专题04 平面内的两条直线（考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材湘教版

清单04 平面内的两条直线（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平行线 1.平行线的定义与表示 在同一平面内，没有公共点 的两条直线叫作平行线.平行用符号“// ”. 2.平行线的画法 过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤: 一落:把三角板的一边落在已知直线上。 二靠:紧靠三角板的另一边放一直尺， 三移:沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。 四画:沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线 3. 平行线的基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 4. 平行线的基本事实的推论：平行于同一条直线的两条直线平行即如果a//b,c//b,那么a//c· 清单02 相交直线所成的角 1.对顶角 (1)定义;有共同的顶点,且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的一对角叫作对顶角. (2)性质:对顶角相等 2.同位角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。 如图中的∠1与∠5。 3.同位角判断方法： 同位角的结构特征形成“F”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“F”来判断。 表示出图中其他的同位角： ∠4与∠8，∠2与∠6，∠3与∠7 。 4.内错角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。 如图中的∠4与∠6。 5.内错角判断方法： 内错角的结构特征形成“Z”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“Z”来判断。 表示出图中其他的内错角： ∠3与∠4 。 6.同旁内角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 如图中的∠4与∠5。 7.同旁内角判断方法： 同旁内角的结构特征形成“U”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“U”来判断。 表示出图中其他的同旁内角： ∠3与∠6 。 清单03 平移 1. 平移的定义：把图形(I)上每一个点沿 同一方向移动 相同的距离,得到另一个图形(Ⅱ),我们把图形的这种变换叫作一平移它由移动的方向和距离所决定，原图形(I)叫作原像,平移到新位置后的图形(I)叫作原图形在平移下的像. 2. 平移的基本性质：(1)一个图形和它经过平移所得的图形中两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等 (2)平移保持任意两点间距离不变,保持角的大小不变 (3)直线在平移下的像是与它平行的直线(或者与它是同一条直线) 清单04 平行线的性质 性质1两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.通常简单说成:两直线平行同位角相等 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,通常简单说成:两直线平行内错角相等 性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,通常简单说成:两直线平行,同旁内角互补 清单05 平行线的判定 平行线的判定： 清单06 垂线 1. 垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。若直线a与直线b垂直，表示为。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是直角。 2.经过一点作已知直线的垂线的画法： （1） 用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线重合。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过已知点。 ③沿与已知直线不重合的边画直线，这条直线即为已知直线的垂线。 （2） 用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线重合。 ②移动量角器使90°刻度线经过 已知点，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 3.垂线的性质： 在同一平面内，过一点 有且只有1条直线与已知直线垂直。 4.垂线段的概念： 过直线外一点作已知直线的垂线，点到垂足之间的部分叫做垂线段。 5.垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中，垂线段最短。 6.点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度是直线外一点到该直线的距离。 清单07 两条平行线间的距离 1.公垂线与公垂线段 (1)公垂线与公垂线段;与两条平行直线都垂直的直线,叫作这两条平行直线的公垂线,这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. (2) 两条平行线的所有公垂线段都相等 . 2.平行线间的距离 (1) 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 【考点题型一】平行公理的应用（） 【例1】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【变式1-1】下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（    ） A．一定与两条平行线都平行 B．可能与两条平行线都相交或都平行 C．一定与两条平行线都相交 D．可能与两条平行线中的一条平行或相交 【变式1-2】如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【变式1-3】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【考点题型二】平行公理推论的应用（） 【例2】若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【变式2-1】如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 【变式2-2】工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【变式2-3】下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【考点题型三】利用对顶角进行计算（） 【例3】如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 ． 【变式3-3】如图，直线和相交于点O，平分，，则 ． 【考点题型四】分辨“三线八角”（） 【例4】下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A． B． C．D． 【变式4-1】如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】图1为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用来提升重物的装置．图2为其平面示意图，图2中与互为内错角的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【考点题型五】平移的概念（） 【例5】下列不属于平移现象的是（   ） A．升降电梯上下移动 B．电风扇扇叶的转动 C．拉抽屉 D．传送带上物品传输 【变式5-1】下列生活现象中，属于平移的是（   ） A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸 C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动 【变式5-2】如图，通过平移上边的吉祥物，可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】每年的3月22日至3月28日是“中国水周”，国家节水标志由水滴、手掌和地球三部分变形组成．下列图形中，可以通过平移左侧节水标志得到的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】利用平移的性质求解（） 【例6】如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式6-1】如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 【变式6-3】如图所示，是由沿箭头方向平移得到的． (1)，求的度数； (2)若，求，的长． 