精品解析：山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第二学期教学质量检测 高二数学试题 2025.01 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后将本试卷和答案卡一并交回． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本让卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由数字1，2，3，4，5可以组成不同的三位数（各位上的数字可以重复）的个数为（ ） A. 120 B. 125 C. 243 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法即可得到答案. 【详解】各位上的数字均有5种选择，则总个数为. 故选：B. 2. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可． 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 3. 已知与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由变量与正相关可排除AD，然后线性回归方程要过点，可得出答案. 【详解】由题意，与正相关，故AD不正确； 因为线性回归方程要过点，对于B，时，，故B不正确； 对于C，时，，故C正确. 故选：C. 4. 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（ ） A. 投资股票A的期望收益较小 B. 投资股票B的期望收益较小 C. 投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D. 投资股票B的风险比投资股票A的风险小 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案. 【详解】股票A收益X的期望为， 方差为， 股票B收益Y的期望为， 方差为， 所以, 投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益， 投资股票B的风险比投资股票A的风险小. 故选：D. 5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A． 考点：次独立重复试验． 6. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 7. 甲、乙两人从周一到周日7天中选2天值班，则这两人恰有1天都选的选法共有（ ） A. 30 B. 120 C. 210 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】确定选择同一天的情况，再从剩下的6天中任选两天，结合分步计数原理求解即可. 【详解】先确定选择同一天的情况，有种选法，再从剩下的6天中任选两天， 因此共有种选法. 故选：C. 8. 已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，通过分离参数、构造函数可得结果． 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，显然， 所以问题转化为在上恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，则， 所以，即， 所以的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地区数学考试成绩数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，其中男生数等于女生数，则（ ） A. 男生成绩的平均分约为72分 B. 男生的成绩比女生更为集中 C. 80分以上的学生中，男生数约等于女生数 D. 低于56分的学生中，女生数多于男生数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的概念及概率的对称性判断各选项即可. 【详解】由题意，男生成绩X服从正态分布， 则，即男生成绩的平均分约为72分，故A正确； 女生成绩Y服从正态分布，则， 由于，所以女生的成绩比男生更为集中，故B错误； 而，， 则，则80分以上的学生中，男生数约等于女生数，故C正确； 而，， 所以，则低于56分的学生中，女生数少于男生数，故D错误. 故选：AC. 10. 设函数，a不是极值点，则（ ） A. 是极值点 B. 若与的极大值相等，则 C. 当时， D. 过原点与曲线线相切的直线有三条 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，先分析函数的单调性，再根据极值的定义及导数的几何意义判断各选项即可. 【详解】由， 则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值，故A正确； 对于B，由于与的极大值相等，a不是极值点， 则，又，所以，故B正确； 对于C，当时，，则，故C错误； 对于D，设切点为， 由，则， 解得或， 所以过原点与曲线线相切的直线有三条，故D正确. 故选：ABD. 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（ ） A. 采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C. 采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及列举法判断各选项即可. 【详解】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为 ，故A错误； 对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”， 则译码为1的概率为，故B正确； 对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为 ，故C正确； 对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”， 所以收到译码为0的概率； 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 由，且， 则，即，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 设则______； 【答案】 【解析】 【分析】根据事件的包含关系及条件概率公式求解即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______.（数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数. 【详解】由的展开式通项为，， 当时，，当时，， 所以含的项为. 故的系数为. 故答案为：. 14. 已知三个正整数的和为9，用表示这三个数中最小的数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可知可能取值为1，2，3，用隔板法，求出排法总数有种，依次求得时的概率，利用期望公式计算即可. 【详解】设这三个正整数分别为，则由题意可得， 故随机变量可能取值为1，2，3，用隔板法，可知排法总数有种. 当时，可分两种情况：① 三个数中，只有一个1，有种；② 三个数中有两个1，有种， 故； 当时，可分两种情况：①三个数中只有一个2，有种，② 三个数中有两个2，有种， 故； 当时，只有一种情况，即. 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间（小时） 成绩 优秀 4 44 42 3 2 不优秀 134 142 140 40 24 （1）从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望； （2）根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数） （附：，其中， 【答案】（1）分布列见解析， （2）无关 【解析】 【分析】（1）根据题意可得X的所有取值为，进而求解即可； （2）作出列联表，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【小问1详解】 由题意，X的所有取值为， 则，，， 则X的分布列为 X 1 2 3 所以. 【小问2详解】 由题列联表如下： 其它 合计 优秀 45 50 95 不优秀 180 300 480 合计 225 350 575 则， 所以学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时无关. 16. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，，则， 所以， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 此时， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，满足题意，即， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 17. 甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． （1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； （2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； （3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合组合学知识及古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得的所有取值为，进而求解即可. （3）分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可. 【小问1详解】 由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为. 【小问2详解】 由题意，的所有取值为， 则，， ， 则的分布列为： 0 1 2 【小问3详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为. 18. 已知函数，其中． （1）讨论的零点个数； （2）若是在上的零点，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，先分析函数的单调性，进而结合进行讨论求解即可. （2）由题意可得，转化问题为证明，构造函数，利用导数进行求证即可. 【小问1详解】 由，得， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为时，，，， 所以当，即时，函数无零点； 当，即时，函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点. 综上所述，当时，函数无零点； 当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问2详解】 由题意，，即， 要证，即证， 令，， 因为，所以， 所以当时，成立， 因此只需证明当时，， 因为，所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以， 则函数在单调递减，所以，即， 综上所述，，即. 19. 某人工智能公司招聘高级技术人员一名，经初选，有10名应届毕业生进入最后面试环节，其中A高校和B高校各有4名，C校2名，10名面试者随机抽取1，2，…，10号的面试序号． （1）若来自A高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自B高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自C高校的2名毕业生的面试序号分别为，． （ⅰ）求概率，； （ⅱ）随机变量，求的均值． （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的得分各不相等，现该公司的人事部门设计了以下面试录用规则：，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者．证明：面试得分第一、第二的两名毕业生之一被录用的概率小于0.59． 【答案】（1），； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意，直接求解，即可； （ⅱ）先求得的取值，再根据期望计算公式，直接计算即可； （2）分别计算录用面试第一名和第二名的概率，即可证明. 【小问1详解】 （i）从10个面试序号中选4个给B高校的毕业生，总的选法有种， 若，则从1到7号中选3个给B高校的其他3名毕业生，选法有种， 则， 从6个面试序号中选2个给C高校的毕业生，剩下4个给A高校的毕业生，总的选法有种， 若，则这6个面试序号中，最大，安排在，，，前后的空位中， 选法有种， 则时，选法有10种， 则. （ii）的可能取值为，则， 所以 【小问2详解】 ①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： . 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期教学质量检测 高二数学试题 2025.01 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后将本试卷和答案卡一并交回． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本让卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由数字1，2，3，4，5可以组成不同的三位数（各位上的数字可以重复）的个数为（ ） A. 120 B. 125 C. 243 D. 360 2. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 已知与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（ ） A. B. C. D. 4. 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（ ） A. 投资股票A的期望收益较小 B. 投资股票B的期望收益较小 C. 投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D. 投资股票B的风险比投资股票A的风险小 5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 6. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 7. 甲、乙两人从周一到周日7天中选2天值班，则这两人恰有1天都选的选法共有（ ） A. 30 B. 120 C. 210 D. 240 8. 已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地区数学考试成绩数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，其中男生数等于女生数，则（ ） A. 男生成绩的平均分约为72分 B. 男生的成绩比女生更为集中 C. 80分以上的学生中，男生数约等于女生数 D. 低于56分的学生中，女生数多于男生数 10. 设函数，a不是极值点，则（ ） A. 是极值点 B. 若与的极大值相等，则 C. 当时， D. 过原点与曲线线相切的直线有三条 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（ ） A. 采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C. 采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 设则______； 13. 的展开式中的系数为______.（数字作答） 14. 已知三个正整数的和为9，用表示这三个数中最小的数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间（小时） 成绩 优秀 4 44 42 3 2 不优秀 134 142 140 40 24 （1）从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望； （2）根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数） （附：，其中， 16. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 17. 甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． （1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； （2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； （3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 18. 已知函数，其中． （1）讨论的零点个数； （2）若是在上的零点，证明：． 19. 某人工智能公司招聘高级技术人员一名，经初选，有10名应届毕业生进入最后面试环节，其中A高校和B高校各有4名，C校2名，10名面试者随机抽取1，2，…，10号的面试序号． （1）若来自A高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自B高校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，来自C高校的2名毕业生的面试序号分别为，． （ⅰ）求概率，； （ⅱ）随机变量，求的均值． （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的得分各不相等，现该公司的人事部门设计了以下面试录用规则：，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者．证明：面试得分第一、第二的两名毕业生之一被录用的概率小于0.59． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $