专题04 随机变量及其分布（5大经典基础练+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量的均值与方差 题型04二项分布与超几何分布 题型05正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西临汾·期末）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（    ） A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 3．（23-24高二下·山西太原·期末）已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个红球，3个白球.现从袋中不放回连续摸球两次，每次摸出一个球.记事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 全概率公式 4．（23-24高二下·山西临汾·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山西太原·期末）在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； (2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. ( 题型0 3 )离散型随机变量的均值与方差 6．（23-24高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二下·山西长治·期末）甲、乙两个袋子各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求： (1)第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率； (2)在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率； (3)第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望. 9．（23-24高二下·山西晋城·期末）一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的n（）个球，号码分别标为1，2，，…，，从中有放回地随机摸球3次，每次摸球2个，把每次摸到的2个球号码之和记下，分别为，，． (1)若，求的概率； (2)求的值． ( 题型0 4 ) 二项分布与超几何分布 10．（23-24高二下·山西太原·期末）已知离散型随机变量，则（    ） A．8 B．2 C．1.6 D．0.8 11．（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 12．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 被调查的人数 10 15 20 25 5 赞成的人数 6 12 20 12 2 (1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值； (2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望． ( 题型0 5 )正态分布 13．（23-24高二下·山西长治·期末）已知，则 . 附：若，则，. 14．（23-24高二下·山西长治·期末）某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知，且，则 ． 16．（23-24高二下·山西太原·期末）已知某校高二年级数学考试成绩中，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） A．和的分布密度曲线相比，的分布密度曲线更“瘦高” B．成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例小于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例 C．成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例 D．成绩高于90分的男生人数在全体男生中的比例高于成绩低于62分的女生人数在全体女生中的比例 17．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： (1)根据频率分布直方图，求样本平均数 (2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，]. (3)假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值. 一、单选题 1．（23-24高二下·山西怀仁市大地中学·期末）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二下·山西朔州·期末）甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 3．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件为对立事件 C． D．设事件发生的次数为，则 三、填空题 5．（23-24高二下·山西太原·期末）某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 . 四、解答题 6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 7．（23-24高二下·山西太原市百校联考·期末）夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为． (1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； (2)若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望． 8．（23-24高二下·山西临汾·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 9．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球. (1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求； (2)求从乙盒取出2个红球的概率. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与独立事件 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量的均值与方差 题型04二项分布与超几何分布 题型05正态分布 ( 题型01 ) 条件概率与独立事件 1．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可． 【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种， 所以， 则， 故选：B． 2．（23-24高二下·山西临汾·期末）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（    ） A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 【答案】BCD 【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A选项，根据n次独立重复实验计算判断B，D，计算条件概率判断C选项即可. 【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误； ，则，故B正确； 记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则， ，所以，故C正确； ，当最大时， 即 所以即解得， 又，所以，当为6时，最大，故D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二下·山西太原·期末）已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个红球，3个白球.现从袋中不放回连续摸球两次，每次摸出一个球.记事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用古典概型、条件概率公式，结合互斥事件的概率逐项计算即得. 【详解】依题意，，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC ( 题型02 ) 全概率公式 4．（23-24高二下·山西临汾·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二下·山西太原·期末）在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； (2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 【答案】(1) (2)建议抽奖人改选2号箱,理由见解析 【分析】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”，由全概率公式有，然后结合题意即可求解； （2）利用条件概率求出，即可得解． 【详解】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”， 由全概率公式，得 ； （2）因为， ， 所以， 即建议抽奖人改选2号箱． ( 题型0 3 )离散型随机变量的均值与方差 6．（23-24高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用期望、方差公式求出，再比较大小即得. 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 7．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由方差的性质结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．（23-24高二下·山西长治·期末）甲、乙两个袋子各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求： (1)第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率； (2)在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率； (3)第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列、期望见解析 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可. （2）设事件B为第1次取出的是白球，事件C为第2次取出的是红球，根据条件概率公式计算即可； （3）分情况从甲中随机取出一红球或白球写出白球个数的概率及分布列，再求出期望即可. 【详解】（1）设事件表示从甲中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲中随机取出一白球放入乙中，设事件表示：从甲中随机取出一球放入乙中，再从乙中随机取出一球，则取出的球是红球， 则有：， 所以. （2）设事件为第一次从甲取出的是白球，事件为第二次从乙随机取出一个球是红球； 则，所以． （3）第二次从乙随机取出两个球，取出的白球的个数为，则， ， ， , 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 9．（23-24高二下·山西晋城·期末）一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的n（）个球，号码分别标为1，2，，…，，从中有放回地随机摸球3次，每次摸球2个，把每次摸到的2个球号码之和记下，分别为，，． (1)若，求的概率； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，4个小球得编号为：1，2，4，8，从中取2个，其编号和记为，则为：3，5，6，9，10，12，求出对应的概率，设事件：，可求. （2）先明确，问题转化为求，用表示每次摸到的2个球号码之和，求的分布列，再求. 