【考点题型七】利用平移解决实际问题（） 【例7】某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【变式7-2】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 【变式7-3】如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【变式7-4】如图（1），在长为，宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯曲小路如图（2），草地部分的面积 （填“变大”或“不变”或“变小”）． 【考点题型八】平移(作图)（） 【例8】如下图，在正方形网格中有两个三角形，将下面的三角形通过平移与上面三角形拼合成一个四边形，用不同的平移方法分别在图1，图2中画出符合题意的图形． 【变式8-1】如图为的方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有线段（端点A、B均在小正方形的顶点上），将线段平移得到线段，使点A移至点M的位置，点B移至点N的位置（M、N均在小正方形的顶点上），设平移过程中线段扫过的面积为S． (1)请在图1中画出线段，并直接写出S的值． (2)请在图2中画出线段，并直接写出S的值． (3)若，请在图3中画出线段． 【变式8-2】画图并填空： (1)画出三角形先向右平移6格，再向下平移2格得到的三角形； (2)线段与线段的关系是___________． 【变式8-3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把三角形进行平移，得到三角形，使点与对应． (1)请在网格中画出三角形； (2)将三角形向右平移5格，再向上平移________格可以得到三角形； (3)连结，，．请任意写出图中的两组平行线段（不再额外添加字母）：________． 【考点题型九】利用平行线的性质求解（） 【例9】如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，直线，是截线，，．那么的大小为（   ）    A． B． C． D． 【变式9-2】如图，直线，若，则 ． 【变式9-3】已知，是反向延长线上的一点． (1)如图①，若，平分，，则的大小为______（度），的大小为______（度），的大小为______（度）． (2)如图②，若，是的平分线，，求的大小． 【考点题型十】平行线的性质在生活中的应用（） 【例10】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（　　） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【变式10-2】为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【变式10-3】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 【考点题型十一】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例11】如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 【变式11-1】本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【变式11-2】如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【变式11-3】已知直线 ，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【考点题型十二】选择合适的方法判定两直线平行（） 【例12】如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【变式12-1】如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【变式12-2】如图，，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式12-3】已知：如图，．求证：． 【考点题型十三】根据平行线判定与性质求角度（） 【例13】如图，已知，则(   ) A． B． C． D． 【变式13-1】如图，，平分，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【变式13-3】将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，若，则的度数为 ． 【变式13-4】.如图，的边上有两点，，过点，分别作于点，作于点．若，求的度数． 【考点题型十四】根据平行线判定与性质证明（） 【例14】如图，已知，，求证：． 【变式14-1】如图，，分别平分和． (1)求证：． 请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由． 证明：（已知）， ______（______）． 分别平分和（已知）， ，（______）， ． ____________（______）． （______）． (2)若，则的大小为______（度）． 【变式14-2】综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【变式14-3】如图，点，分别在，上，交于点，交于点、，．试问与平行吗？请说明理由． 【变式14-4】如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【考点题型十五】利用垂直的概念求角的度数（） 【例15】如图，直线与交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，直线，垂足为，直线经过点，，则的大小 （度）． 【变式15-2】如图，若，垂足为O，则 度． 【考点题型十六】判断两直线是否垂直（） 【例16】如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式16-1】下面是一道题的证法，清在后面的括号内填上推理的依据： 已知：如图，．求证：． ∵（已知）， （________________________________）． （已知）， （_________________）， （等量代换）， （__________________）． 【变式16-2】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 【变式16-3】如图，，垂足为F．求证：． 【考点题型十七】点到直线的距离的计算（） 【例17】如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式17-1】如图点为直线外一点，点到直线上的点的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B．小于 C．大于 D．不大于 【变式17-2】如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【变式17-3】如图，已知三角形，点D在边上． (1)过点A作的平行线； (2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ； (3)测量点B到直线的距离为 （精确到）． 【考点题型十八】求平行线间的距离（） 【例18】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【变式18-1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式18-2】如图，将线段平移至线段，连接，，为线段延长线上一点，连接交于点，若，三角形与三角形的面积之和为为直线上一点，连，当的最小值为12时，则的长为 ． 【变式18-3】如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【考点题型十九】利用平行线间距离解决问题（） 【例19】如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ）    A．的大小 B．的周长 C．的面积 D．以上答案都不对 【变式19-1】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 一、单选题 1．如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 2．如图，，，则点O到PR所在直线的距离是线段（    ）的长． A．OQ B．OR C．OP D．PQ 3．下列图形不是由平移而得到的是(   ) A．B．C． D． 4．如图，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（　　） A．34° B．56° C．66° D．54° 5．如图，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有(    )    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（    ） A．