专题10.6 二元一次方程组（4大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题10.6 二元一次方程组（4大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【要点提示】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【要点提示】二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【要点提示】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【要点提示】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 【知识点2】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【要点提示】 （1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； （2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； （3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【要点提示】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【知识点3】实际问题与二元一次方程组 解二元一次方程组解决实际问题是要注意以下内容 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【知识点4】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【要点提示】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【要点提示】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案（包括单位名称）． 【要点提示】 （1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． （3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点与题型目录 【考点一】二元一次方程（组）的定义及其解 【题型1】二元一次方程（组）..........................................................4 【题型2】二元一次方程（组）的解......................................................4 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】解二元一次方程组............................................................5 【题型4】用特殊方法解二元一次方程组..................................................5 【题型5】二元一次方程组的错解复原问题................................................6 【题型6】构造二元一次方程组求解......................................................7 【题型7】已知二元一次方程组的解求参数................................................7 【题型8】二元一次方程组的同解原理....................................................7 【考点三】三元一次方程组 【题型9】解三元一次方程组............................................................8 【题型10】用三元一次方程组解决问题...................................................8 【考点四】用二元一次方程组解决问题 【题型11】销售与利润问题.............................................................8 【题型12】行程问题与工程问题.........................................................9 【题型13】古代问题与分配问题........................................................10 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考..................................................................11 【题型15】拓展延伸..................................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】二元一次方程（组）的定义及其解 【题型1】二元一次方程（组） 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． （1）二元一次方程的“关联系数”为______． （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【题型2】二元一次方程（组）的解 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程组的解． （1）求a，b的值． （2）求的值． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式2】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】解二元一次方程组 【例3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解二元一次方程组： （1）用代入法解方程组 （2）用适当方法解方程组 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）用合适的方法解下列方程组： （1）； （2） 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解二元一次方程组 （1） （2） 【题型4】用特殊方法解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： （1）解方程组； （2）在（1）的条件下，求式子的值． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【题型5】二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． 请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【变式1】（22-23八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【变式2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【题型6】构造二元一次方程组求解 【例6】（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知，求A，B的值 【变式1】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一次，胜得一分，和得半分，输得零分．若两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样的分数，则参赛的高中学生人数为（   ） A．7 B．9 C．14 D．7或14 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【题型7】已知二元一次方程组的解求参数 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【题型8】二元一次方程组的同解原理 【例8】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解： （2）求的值． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程组的解和方程组的解相同，则的值为（   ）． A． B．4 C．1 D． 【变式2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【考点三】三元一次方程组 【题型9】解三元一次方程组 【例9】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【题型10】用三元一次方程组解决问题 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三数的和为36，甲数比乙数的2倍大1，乙数的恰好等于丙数，则甲、乙、丙三个数分别为多少？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需 元． 【考点四】用二元一次方程组解决问题 【题型11】销售与利润问题 【例11】（24-25八年级上·广东深圳·期中）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 （1）求，的值． （2）若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． （1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ （2）若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． （1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； （2）在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ （3）若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 【题型12】行程问题与工程问题 【例12】（23-24七年级下·全国·课后作业）李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． （1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【题型13】古代问题与分配问题 【例13】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（河北省2025年名校计划初中学业水平考试数学试卷）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（   ） A．设有名客人，个盘子，根据题意可得 B．设有名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 【变式2】（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考 【例1】（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【题型15】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.6 二元一次方程组（4大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【要点提示】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【要点提示】二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【要点提示】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【要点提示】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 【知识点2】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【要点提示】 （1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； （2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； （3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【要点提示】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【知识点3】实际问题与二元一次方程组 解二元一次方程组解决实际问题是要注意以下内容 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【知识点4】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【要点提示】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【要点提示】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案（包括单位名称）． 【要点提示】 （1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． （3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点与题型目录 【考点一】二元一次方程（组）的定义及其解 【题型1】二元一次方程（组）..........................................................4 【题型2】二元一次方程（组）的解......................................................6 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】解二元一次方程组............................................................7 【题型4】用特殊方法解二元一次方程组.................................................10 【题型5】二元一次方程组的错解复原问题...............................................12 【题型6】构造二元一次方程组求解.....................................................14 【题型7】已知二元一次方程组的解求参数...............................................16 【题型8】二元一次方程组的同解原理...................................................18 【考点三】三元一次方程组 【题型9】解三元一次方程组...........................................................21 【题型10】用三元一次方程组解决问题..................................................22 【考点四】用二元一次方程组解决问题 【题型11】销售与利润问题............................................................24 【题型12】行程问题与工程问题........................................................27 【题型13】古代问题与分配问题........................................................29 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考..................................................................31 【题型15】拓展延伸..................................................................33 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】二元一次方程（组）的定义及其解 【题型1】二元一次方程（组） 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． （1）二元一次方程的“关联系数”为______． （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 解：（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、未知数的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、未知数的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 【题型2】二元一次方程（组）的解 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程组的解． （1）求a，b的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2）2027 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、代数式求值等知识，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． （1）将代入方程组计算即可得； （2）将的值代入计算即可得． 解：（1）解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， 所以． （2）解：由（1）已得：， 则． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的正整数解，把y看作已知数表示出x，确定出方程的正整数解即可． 解：∵， ∴， 当时，；当时，； 则方程的正整数解有2组， 故选：B． 【变式2】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】解二元一次方程组 【例3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解二元一次方程组： （1）用代入法解方程组 （2）用适当方法解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解：， 由①得，③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可变为， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）用合适的方法解下列方程组： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 解：（1）解： 将①式代入②式得： ， 将代入①式得：， 方程组的解为； （2）解： 得： ， 将代入①式得：， 解得：， 方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解二元一次方程组 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）先将①两边乘以，得到③，然后利用加减消元法即可求解． 解：（1）解： 得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： （2）解： 由①得，③ 得， 解得： 将代入②得， 解得： ∴原方程组的解为： 【题型4】用特殊方法解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： （1）解方程组； （2）在（1）的条件下，求式子的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键； （1）仿照题中消元方法解方程组即可； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 解：（1）解： 得：，即③， 得：④， 得：， 把代入③得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：当时，． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解是解题关键．将代入方程组可得，由此即可得． 解：∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴关于、的二元一次方程组的解，即， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 解：， 得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 【题型5】二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． 请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的定义是解题的关键． 把代入得关于b的方程，解方程求出b，再把代入得关于a的方程，解方程求出a，然后再把a，b的值代入原方程，解方程组即可． 解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组为：， ①×2得：③， ②+③得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】（22-23八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【答案】A 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 解：把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键. 【变式2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组及二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，． 故答案为：，． 【题型6】构造二元一次方程组求解 【例6】（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知，求A，B的值 【答案】， 【分析】此题考查了分式的加减运算法则，此题难度适中，注意掌握方程思想的应用． 由分式的加减运算法则可求得，继而可得方程组：，解此方程组即可求得答案． 解：    解得． 【变式1】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一次，胜得一分，和得半分，输得零分．若两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样的分数，则参赛的高中学生人数为（   ） A．7 B．9 C．14 D．7或14 【答案】D 【分析】本题主要考查二元方程的应用，根据意义列出方程是解题的关键． 设高中生有人，高中生每人得分．由题意可得：，即，然后再运用列举法即可解答． 解：设高中生有人，高中生每人得分． 由题意可得：， ． 当时，，符合题意； 当时，不是0.5的整数倍，不符合题意； 当时，，符合题意． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 先根据题意列出方程组求得k、b的值，然后代入代数式求值即可． 解：由题意可得：，解得：， 所以． 故答案为：4． 【题型7】已知二元一次方程组的解求参数 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．法一：把参数m当成常数，按正常的方程组求解，再把方程组的解代入满足的第三个方程得到关于m的一元一次方程即可求出m的值；法二：消参，方程①－②就可以消去m；法三：整体代入，由，可知，，即可得关于m和y的二元一次方程组，即可求出m的值． 解：法一： ①得③， ②得④， ③④得， 把代入②得， 解得， 将代入得， 解得； 法二： ①②得， ∵， ∴， 解得， 将代入得， 解得， 将，代入②得； 法三： 由，可知，，代入得， ∴， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可①②得，然后问题可求解．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解：， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． 故答案为：，． 【题型8】二元一次方程组的同解原理 【例8】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解： （2）求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查同解方程组． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 解：（1）解：由题意得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ∴这两个方程组的解为：； （2）把代入中可得：， 化简得：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程组的解和方程组的解相同，则的值为（   ）． A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的运算法则是解题的关键．重新组合方程组，得到关于的方程组，求出的值，得到关于的方程组，求出的值，即可得到答案． 解：方程组的解和方程组的解相同， 与上述方程组有相同的解， 解得， 将其代入， 得， 解得， ． 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．根据题意重组方程组，先解方程组得，再代入方程组，得到关于、的方程组求解，再计算求值即可． 解：关于x、y的方程组与有相同的解， 关于x、y的方程组与有相同的解， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：. 【考点三】三元一次方程组 【题型9】解三元一次方程组 【例9】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解． 解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练掌握加减法解方程组是解题的关键． 解：， ①+②+③得， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 【题型10】用三元一次方程组解决问题 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三数的和为36，甲数比乙数的2倍大1，乙数的恰好等于丙数，则甲、乙、丙三个数分别为多少？ 【答案】甲、乙、丙三个数分别为21、10和5 【分析】本题考查了列三元一次方程组解实际问题运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时根据甲、乙、丙三数之间的关系建立方程组是关键．设甲，乙，丙三个数分别为，根据甲、乙、丙三数的和为36，甲数比乙数的2倍大1，乙数的恰好等于丙数，列出方程组求解即可． 解：设甲，乙，丙三个数分别为，则由题意， 得， 解得． 答：甲、乙、丙三个数分别为21、10和5． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需 元． 【答案】240 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可． 解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元， 根据题意，得， 得：， 整理，得． ∴购买甲、乙、丙各1件，则需240元； 故答案为：240． 【考点四】用二元一次方程组解决问题 【题型11】销售与利润问题 【例11】（24-25八年级上·广东深圳·期中）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 （1）求，的值． （2）若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【答案】（1）；（2）这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是关键． （1）根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即可； （2）根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解即可． 解：（1）解：根据题意得， 解得； （2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或， 所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． （1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ （2）若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【答案】（1）购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元；（2）最多可以购买20副羽毛球拍． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 解：（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． （2）解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． （1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； （2）在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ （3）若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】（1）A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；（2）见分析；（3）3杯 【分析】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 解：（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种款式的奶茶16杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶4杯，购买B种款式的奶茶15杯； （3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴， 答：B款加料的奶茶买了3杯． 【题型12】行程问题与工程问题 【例12】（23-24七年级下·全国·课后作业）李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【答案】李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为 【分析】本题考查了二元一次 方程组的应用，解题的关键在于是否能准确地找到等量关系．设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为，根据他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇，列二元一次方程组，求出方程解即是求出答案． 解：设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为， 根据题意：，即， 解得：， 答：李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为． 【变式1】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． （1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】（1）甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米；（2）能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 解：（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】（1）工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度；（2）见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 解：（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 【题型13】古代问题与分配问题 【例13】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 解：图所示的算筹图所表示的方程组为， 故选：C． 【变式1】（河北省2025年名校计划初中学业水平考试数学试卷）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（   ） A．设有名客人，个盘子，根据题意可得 B．设有名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 解：设有x个客人，y个盘子．根据题意，得 ， 解得， 即：有30个客人，13个盘子． 所以，选项A，C错误；选项D正确； 设有x个客人，根据题意得，，故选项B错误； 故选：D． 【变式2】（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考 【例1】（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 【例2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 解：设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 【题型15】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$