【详解】（1）当时，4个小球得编号为：1，2，4，8，从中取2个，其编号和记为，则为：3，5，6，9，10，12， 且（） 记事件：，则. （2）因为是有放回抽取，所以，所以. 用表示每次摸到的2个球号码之和，则可以为：，，…，，，，…，，，…，. 共个不同的结果，且每个结果出现的可能性相同，对应概率均为. 所以 所以 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求. ( 题型0 4 ) 二项分布与超几何分布 10．（23-24高二下·山西太原·期末）已知离散型随机变量，则（    ） A．8 B．2 C．1.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式直接求解即可. 【详解】因为离散型随机变量， 所以. 故选：B 11．（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)7 【分析】（1）由题意可得服从超几何分布，其中，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望； （2）由题意求出从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得服从超几何分布，其中， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （2）由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为， 则，即， 所以， 令，得， 令，得， 所以， 因为，所以当时，最大. 12．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 被调查的人数 10 15 20 25 5 赞成的人数 6 12 20 12 2 (1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值； (2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用的概率为求出的值； （2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成的分布列. 【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以， 因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以． （2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4. 则， ， ． 所以的分布列为 2 3 4 所以. ( 题型0 5 )正态分布 13．（23-24高二下·山西长治·期末）已知，则 . 附：若，则，. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用正态曲线的对称性，即可求得答案. 【详解】， . 故答案为： 14．（23-24高二下·山西长治·期末）某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称法求解. 【详解】解：因为，且，， 所以， 故选：D 15．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】, 故答案为： 16．（23-24高二下·山西太原·期末）已知某校高二年级数学考试成绩中，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） A．和的分布密度曲线相比，的分布密度曲线更“瘦高” B．成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例小于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例 C．成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例 D．成绩高于90分的男生人数在全体男生中的比例高于成绩低于62分的女生人数在全体女生中的比例 【答案】AC 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，依次分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，男生成绩服从正态分布，其均值，标准差， 女生成绩服从正态分布，其均值，标准差， 对于A，因为，所以和的分布密度曲线相比的分布密度曲线更“瘦高”，故A正确； 对于B，，， 所以， 又因为， 则有， 即成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例大于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为，所以， 根据正态分布性质，， 所以， 故成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 因为，， 所以， 根据正态分布性质，， 故，故D错误， 故选：AC． 17．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： (1)根据频率分布直方图，求样本平均数 (2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，]. (3)假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值. 【答案】(1)70 (2)0.8186 (3)分布列见解析，1 【分析】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值； （2）分析易知，，而正品概率，然后结合参考数据即可得解； （3）X所有可能值为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， . （2）由题意可知，样本方差，故，所以， 该厂生产的产品为正品的概率： . （3）X所有可能值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以的分布列为 数学期望. 一、单选题 1．（23-24高二下·山西怀仁市大地中学·期末）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 二、多选题 2．（23-24高二下·山西朔州·期末）甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 【答案】ABD 【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项． 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABD 3．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布， 所以正态分布的对称轴为 ， 根据对称性可知：，得，A正确，B错误； 则，C错误，D正确. 故选：AD 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件为对立事件 C． D．设事件发生的次数为，则 【答案】AB 【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；根据对立事件的定义即可判断B；利用条件概率公式即可判断C；写出的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式求期望即可判断D. 【详解】对于A，， 则， 所以事件相互独立，故A正确； 对于B，因为抽取到的数字是或或或， 而事件不可能同时发生且必有一个发生， 所以事件为对立事件，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，由题意可取， 则， 所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 5．（23-24高二下·山西太原·期末）某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 . 【答案】75 【分析】求出一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率，再利用二项分布的期望公式计算即得. 【详解】依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过1000小时，是元件1使用寿命超过1000小时， 并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为， 显然200台这样的电器，使用寿命超过1000小时的台数，， 所以200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75. 故答案为：75 四、解答题 6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)分； (2)5； (3)分布列详见解析； 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）利用二项分布即可求得随机变量的期望； （3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该校预期的平均成绩大约是（分） （2）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人， 该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故 （3）X的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 7．（23-24高二下·山西太原市百校联考·期末）夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为． (1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； (2)若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据题意利用二项分布求解即可得； （2）根据题意分别求其概率、列出分布列求出期望即可得． 【详解】（1）令投中i次的概率为， 则； （2）X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 故X的概率分布列为： X 2 3 4 P 数学期望． 8．（23-24高二下·山西临汾·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． （2）由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 9．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球. (1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求； (2)求从乙盒取出2个红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据超几何分布概率求解； （2）根据甲盒任取1球放入乙盒的不同情况，分类讨论乙盒情况，利用超几何分布概率模型和全概率公式求解即可. 【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有. 所以 分布列如下： 0 1 所以. （2）(i)若，则此时甲盒取出来了1个白球放入乙盒， 此时乙盒有4个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为 (ii) 若，则此时甲盒取出来了1个红球放入乙盒， 此时乙盒有3个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； 所以从乙盒取出2个红球的概率为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$