B．C． D． 7．在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（ ） A．26° B．64° C．52° D．128° 9．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移 格得到 11．如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是 ，点B到点A的距离是 ． 12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ． 13．如图，AE⊥BC于点E，∠1＝∠2，则∠BCD＝ °. 14．如图所示，能判定直线AB∥CD的条件是 (填一个你认为正确的答案即可)． 15．如图，两幢互相平行的大楼顶部各有一个射灯，当光柱相交时，∠1＋∠2＋∠3＝ °. 16．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数 ． 三、解答题 17．如图，已知AB∥DC，∠A＝∠C，试说明：∠B＝∠D． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM. (1)若∠BOD＝70°，求∠AOM和∠CON的度数； (2)若∠BON＝50°，求∠AOM和∠CON的度数． 19．如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，且∠1＋∠2＝90°．猜想∠2与∠3的关系，并说明理由．    20．已知，，，试回答下列问题： （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点E，F在BC上，且满足，并且OE平分，试求的度数； （3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则的值是否发生变化？请说明理由R        3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 平面内的两条直线（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平行线 1.平行线的定义与表示 在同一平面内，没有公共点 的两条直线叫作平行线.平行用符号“// ”. 2.平行线的画法 过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤: 一落:把三角板的一边落在已知直线上。 二靠:紧靠三角板的另一边放一直尺， 三移:沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。 四画:沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线 3. 平行线的基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 4. 平行线的基本事实的推论：平行于同一条直线的两条直线平行即如果a//b,c//b,那么a//c· 清单02 相交直线所成的角 1.对顶角 (1)定义;有共同的顶点,且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的一对角叫作对顶角. (2)性质:对顶角相等 2.同位角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。 如图中的∠1与∠5。 3.同位角判断方法： 同位角的结构特征形成“F”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“F”来判断。 表示出图中其他的同位角： ∠4与∠8，∠2与∠6，∠3与∠7 。 4.内错角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。 如图中的∠4与∠6。 5.内错角判断方法： 内错角的结构特征形成“Z”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“Z”来判断。 表示出图中其他的内错角： ∠3与∠4 。 6.同旁内角的定义： 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 如图中的∠4与∠5。 7.同旁内角判断方法： 同旁内角的结构特征形成“U”，所以把需要判断的两个角抽离出原图，然后用“U”来判断。 表示出图中其他的同旁内角： ∠3与∠6 。 清单03 平移 1. 平移的定义：把图形(I)上每一个点沿 同一方向移动 相同的距离,得到另一个图形(Ⅱ),我们把图形的这种变换叫作一平移它由移动的方向和距离所决定，原图形(I)叫作原像,平移到新位置后的图形(I)叫作原图形在平移下的像. 2. 平移的基本性质：(1)一个图形和它经过平移所得的图形中两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等 (2)平移保持任意两点间距离不变,保持角的大小不变 (3)直线在平移下的像是与它平行的直线(或者与它是同一条直线) 清单04 平行线的性质 性质1两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.通常简单说成:两直线平行同位角相等 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,通常简单说成:两直线平行内错角相等 性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,通常简单说成:两直线平行,同旁内角互补 清单05 平行线的判定 平行线的判定： 清单06 垂线 1. 垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。若直线a与直线b垂直，表示为。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是直角。 2.经过一点作已知直线的垂线的画法： （1） 用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线重合。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过已知点。 ③沿与已知直线不重合的边画直线，这条直线即为已知直线的垂线。 （2） 用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线重合。 ②移动量角器使90°刻度线经过 已知点，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 3.垂线的性质： 在同一平面内，过一点 有且只有1条直线与已知直线垂直。 4.垂线段的概念： 过直线外一点作已知直线的垂线，点到垂足之间的部分叫做垂线段。 5.垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中，垂线段最短。 6.点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度是直线外一点到该直线的距离。 清单07 两条平行线间的距离 1.公垂线与公垂线段 (1)公垂线与公垂线段;与两条平行直线都垂直的直线,叫作这两条平行直线的公垂线,这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. (2) 两条平行线的所有公垂线段都相等 . 2.平行线间的距离 (1) 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 【考点题型一】平行公理的应用（） 【例1】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 【变式1-1】下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（    ） A．一定与两条平行线都平行 B．可能与两条平行线都相交或都平行 C．一定与两条平行线都相交 D．可能与两条平行线中的一条平行或相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理和两直线的位置关系，平面内，两条直线只有平行和相交两种位置关系，那么同一平面内，一条直线和两条平行线的位置关系要么都相交，要么都平行，据此可得答案． 【详解】解：A、一条直线和两条平行线不一定都平行，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，一条直线和两条平行线可能与两条平行线都相交或都平行，原说法正确，符合题意； C、一条直线和两条平行线不一定与都相交，原说法错误，不符合题意； D、一条直线不可能和两条平行线中的一条平行或相交，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式1-3】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 【考点题型二】平行公理推论的应用（） 【例2】若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 【变式2-1】如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 故选A． 