专题11.10 不等式与不等式组（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.10 不等式与不等式组（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式及相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.  （3）求不等式解集的过程叫解不等式.  （4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. （5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分. 【知识点2】等式基本性质 性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 【知识点3】不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变.） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 【知识点4】解不等式的步骤： （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项、合并同类项； （4）系数化为1.  【知识点5】解不等式的步骤： （1） 解出不等式的解集； （2） 在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解集.  【知识点6】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： （1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式； （3）设元，（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； （4）解不等式组；检验并作答. 考点与题型目录 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系...............................................2 【题型2】不等式的基本性质.....................................................3 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式.....................................................3 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解.........................................4 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组...................................................4 【题型6】求含参数的一元一次不等式组...........................................5 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合...............................5 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题.........................................6 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题.........................................6 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题........................................7 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接............................................................8 【题型12】拓展延伸............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系 【例题1】（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【变式】（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【题型2】不等式的基本性质 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，证明． 【变式1】（2025·安徽池州·一模）已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 ． 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式 【例题3】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解不等式： 解：去分母，得：    第一步 去括号，得   第二步 移项，得    第三步 合并同类项，        第四步 两边同时除以，得        第五步 任务： （1）上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______； （2）请写出该不等式正确的求解过程； （3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有 对． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解 【例题4】（24-25七年级下·北京·期中）对实数定义一种新运算，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．设为实数，且满足． （1）当时，求的取值范围； （2）若，请你计算当，时，的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组 【例题5】（2025·江苏扬州·一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·吉林·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【题型6】求含参数的一元一次不等式组 【例题6】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 （1）若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； （2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合 【例题7】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m得取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【变式1】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题 【例题8】（2025七年级下·全国·专题练习）发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题 【例题9】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题 【例题10】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【变式2】（24-25七年级下·重庆万州·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． （1）求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例题1】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【例题2】（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型12】拓展延伸 【例题1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.10 不等式与不等式组（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式及相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.  （3）求不等式解集的过程叫解不等式.  （4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. （5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分. 【知识点2】等式基本性质 性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 【知识点3】不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变.） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 【知识点4】解不等式的步骤： （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项、合并同类项； （4）系数化为1.  【知识点5】解不等式的步骤： （1） 解出不等式的解集； （2） 在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解集.  【知识点6】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： （1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式； （3）设元，（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； （4）解不等式组；检验并作答. 考点与题型目录 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系...............................................2 【题型2】不等式的基本性质.....................................................3 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式.....................................................5 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解.........................................7 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组...................................................9 【题型6】求含参数的一元一次不等式组..........................................10 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合..............................12 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题........................................15 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题........................................18 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题.......................................20 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接...........................................................23 【题型12】拓展延伸...........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系 【例题1】（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键． 根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答． 解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为，且该汽车没有超速， ∴， 故选：B． 【变式】（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】不等式的基本性质 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，证明． 【答案】见分析 【分析】本题考查了不等式的性质及平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及平方差公式，根据不等式的性质及平方差公式进行证明即可． 解：（命题的条件）， （有理数的加法法则），（不等式的基本性质）． [有理数的乘法法则（或者不等式的基本性质）]． （平方差公式）， （等量代换）． （不等式的基本性质） 【变式1】（2025·安徽池州·一模）已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 解：由左边图可知，2个的质量大于1个加1个的质量， ∴的质量大于的质量， 由右边图可知，3个的质量等于1个加1个的质量， ∴2个的质量等于1个的质量， 即的质量大于的质量， ∴“”、“”、“”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式 【例题3】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解不等式： 解：去分母，得：    第一步 去括号，得   第二步 移项，得    第三步 合并同类项，        第四步 两边同时除以，得        第五步 任务： （1）上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______； （2）请写出该不等式正确的求解过程； （3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项． 【答案】（1）第一步，去分母时，漏乘常数项；（2）见分析；（3）去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项 【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项； （2）按照解不等式的基本步骤解答即可． （3）注意不要漏乘常数项． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 解：（1）解：根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项， 故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项． （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得． （3）解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再解一元一次不等式得，即可得到，从而得到正整数解即可得到结论． 解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正整数解为：三个， ∴这样的全等三角形有对， 故答案为： ． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 解：当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点拨】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解 【例题4】（24-25七年级下·北京·期中）对实数定义一种新运算，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．设为实数，且满足． （1）当时，求的取值范围； （2）若，请你计算当，时，的取值范围． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题考查整式加减，求不等式的解集，理解题意并列得正确的算式及不等式是解题的关键． （1）根据定义的新运算可得，则，根据列得关于m的不等式，解不等式即可； （2）由（1）得，则，，再根据定义的新运算可得，分别将，代入计算后利用不等式的性质即可求得答案． 解：（1）解：根据定义的新运算可得， 则， ∵， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，求不等式的解集，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法及不等式求解的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到解，再根据解为正数列不等式求解即可． 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的解为正数， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 解方程得出，根据方程的解为负数得出关于的不等式，解之可得． 解：， ， ， ， 方程有负数解， ． 解得：， 故选：A. 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组 【例题5】（2025·江苏扬州·一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；1，2，3 【分析】本题主要考查了解不等式组的解集，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 解：： 解①式得：， 解②式得：， 则不等式组的解集为：， 则它的整数解为：1，2，3． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握确定不等式组解集的口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出这个解集即可求解． 解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 故选：A． 【变式2】（2025·吉林·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 解： 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 【题型6】求含参数的一元一次不等式组 【例题6】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 （1）若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； （2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． （1）分别解出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出a的取值范围即可； （2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解． 解：（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解， ， 解得： （2）原不等式组有解， ∴不等式组的解集， 又∵不等式组有且只有5个整数解， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合 【例题7】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m得取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 解：（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 【变式1】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确求出方程组的解进而得到关于a的不等式是解题的关键． 先利用加减消元法求出方程的解，再根据方程的解满足得到关于a的不等式，解不等式即可． 解：①② 得， 解得：， 把代入②得， ， 解得：， 方程组的解为， 方程组的解满足， ， 解不等式得：． 【变式2】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题 【例题8】（2025七年级下·全国·专题练习）发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元；（2）方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 解：（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】（1）匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元；（2）①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 解：（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题 【例题9】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】（1）A型50元，B型100元；（2）A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题 【例题10】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）120元，90元；（2）一共有4种方案，方案一所需费用最少，最少的费用为5400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），先设购买1个篮球为x元，1个足球需要y元，再根据等量关系列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案． 解：（1）解：购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据题意，得 ， 解得， 所以购买1个篮球需要120元，1个足球需要90元； （2）解：设采购篮球m个，则足球个，根据题意，得 ， 解得， 所以， 一共有4种方案， 方案一：当采购篮球30个，足球20个时，所需费用为（元）； 方案二：当采购篮球31个，足球19个时，所需费用为（元）； 方案三：当采购篮球32个，足球18个时，所需费用为（元）； 方案四：当采购篮球33个，足球17个时，所需费用为（元）． ∵， ∴方案一所需费用最少，最少的费用为5400元． 【变式2】（24-25七年级下·重庆万州·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． （1）求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；（2）共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 解：（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意，得， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例题1】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 【例题2】（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 【题型12】拓展延伸 【例题1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 解：：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【例题2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的整数解问题，根据条件可得，可得，再结合正整数可得，再进一步可得答案． 解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$