特训08 中位线与斜中半-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训08 中位线与斜中半 【特训过关】 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6km，则M，C两点间的距离为（    ） A．3km B．3.5km C．4km D．4.5km 【答案】A． 【解析】解∵，互相垂直， ∴是直角三角形， ∵M是的中点， ∴， 故选：A． 2．如图，平行四边形的对角线交于点O，点E为的中点，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：． 故选：C． 3．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：连接，取的中点H，连接、， ∵E，F分别是，的中点，的中点H， ∴是中位线，是中位线， ∴，， 在中，，即，当、、三点共线时取等号， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，，，，则的周长是（   ） A．7 B．9.5 C．11.5 D．14 【答案】A． 【解析】解：∵于点，，分别为，的中点， ∴，， ∴的周长； 故选：A． 5．如图，四边形中，R是中点，E、F分别是、的中点，当动点P在上从C向B移动时，下列结论成立的是（   ）    A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C． 【解析】解：连接，如图：    ∵四边形中，R是中点，E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 6．如图，中，， ，，，，则的值为（   ） A．7 B．4 C．2 D．5 【答案】C． 【解析】解：延长交于点F， ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点C作于F，交于G，连接，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C． D．7 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴， ∵是的角平分线 ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点．若，则的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 【答案】D． 【解析】解：如图，连接，取的中点G，连接、， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵M，N分别为，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③； ④，成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：． 10．如图，在中，，点D是的中点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴， 故①不正确； 如图，延长交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 延长交于M，作于N，连接，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故③正确； ∵，， ∴， 故④正确， 正确的有②③④，共3个 故选：C． 11．若点E、F、G、H分别为四边形各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 【答案】平行四边形． 【解析】解：四边形是平行四边形． 理由：连接，如图， ∵点E、H分别是、的中点， ∴，， ∵点F、G分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 12．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则线段的长度为 ． 【答案】． 【解析】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为 ． 【答案】49． 【解析】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， 又∵H是的边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长． 故答案为：49． 14．如图，在中，，M，N分别是，的中点，延长至点D， 使，连接，，，若，，则 ． 【答案】5cm． 【解析】解：连接，如图， ∵，，， ∴． ∵M、N分别是、的中点， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴． 故答案为：5cm． 15．如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2.5． 【解析】解：∵为的中位线， ∴， 在中，D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，，则． ②若，，则是的中位线． ③若，，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 【答案】③． 【解析】解：命题③是真命题，理由： 证明：过点E作交边于点M，连接， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是的中位线． ③是假命题，如图，满足，，但，故③是假命题． 故答案为：③． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为 ． 【答案】． 【解析】解：连接，取中点M，连接，， ∵在平面直角坐标系中，点，， ∴，，， ∴， ∵M为斜边中点， ∴， ∵点P为的中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴当P、M、O三点共线时，最大， 故答案为：． 18．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，P为上一动点．则下列结论：①，②，③当时，，④的最小值为，其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②④． 【解析】解：∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 若，则平分， ∴此时点D到的距离等于的长，即点D到的距离等于的长，则此时要满足，这与题意不符，故不成立，故①错误； 在中，，故②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴当时，即点P是中点， 又∵点D是中点， ∴，故③错误； 如图所示，作点C关于的对称点E，连接交于点F，连接，交于点P，过点D作于点G， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，则， ∴， 在中，，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④ ． 19．如图，矩形中，M、N分别是边、的中点，于P，的延长线交于Q．下列结论：；；；，其中结论正确的有 ．（将序号填入横线上） 【答案】①②③． 【解析】解：如图，连接、，设，， ∵于P， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵N是边的中点， ∴， ∴，故正确； ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故正确； 若，则为等边三角形， ∴，， ∴， 题干没有这个条件，故不一定成立， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 20．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，．下列结论：①；②平分；③； ④，其中结论正确的序号有 ． 【答案】①②③． 【解析】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故①正确； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确； ∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，故④错误． 故答案为：①②③． 21．已知：如图，点E为中边的延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于点O，连接，猜想：与的关系，并证明你的结论． 【答案】证明见解析． 【解析】解：，，理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，． 22．如图，在中，，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析． 【解析】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接，． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在与中 ， ∴． ∴，． ∴． 在与中 ， ∴． ∴， 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 23．如图，四边形中，，，E、F分别是、的中点．    （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）解：如图，连接、，    ∵，E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴； （2）解：∵，，E、F分别是边、的中点， ∴，， ∵． ∴． 24．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接，， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．在四边形中，于E，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于F交于G，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点H在上，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交延长线于点T，作于点W， 则四边形是矩形， ∴，， 根据（1）可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 结合（2）可得， ∵，，， ∴， ∴， 在上取点K，使，连接， 则是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 设，， ∴， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴，，， 解：取中点S，连接， 则，， 在中，， 解得：， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 中位线与斜中半 【特训过关】 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6km，则M，C两点间的距离为（    ） A．3km B．3.5km C．4km D．4.5km 2．如图，平行四边形的对角线交于点O，点E为的中点，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，，，，则的周长是（   ） A．7 B．9.5 C．11.5 D．14 5．如图，四边形中，R是中点，E、F分别是、的中点，当动点P在上从C向B移动时，下列结论成立的是（   ）    A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 6．如图，中，， ，，，，则的值为（   ） A．7 B．4 C．2 D．5 7．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点C作于F，交于G，连接，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C． D．7 8．如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点．若，则的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 9．如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③； ④，成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，点D是的中点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若点E、F、G、H分别为四边形各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 12．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则线段的长度为 ． 13．如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为 ． 14．如图，在中，，M，N分别是，的中点，延长至点D， 使，连接，，，若，，则 ． 15．如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为 ． 16．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，，则． ②若，，则是的中位线． ③若，，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为 ． 18．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，P为上一动点．则下列结论：①，②，③当时，，④的最小值为，其中正确的是 ．（只填写序号） 19．如图，矩形中，M、N分别是边、的中点，于P，的延长线交于Q．下列结论：；；；，其中结论正确的有 ．（将序号填入横线上） 20．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，．下列结论：①；②平分；③； ④，其中结论正确的序号有 ． 21．已知：如图，点E为中边的延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于点O，连接，猜想：与的关系，并证明你的结论． 22．如图，在中，，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 23．如图，四边形中，，，E、F分别是、的中点．    （1）求证：； （2）当，时，求的长． 24．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 25．在四边形中，于E，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于F交于G，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点H在上，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$