【变式2-2】工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式2-3】下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 【考点题型三】利用对顶角进行计算（） 【例3】如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，角平分线定义，余角的性质，垂直的定义，由余角的性质得到，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与相等的角有三个，由平角定义推出． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，，正确， 故①符合题意； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相等的角有三个，正确， 故②符合题意； ③∵平分， ∴， ∵， ∴不一定等于， ∴不一定是的平分线， 故③不符合题意； ④，正确， 故④符合题意． 其中正确的结论有3个． 故选：C． 【变式3-1】如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等，掌握这一性质是解题的关键；根据对顶角相等即可作答． 【详解】解：； 故选：B． 【变式3-2】当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，直线和相交于点O，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质．先根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 【考点题型四】分辨“三线八角”（） 【例4】下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的识别，关键是清楚同位角的概念，即若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角． 根据同位角的定义判断可得选项． 【详解】解：根据同位角的概念判断知，A，C，D中的和符合同位角的定义， 选项B中的和不是两条直线被第三条直线所截形成的，故不是同位角外． 故选：B． 【变式4-1】如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角的识别，准确识图是正确答此题的关键． 根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：图中与满足同位角的定义， 故选：A ． 【变式4-2】图1为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用来提升重物的装置．图2为其平面示意图，图2中与互为内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据定义判断即可． 【详解】解：图2中与互为内错角的是． 故选：B． 【变式4-3】（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． （2）同理（1）中解答方法解答解答； （3）同理（1）中解答方法解答解答． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为：，，． 【考点题型五】平移的概念（） 【例5】下列不属于平移现象的是（   ） A．升降电梯上下移动 B．电风扇扇叶的转动 C．拉抽屉 D．传送带上物品传输 【答案】B 【分析】根据平移的定义对各选项分析判断即可得解． 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 【详解】解：A、升降电梯上下移动，属于平移； B、电风扇扇叶转动，不属于平移； C、拉抽屉，属于平移； D、传送带上物品传输，属于平移． 故选：B． 【变式5-1】下列生活现象中，属于平移的是（   ） A．汽车轮胎在地上滚动 B．对折一张纸 C．拉开抽屉 D．时钟上分针的运动 【答案】C 【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案． 本题考查了图形的平移，掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解题的关键． 【详解】解：A、汽车轮胎在地上滚动，方向发生变化，不是平移运动； B、对折一张纸，方向发生变化，不是平移运动； C、拉开抽屉，是平移运动； D、时钟上分针的运动，方向发生变化，不是平移运动； 故选：C． 【变式5-2】如图，通过平移上边的吉祥物，可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查生活中的平移现象以及平移的性质，解题的关键是掌握平移前后的图形形状相同大小相同．本题直接根据平移的性质判断即可得出答案． 【详解】解：通过平移吉祥物，可以得到的图形是A选项所对应的图形． 故选：A． 【变式5-3】每年的3月22日至3月28日是“中国水周”，国家节水标志由水滴、手掌和地球三部分变形组成．下列图形中，可以通过平移左侧节水标志得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】解：依题意，A选项图形可以通过平移能与上面的图形重合． 故选：A． 【考点题型六】利用平移的性质求解（） 【例6】如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，掌握平移的性质成为解题的关键． 由平移的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式6-1】如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，线段的和差等，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，然后利用线段的和差进行计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， ， ∴， 故选：B． 【变式6-2】如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得，，再根据四边形的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∵四边形的周长为， ∴，即， ∴，即， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 【变式6-3】如图所示，是由沿箭头方向平移得到的． (1)，求的度数； (2)若，求，的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据平移的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：是由沿箭头方向平移得到的，， ． （2）解：是由沿箭头方向平移得到的， ． 【考点题型七】利用平移解决实际问题（） 【例7】某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，利用原长方形面积减去草坪面积，得出小路的面积． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴这条小路的面积为， 故选：C． 【变式7-1】如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，平移性质． 根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：绿化区的面积是， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】此题考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题的关键． 根据平移的性质得出草地的长和宽，然后相乘即可． 【详解】解：由平移得到，草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为． 故答案为：200． 【变式7-3】如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计算出地毯的面积即可解决问题． 【详解】解：由题意可得， 地毯的面积为：， 所以地毯的价钱为：（元）． 故答案为：． 【变式7-4】如图（1），在长为，宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯曲小路如图（2），草地部分的面积 （填“变大”或“不变”或“变小”）． 【答案】不变 【分析】本题考查了平移的知识，注意运用平移的知识可以把几个图形拼成一个整体进行计算，后边的面积计算的时候注意以直代曲的一种思想，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把第一个图形中的两块草坪上下平移，则为一个长方形；同理可将曲路两旁的部分进行整合，也可整合为一个长方形，然后即可求解； 【详解】解：可以把小路看作贯穿整个草坪、宽始终为的带状区域，无论它是笔直还是弯曲，只要仍然在同一矩形草坪中贯通两边，每条与小路垂直的横截线在小路内的长度都固定为 ，因此小路占据的面积不变，对应的草地面积也就不变； 故答案为：不变； 【考点题型八】平移(作图)（） 【例8】如下图，在正方形网格中有两个三角形，将下面的三角形通过平移与上面三角形拼合成一个四边形，用不同的平移方法分别在图1，图2中画出符合题意的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据平移的性质按要求画图即可． 【详解】如图1，将下面的三角形向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度与上面三角形拼合成一个四边形，则四边形即为所求； 如图2，将下面的三角形向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度与上面三角形拼合成一个四边形，则四边形即为所求． ． 【变式8-1】如图为的方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有线段（端点A、B均在小正方形的顶点上），将线段平移得到线段，使点A移至点M的位置，点B移至点N的位置（M、N均在小正方形的顶点上），设平移过程中线段扫过的面积为S． (1)请在图1中画出线段，并直接写出S的值． (2)请在图2中画出线段，并直接写出S的值． (3)若，请在图3中画出线段． 【答案】(1)见解析；3 (2)见解析；3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移作图，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）根据平移特点，画出线段，用割补法求出S即可； （2）根据平移特点，画出线段，根据平行四边形的面积公式求出S即可； （3）根据画出线段即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段，则． （2）解：如图，线段即为所求作的线段，则． （3）解：如图，线段即为所求作的线段． 【变式8-2】画图并填空： (1)画出三角形先向右平移6格，再向下平移2格得到的三角形； (2)线段与线段的关系是___________． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握作平移作图与平移的性质是解题的关键． （1）根据平移方向与距离，作出点A、B、C的对应点、、，依次连接，即可得到三角形； （2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等，即可解答． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）由平移的性质得，线段与线段的关系是平行且相等． 【变式8-3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把三角形进行平移，得到三角形，使点与对应． (1)请在网格中画出三角形； (2)将三角形向右平移5格，再向上平移________格可以得到三角形； (3)连结，，．请任意写出图中的两组平行线段（不再额外添加字母）：________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移的性质，求网格中三角形的面积，求图形平移扫过的面积等知识点，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质对各个点进行平移，顺次连接平移后的三个顶点即可； （2）根据平移的性质即可得出答案； （3）根据平移的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据图形知，将三角形向右平移5格，再向上平移4格可以得到三角形； 故答案为：4； （3）解：根据图形知，，，． 故答案为：，． 【考点题型九】利用平行线的性质求解（） 【例9】如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 如图，先求出，然后根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ∵ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 【变式9-1】如图，直线，是截线，，．那么的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴； 故选D． 【变式9-2】如图，直线，若，则 ． 【答案】40度/ 【分析】构造辅助线，利用平行线的性质理解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：作 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】已知，是反向延长线上的一点． (1)如图①，若，平分，，则的大小为______（度），的大小为______（度），的大小为______（度）． (2)如图②，若，是的平分线，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分形的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，继而得到，由得到，求出； （2）由平行线的性质得到，得到，求出． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 【考点题型十】平行线的性质在生活中的应用（） 【例10】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式10-1】汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（　　） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质．根据题意作图即可求解． 【详解】解：如图：    第一次拐的角是，第二次拐的角是且方向不同 因为平行前进，故， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D. 【变式10-2】为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式10-3】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，得，结合，计算即可， 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【考点题型十一】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例11】如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，推出，即可得到答案； （2）由得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ，， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-1】本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，由平行线及角平分线得到设，由，得到，同理可得，即可得； （2）①依据题意即可补全图形；②由角平分线设，平行得到，，而，则，即，即，即可求证． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴设， ∵， ∴， 即，同理可得， ∴， 即在题干图中：； （2）解：①补全图： ②，理由如下： 证明：平分， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴． 【变式11-3】已知直线 ，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点D． ①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①不变，②与之间的数量关系是：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数； （2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论； ②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：延长到E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到E，如图2所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： （ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 【考点题型十二】选择合适的方法判定两直线平行（） 【例12】如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式12-1】如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行； （2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解． 【详解】（1）解：为平角， 又， ， ； （2）解：如图所示， ，    ， ， ， ，    又为的角平分线， ， ， ，    ， ． 【变式12-2】如图，，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质． （1）由已知条件可得，利用内错角相等，两直线平行可得； （2）由平行线的性质可得，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式12-3】已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理的推论，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，再由平行公理的推论即可证明． 【详解】证明：， ， ， ． 【考点题型十三】根据平行线判定与性质求角度（） 【例13】如图，已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式13-1】如图，，平分，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，根据平行线的性质判断C选项；然后根据角平分线的定义判断B选项；再根据角的和差判断D选项；利用垂直的定义判断A选项解题即可． 【详解】解：∵， ∴，，故C选项错误； 又∵平分， ∴，故B选项错误； ∴，故D选项错误； 又∵， ∴， ∴，故A选项正确； 故选：A． 【变式13-2】将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质，先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【变式13-3】将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先过点作，结合长方形的性质得，，得，再根据两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形，是长方形， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 【变式13-4】.如图，的边上有两点，，过点，分别作于点，作于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据，证明，然后根据两直线平行同位角相等即可求解． 【详解】解：因为于点，于点， 所以，． 所以． 所以． 所以． 因为， 所以． 【考点题型十四】根据平行线判定与性质证明（） 【例14】如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，理解和掌握平行线的判定和性质的运用是解题的关键．本题直接根据平行线的判定和性质进行证明即可． 【详解】证明：， ， 又， ， ， ． 【变式14-1】如图，，分别平分和． (1)求证：． 请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由． 证明：（已知）， ______（______）． 分别平分和（已知）， ，（______）， ． ____________（______）． （______）． (2)若，则的大小为______（度）． 【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)31 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据解题过程，结合平行线的判定及性质，角平分线的定义即可解答； （2）由平分，得到，再由平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． 分别平分和（已知）， ，（角平分线的定义）， ． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：31 【变式14-2】综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），图见解析 【分析】本题考查作图-作角的平分线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．由平行线的性质得，，利用等角的补角相等证明； （2）结论：．利用平行线的判定和性质证明即可； （3）过点E作．证明得，由平分得，由得，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点P作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式14-3】如图，点，分别在，上，交于点，交于点、，．试问与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据已知条件根据“同位角相等，两直线平行”说明，可得然后说明最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， ． 【变式14-4】如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据对顶角相等和已知条件可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质和已知条件可证明，则，再由平行线的性质可得，进而根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ 【考点题型十五】利用垂直的概念求角的度数（） 【例15】如图，直线与交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度计算、对顶角、垂直的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等的性质和垂直的定义即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ． 故选：C． 【变式15-1】如图，直线，垂足为，直线经过点，，则的大小 （度）． 【答案】 【分析】此题考查了垂线以及对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据对顶角的定义得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-2】如图，若，垂足为O，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再由对顶角相等得到，然后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型十六】判断两直线是否垂直（） 【例16】如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，证明，进而根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， ，     ． 【变式16-1】下面是一道题的证法，清在后面的括号内填上推理的依据： 已知：如图，．求证：． ∵（已知）， （________________________________）． （已知）， （_________________）， （等量代换）， （__________________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；垂直的定义；垂直的定义 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线定义理解，根据平行线的性质得出，根据垂线定义得出，即可得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （垂直的定义）， （等量代换）， （垂直的定义）． 【变式16-2】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【变式16-3】如图，，垂足为F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质与判定及垂直的定义是解题的关键；由题意易得，，则有，进而可得，最后问题可求证． 【详解】证明：， ． ， ， ， 又， ， ， ， ． 【考点题型十七】点到直线的距离的计算（） 【例17】如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短的知识；根据题意知，点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3，即可求解． 【详解】解：由于点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3； 故选：D． 【变式17-1】如图点为直线外一点，点到直线上的点的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B．小于 C．大于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可求解，理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵点到直线上的点的距离为， ∴点到直线的距离不大于， 故选：． 【变式17-2】如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 【变式17-3】如图，已知三角形，点D在边上． (1)过点A作的平行线； (2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ； (3)测量点B到直线的距离为 （精确到）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，垂线段最短 (3)（测量值可在） 【分析】本题考查了画平行线，垂线段，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质． （1）根据平行线的定义作图即可； （2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得； （3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图所示，即为所求， ，理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短 （3）利用带刻度的直尺测量，即点B到直线的距离为（测量值可在）， 故答案为：（测量值可在）． 【考点题型十八】求平行线间的距离（） 【例18】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键． 依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为， 分两种情况讨论如下： ①当直线在直线之间时，如图1所示： 此时与之间的距离是：； ②当直线在直线外时，如图2所示： 此时与之间的距离是：， 综上所述：与之间的距离是或． 故选：C． 【变式18-1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键．根据题意，图形结合，分类讨论，结合平行线之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：如图①，a与c之间的距离为； 如图②，a与c之间的距离为． ∴a与c之间的距离为或． 故选：C． 【变式18-2】如图，将线段平移至线段，连接，，为线段延长线上一点，连接交于点，若，三角形与三角形的面积之和为为直线上一点，连，当的最小值为12时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线之间的距离，垂线段最短，连接，，根据平移的性质可得，，，根据已知得出，，设，，则，，进而，得出根据，得出，则，，，进而求得，再根据垂线段最短以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵将线段平移至线段， ∴， ∴ ∵ ∴， 设，，则， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵的最小值为12时， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式18-3】如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积等于4， ∴， 故答案为：4． 【考点题型十九】利用平行线间距离解决问题（） 【例19】如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ）    A．的大小 B．的周长 C．的面积 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离、等底等高的三角形的面积相等、平行线间的距离的定义等知识点,熟记相关定义和性质是解答本题的关键．根据平行线间的距离、三角形的周长、面积以及角的定义逐项排查即可． 【详解】解：A．∵直线，点P在直线m上移动， ∴是随的运动而变化的，故A不符合题意； B．∵、的长度随点P的移动而变化， ∴的周长会随点P的移动而变化,即B不符合题意； C．∵，则点P到直线n的距离不变，的大小不变， ∴的面积不变，即C符合题意； D．以上答案都不对是错误的，即D不符合题意． 故选：C． 【变式19-1】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)大于0小于等于5 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而得到，再由平行线的判定即可得到； （2）由知：与之间的距离等于点到直线的距离，由三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （3）过点作于，连接，当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离， 即设三角形的边上的高为， 由三角形的面积计算公式可得： ，即， 解得：， 与之间的距离为2.4； （3）解：过点作于，连接，   ， 当与重合时，， 当无限接近时，无限接近0， ， 点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线之间的距离，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 一、单选题 1．如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【详解】分析：根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可． 详解：由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4． 故选C． 点睛：本题考查了同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解． 2．如图，，，则点O到PR所在直线的距离是线段（    ）的长． A．OQ B．OR C．OP D．PQ 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可． 【详解】解：∵OQ⊥PR， ∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长． 故选A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键． 3．下列图形不是由平移而得到的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据平移的特征可知：D不能经过平移得到． 故选D． 【点睛】本题考查了平移，平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小． 4．如图，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（　　） A．34° B．56° C．66° D．54° 【答案】B 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠D=∠1=34°， ∵DE⊥CE， ∴∠DEC=90°， ∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°． 故选B． 5．如图，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有(    )    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，即同旁内角互补和同位角相等可证有4个角与∠BFE互补． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠BFE+∠DEF=180°①， ∠BFE+∠EFC=180°②， 又∵EF∥AB， ∴∠BFE+∠B=180°③， ∠B=∠ADE， ∴∠BFE+∠ADE=180°④ 共4个. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质, 对顶角、邻补角，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质, 对顶角、邻补角. 6．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 7．在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．先根据平行线的性质求出，根据直角求出的度数，再根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．如图，，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（ ） A．26° B．64° C．52° D．128° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴∠BEF+∠EFG=180°， ∴∠BEF=180°﹣52°=128°； ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=64°； ∴∠EGF=∠BEG=64°（内错角相等）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答本题用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；角平分线分得相等的两角． 