 【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题. 二、选择题（本大题共4题，满分18分） 13. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】由题意可得， 又因为 所以. 故选：B 14. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除. 【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应D中图象， 当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应C中图象， 当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应B中图象， 综上只有A不可能， 故选：A 15. 定义运算：，对于函数和，把函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意将写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可. 【详解】由题意,先化简,则. 故,故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义的问题进行分析即可.属于中等题型. 16. 已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，的夹角为，且，设. （1）若，求实数； （2）若，求实数； （3）时，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，列式计算得解. （2）利用共线向量定理列式求解. （3）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【小问1详解】 由的夹角为，且，得， 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，而不共线，则，解得， 所以. 【小问3详解】 当时，，， ， 且，则， 所以与的夹角的余弦值为. 18. 设函数的表达式为. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，函数，当，且时，有，求的值. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的单调性计算 （2）由题意求出的解析式，化简后利用对称性求解 【小问1详解】 令，解得 时，单调递增区间为和 【小问2详解】 由题意 令，解得为的对称轴 ，，此时 19. 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案. 第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）. 第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）. 实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米. （1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）； （2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由. 【答案】（1）第一小组：428米，第二小组：417米 （2）优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁； 不足：①的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高； 第二组方案 优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需要的工具少； 不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差 【解析】 【分析】（1）对于第一小组，利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求； （2）从测量难易程度以及数据的误差，对比分析. 【详解】解：（1）第一小组：在中得，；在中得， 因为即 得米 米 第二小组：,得 同理得， 因为得 所以=米 所以米 （2）略 【点睛】本题考查利用所学数学知识建立数学模型解决实际问题，属于基础题. 20. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】（1），. （2） （3）68 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾函数最值即可求解； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【小问1详解】 . 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，且， 因为，则函数在上单调递减， 由，解得， 则的最大值为，故. 【小问3详解】 令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， 则， 因， 所以. 21. 已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”． （1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值； （2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”； （3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 设， 所以为奇函数， 当时， 显然此时单调递减， 利用奇函数的性质可知，在定义域内严格单调递减； 假设存在“保值区间”为 则 又因为，故， 所以有解得， 显然与已知矛盾，故不存在“保值区间”. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用题中的概念求参数即可； （2）先判断奇偶性，然后再利用复合函数的单调性判断单调性，然后假设存在“保值区间”存在来求保值区间，最后发现无解，就证得结果； （3）利用二次函数的单调性和开口方向讨论两个函数在的最值，然后根据题中的概念求解即可. 【小问1详解】 由题可知函数开口向上，且对称轴为， 所以在单调递减， 根据题意可知， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，此时， 若，因为存在使得为函数的“保值区间”， 所以有， 此时， 显然，此时是的“保值区间”， 故满足题意； ②当时，函数的图像开口向上，且对称轴为 若，即，函数在上单调递增， 所以有， 因为，得， 此时的图像开口向下，对称轴为， 所以在单调递减， 所以有，故是的“保值区间”； 若，此时的“保值区间”为， 所以有，且， 由易知， 因为均为函数的“保值区间”， 所以有，， 所以有， 不满足，故此时无解； 若， 易知， 同上可知，， 不满足条件，故此时无解； 若，此时函数在上单调递减， 得， 此时的图像开口向下，对称轴为， 所以在单调递增， 此时得 ， 因为， 此时均为函数的“保值区间”； 所以满足题意. 综上所述，若存在使得均为函数的“保值区间”，则. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南模中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，，则___________. 2. 四边形为菱形，其中，，则__________. 3. 已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，则______． 4. 若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 5. 已知的表达式为的部分图象如图，则___________. 6. 已知是方程的两个实数根，则______． 7. 已知，，则_________________． 8. 在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 9. 如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为________. 10. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 11. 已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是______. 12. 设函数，其中、为已知实常数，. 下列所有正确命题的序号是____________．　 ①若，则对任意实数恒成立； ②若，则函数为奇函数； ③若，则函数为偶函数； ④当时，若，则. 二、选择题（本大题共4题，满分18分） 13. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 14. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 15. 定义运算：，对于函数和，把函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则 A. B. C. 1 D. 16. 已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，的夹角为，且，设. （1）若，求实数； （2）若，求实数； （3）时，求与的夹角的余弦值. 18. 设函数的表达式为. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，函数，当，且时，有，求的值. 19. 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案. 第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）. 第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）. 实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米. （1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）； （2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由. 20. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 21. 已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”． （1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值； （2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”； （3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $