专题05 成对数据的统计分析（4大经典基础练+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02一元线性回归模型 题型03求回归直线方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·山西太原·期末）观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（    ） A．（1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关 B．（1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关 C．（1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关 D．（1）为负相关，（2）正相关，（3）不相关 2．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 3．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（     ）    A． B． C． D． ( 题型02 ) 一元线性回归模型 4．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的个样本数据和新的经验回归方程中（    ） A．相关变量具有正相关关系 B．新的经验回归方程为 C．随着自变量值增加，因变量值增加速度变小 D．样本的残差为 5．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 6．（23-24高二下·山西太原·期末）使用经验回归方程进行预测时，下列结论正确的是（    ） A．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B．经验回归方程一般都有时效性 C．解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越好 D．经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值 ( 题型03 )求回归直线方程 7．（23-24高二下·山西太原·期末）已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则 . 8．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为 ． 9．（23-24高二下·山西浑源县第七中学·期末）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是). 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 （1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画. ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与. （2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，. ( 题型0 4 ) 独立性检验 10．（23-24高二下·山西太原·期末）以下说法正确的是（    ） A．等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性 B．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 C．残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 D．决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好 11．（23-24高二下·山西太原·期末）某校化学课题组为改进某项实验技术，减少实验时间，从而提高实验效率.从该校高二化学社团选取40名学生，并将他们平均分成两个实验组.第一组学生用原方法做实验，第二组学生用新方法做实验.现统计两组同学完成实验的时间（单位：min）如下： 第一组完成实验的时间（单位：min） 8 9 10 12 14 14 16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 21 21 22 22 第二组完成实验的时间（单位：） 7 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 16 16 18 19 21 (1)记这40名学生完成实验时间的中位数为，根据上述信息完成实验方法和实验时间样本数据的列联表； 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 新方法 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析新方法的实验效率是否比原方法高. 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 12．（23-24高二下·山西长治·期末）电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 (2)在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 一、单选题 1．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（    ） A．与具有正线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该中学某女生身高为，则可断定其体重必为 D．若该中学某女生身高增加，则其体重约增加 二、解答题 2．（23-24高二下·山西临汾·期末）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中．任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 3．（23-24高二下·山西太原·期末）山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下： 租金 88 128 188 288 388 488 出租率 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15 (1)请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）. 261.3 0.46 5.4 121437.86 1.97 -221.19 -1.04 (2)已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大. 附：；对于一组数据，其经验回归方程为. 4．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； (3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 5．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： (2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的. (1)根据所给信息完成下列列联表： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 女 合计 (2)基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关? (3)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02一元线性回归模型 题型03求回归直线方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·山西太原·期末）观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（    ） A．（1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关 B．（1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关 C．（1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关 D．（1）为负相关，（2）正相关，（3）不相关 【答案】A 【分析】根据散点图的点的分布即可得到结论． 【详解】第一个图点的分布比较集中，且随的增加，而增加，是正相关． 第二个图点的分布比较分散，不相关． 第三个图点的分布比较集中，且随的增加，而减少，是负相关． 