9．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，根据折叠，即可得到． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 二、填空题 10．如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移 格得到 【答案】2 【分析】利用平移的性质，结合图形，得出答案． 【详解】BC在AD的右上方两格处，线段BC是线段AD经过向右平移3格，再向上平移2格得到的. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质，解题的关键是熟练的掌握平移的性质. 11．如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是 ，点B到点A的距离是 ． 【答案】 12 13 【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度． 【详解】点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12； 点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13. 故答案为12，13. 【点睛】本题考查的知识点是点到直线的距离，两点间的距离，解题的关键是熟练的掌握点到直线的距离，两点间的距离. 12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ． 【答案】140°/140度 【分析】直接利用垂直的定义结合邻补角的定义分析得出答案． 【详解】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O， ∴∠EOB=90°， ∵∠EOD=50°， ∴∠BOD=40°， 则∠BOC的度数为：180°-40°=140°． 故答案为140°． 【点睛】此题主要考查了垂直的定义、邻补角的定义，正确把握相关定义是解题关键． 13．如图，AE⊥BC于点E，∠1＝∠2，则∠BCD＝ °. 【答案】90 【分析】由“内错角相等，两直线平行”推知AE∥CD，则DC⊥BC． 【详解】如图，∵∠1=∠2， ∴AE∥CD. 又∵AE⊥BC， ∴DC⊥BC， ∴∠BCD=90°. 故答案为：90. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定与性质 14．如图所示，能判定直线AB∥CD的条件是 (填一个你认为正确的答案即可)． 【答案】答案不唯一，如∠5＋∠6＝180° 【分析】依据平行线的三条判定定理，进行判断． 【详解】当∠5+∠6=180°时，AB∥CD. 故答案为∠5+∠6=180°. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定. 15．如图，两幢互相平行的大楼顶部各有一个射灯，当光柱相交时，∠1＋∠2＋∠3＝ °. 【答案】360 【分析】连接∠2、∠3的顶点，根据平行线的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】 连接BD，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180， ∵∠EBD+∠E+∠BDE=180， ∴∠ABE+∠BED+∠EDC=360， 即∠1+∠2+∠3=360. 故答案为360. 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质, 三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质, 三角形内角和定理. 16．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数 ． 【答案】56°． 【分析】先根据平行线的性质得∠1=∠3=34°，再根据垂直的定义得∠DOB=90°，然后利用三角形外角性质计算∠2的度数． 【详解】解：如图， ∵直线l1∥l2， ∴∠1=∠3=34°， ∵AB⊥CD， ∴∠DOB=90°， ∵∠DOB=∠2+∠3， ∴∠2=90°-34°=56°． 考点：1.平行线的性质；2.垂线． 三、解答题 17．如图，已知AB∥DC，∠A＝∠C，试说明：∠B＝∠D． 【答案】证明见解析 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及题意，可得∠B＋∠C＝180°、∠C＋∠D＝180°，即可推出∠B＝∠D. 【详解】因为AB∥DC(已知)， 所以∠B＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又因为∠A＝∠C(已知)， 所以∠B＋∠A＝180°(等量代换)， 所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)， 所以∠C＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， 所以∠B＝∠D(等量代换)． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定与性质. 18．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM. (1)若∠BOD＝70°，求∠AOM和∠CON的度数； (2)若∠BON＝50°，求∠AOM和∠CON的度数． 【答案】（1）55°（2）50° 【分析】（1）直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案． （2）利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案． 【详解】(1)因为∠BOD＝70°，所以∠AOC＝70°. 因为射线OM平分∠AOC，所以∠AOM＝∠MOC＝35°.因为ON⊥OM，所以∠CON＝90°－35°＝55°. (2)因为ON⊥OM，∠BON＝50°， 所以∠AOM＝180°－90°－50°＝40°. 因为射线OM平分∠AOC，所以∠AOM＝∠MOC＝40°， 所以∠CON＝90°－40°＝50°. 【点睛】本题考查的知识点是垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，解题的关键是熟练的掌握垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角. 19．如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，且∠1＋∠2＝90°．猜想∠2与∠3的关系，并说明理由．    【答案】∠2+∠3=90°．证明见解析. 【分析】根据角平分线定义得出∠ABF=∠1，∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，求出∠ABF+∠2=90°，∠ABD+∠BDC=180°，根据平行线的判定得出AB∥DC，根据平行线的性质得出∠3=∠ABF，即可得出答案． 【详解】解：∠2+∠3=90°， 证明：∵∠ABD和∠BDC的平分线交于点E， ∴∠ABF=∠1，∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠ABF+∠2=90°，∠ABD+∠BDC=2×90°=180°， ∴AB∥DC， ∴∠3=∠ABF， ∴∠2+∠3=90°． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质． 20．已知，，，试回答下列问题： （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点E，F在BC上，且满足，并且OE平分，试求的度数； （3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则的值是否发生变化？请说明理由R        【答案】（1）详见解析；（2）40°；（3）的值不发生变化 【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明． （2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）=∠BOA，算出结果． （3）先得出结论，再证明． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. （2）由以及（1）得. ∵，OE平分， ∴，， ∴ （3）的值不发生变化.理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴. ∵为的外角， ∴， ∴， ∴的值为定值，不发生变化. 【点睛】此题考查平行线的性质，平移的性质，解题关键在于得到∠EOC=∠BOA 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$