故选：A． 2．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【答案】ACD 【分析】利用相关系数与相关指数的意义分析判断即可. 【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确； 对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误； 对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确； 对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确． 故选：ACD． 3．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以， 因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近， 所以. 故选：D. ( 题型02 ) 一元线性回归模型 4．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的个样本数据和新的经验回归方程中（    ） A．相关变量具有正相关关系 B．新的经验回归方程为 C．随着自变量值增加，因变量值增加速度变小 D．样本的残差为 【答案】AB 【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D. 【详解】对于A，新的经验回归方程中系数为正，则相关变量具有正相关关系，故A正确； 对于B，因为在经验回归方程中， 所以， 故去除两个样本点和后， 则余下的8个样本数据的平均值为 ，， 将样本中心点代入新的经验回归方程中得 . 故新的经验回归方程，故B正确； 对于C，由线性回归方程知，随着自变量值增加，因变量值增加速度恒定，故C错误； 对于D，当时，，即残差为，故D错误. 故选：AB. 5．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据样本中心点在回归方程上即可. 【详解】由表格数据得， 因为样本中心点在回归方程上， 所以， 解得. 故选：A. 6．（23-24高二下·山西太原·期末）使用经验回归方程进行预测时，下列结论正确的是（    ） A．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B．经验回归方程一般都有时效性 C．解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越好 D．经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合经验回归方程的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，A正确； 对于B，经验回归方程适用于有相关关系的两个变量，两者的变化可能会随时间的推移， 互相影响的情况不同，因此经验回归方程一般都有时效性，B正确； 对于C，解释变量的取值范围会影响经验回归方程的适用范围， 解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越差，C错误； 对于D，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，D错误； 故选：AB ( 题型03 )求回归直线方程 7．（23-24高二下·山西太原·期末）已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则 . 【答案】 【分析】根据给定的数据求出样本的中心点，结合经验回归方程过样本中心点即得. 【详解】由，得， 则，所以. 故答案为： 8．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为 ． 【答案】4.5 【分析】表示出样本中心点的横、纵坐标，将其代入回归直线方程即可求解. 【详解】样本中心点的横坐标为，样本中心点的纵坐标为， 所以由样本中心点必在回归方程所对应的直线上，可得，解得. 故答案为：4.5. 9．（23-24高二下·山西浑源县第七中学·期末）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是). 泡制时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 74 71 65 （1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画. ①令，求出关于的线性回归方程； ②利用①的结论，求出中的与. （2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，. 【答案】（1）①；②，；（2）. 【分析】（1）列出与的数据表，求出平均值，求出回归方程中的系数，得回归方程，根据所求线性回归方程与原方程的关系可求得原方程为参数值； （2）由（1）得，令求得值即可． 【详解】解：（1）①由已知得出与的关系，如下表： 泡制时间 0 1 2 3 4 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 设线性回归方程， 由题意，得，， ∴， ， 则， ， 则关于的线性回归方程为； ②由，得， 两边取对数得，， 利用①的结论得：，， ∴，； （2）由（1）得，， 令，得. ∴该品种绿茶用的水泡制后饮用，口感最佳. 【点睛】思路点睛：本题考查回归方程的应用，非线性回归方程可以通过变形变成线性回归方程，求得线性回归直线方程后，再转化非线性的方程． ( 题型0 4 ) 独立性检验 10．（23-24高二下·山西太原·期末）以下说法正确的是（    ） A．等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性 B．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 C．残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 D．决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用独立性检验思想判断AB；利用经验回归问题判断CD. 【详解】对于A，等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性，A正确； 对于B，用独立性检验推断的结论可靠，会犯随机性错误；B错误； 对于C，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，决定系数越大，则相应模型的拟合效果越好，D错误. 故选：A 11．（23-24高二下·山西太原·期末）某校化学课题组为改进某项实验技术，减少实验时间，从而提高实验效率.从该校高二化学社团选取40名学生，并将他们平均分成两个实验组.第一组学生用原方法做实验，第二组学生用新方法做实验.现统计两组同学完成实验的时间（单位：min）如下： 第一组完成实验的时间（单位：min） 8 9 10 12 14 14 16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 21 21 22 22 第二组完成实验的时间（单位：） 7 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 16 16 18 19 21 (1)记这40名学生完成实验时间的中位数为，根据上述信息完成实验方法和实验时间样本数据的列联表； 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 新方法 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析新方法的实验效率是否比原方法高. 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 14 6 20 新方法 5 15 20 合计 19 21 40 (2)根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为新方法的实验效率比原方法高，即新方法跟实验效率有关. 【分析】第一小问先把数据从小到大排序，求出，即可求解； 第二问直接利用卡方计算公式算出结果，跟临界值比较即可求解. 【详解】（1）先把数据从小到大排序中位数，然后找数据把表格填写完毕. 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 14 6 20 新方法 5 15 20 合计 19 21 40 （2）零假设：新方法的实验效率不比原方法高，即新方法跟实验效率无关. 根据列联表得， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为新方法的实验效率比原方法高，即新方法跟实验效率有关. 12．（23-24高二下·山西长治·期末）电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 (2)在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，无关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）补充完表格计算卡方，然后判断是否大于等于6.635； （2）服从超几何分布，根据超几何分布概率公式计算即可. 【详解】（1）男居民人数人，女居民人数人， 设看过《庆余年2》的人数为，没看过《庆余年2》的人数为， 则， 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 提出假设：是否观看过《庆余年2》与性别无关， ， 所以根据小概率值，可以认为是否观看过《庆余年2》与性别无关. （2）由（1）可知，在看过《庆余年2》的人中随机抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列如下表 0 1 2 3 . 一、单选题 1．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（    ） A．与具有正线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该中学某女生身高为，则可断定其体重必为 D．若该中学某女生身高增加，则其体重约增加 【答案】C 【分析】根据回归直线方程一一判断即可. 【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A正确； 又回归直线必过样本点的中心，故B正确； 当时， 即若该中学某女生身高为，则其体重约为，故C错误； 因为回归直线方程为，所以若该中学某女生身高增加， 则其体重约增加，故D正确； 故选：C 二、解答题 2．（23-24高二下·山西临汾·期末）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ (2)按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中．任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有关联 (2) 【分析】（1）通过列联表中得数据计算出值，然后对照表格数据作答； （2）得出分层抽样比，求出应抽出的优秀和不优秀的人数，再利用古典概型求解， 【详解】（1）解：零假设为数学成绩与语文成绩无关联． 根据列联表中的数据， 计算得到． 根据的独立性检验，我们推断不成立，即数学成绩与语文成绩有关联． （2）解：由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为， 不优秀的学生人数为， 则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为． 3．（23-24高二下·山西太原·期末）山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下： 租金 88 128 188 288 388 488 出租率 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15 (1)请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）. 261.3 0.46 5.4 121437.86 1.97 -221.19 -1.04 (2)已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大. 附：；对于一组数据，其经验回归方程为. 【答案】(1)选，； (2)元. 【分析】（1）观察散点图确定回归模型，换元，利用最小二乘法公式求出回归方程. （2）结合（1）求出收益的函数关系，利用导数探讨单调性并求出取最大值时的x值. 【详解】（1）由散点图知，应选更合适. 由，得，则， ， 所以. （2）依题意， ，求导得， 令，得，解得， 当时，，随着的增大而增大，当时，，随着的增大而减小， 所以当元时，民宿在这100天内的收益最大. 【点睛】易错点睛：非纯属回归方程的求解，换元转化为线性回归方程求解，再利用最小二乘法求解时，要代入对应值. 4．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； (3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. (2) (3)分布列见解析，数学期望为，方差为 【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可. （2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率. （3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差. 【详解】（1）根据数据补全列联表如下： 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设体育锻炼达标与性别无关， 由表格数据得， 因为， 所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. （2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为， 记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”， 则由题. （3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则；. 5．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： (2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)45 (2)（i）列联表见解析；有；（ii） 【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得； （2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为， 年龄在50岁以下的居民所占比例为， 所以分位数位于内， 由， 所以，样本数据的分位数为45； （2）（i）由题知，列联表为： 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 根据列联表中的数据，可得： 所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联； （ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人． 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为， ， ， 所以， 所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为． 6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的. (1)根据所给信息完成下列列联表： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 女 合计 (2)基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关? (3)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析； (2)有关； (3)34. 【分析】（1）根据给定信息计算，完善列联表. （2）求出的观测值，与临界值表比对作答. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，再求出期望作答. 【详解】（1）设男性患者人数为m，则女性患者人数为，由可得：， 因此男性患者人数为1200，女性患者人数为600， 男性患A型疾病的人数为，女性患A型疾病的人数是 列联表如下： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 800 400 1200 女 450 150 600 合计 1250 550 1800 （2）零假设：所患疾病的类型与性别无关， 根据列联表中的数据，经计算得到， 由于， 依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关. （3）接种疫苗的费用可能的取值为27，54， ，， 则的分布列为 27 54 P 期望为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$