专题03 计数原理（4大经典基础练+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法、分步乘法 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式系数的性质 ( 题型0 1 ) 分类加法、分步乘法 1．（23-24高二下·山西太原·期末）为备战2024法国巴黎奥运会，某运动队要从6名运动员中选4名参加接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒，在剩下的5人中有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第4棒，则此训练的不同方法种数为 . 2．（23-24高二下·山西太原·期末）有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（    ） A．7 B．12 C．18 D．24 ( 题型02 ) 排列及排列数公式 4．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 5．（23-24高二下·山西临汾·期末）甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（    ） A．10种 B．5种 C．12种 D．6种 6．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ． ( 题型03 ) 组合及组合数公式 7．（23-24高二下·山西太原·期末）已知，则 . 8．（23-24高二下·山西晋城·期末）将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为 ． 9．（23-24高二下·山西长治·期末）在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（   ） A．若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B．若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C．若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D．校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 10．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）中国女排精神代代相传．某网站对出战2024年巴黎奥运会的中国女排12人大名单进行了预测：主攻队员4人，副攻队员3人，二传和接应各2人，自由人1人．在中国女排每场比赛7人的首发阵容中，主攻和副攻各2人，二传和接应各1人，自由人1人．如果按照该网站预测的12人大名单出战，首发阵容方案数为（    ） A．144 B．140 C．72 D．36 ( 题型0 4 )二项式系数的性质 11．（23-24高二下·山西临汾·期末）的展开式中含有项的系数为 ． 12．（23-24高二下·山西长治·期末）展开式中的系数为（    ） A． B．36 C． D．28 13．（23-24高二下·山西太原·期末）在的展开式中，项的系数为 ． 14．（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（    ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 15．（23-24高二下·山西太原·期末）求展开式中常数项和的系数. 一、单选题 1．（23-24高二下·山西太原·期末）已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（    ） A． B． C．0 D． 2．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）二项式展开式的常数项为（    ） A． B．70 C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等 C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项 三、填空题 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）将（）的展开式中第m项的系数记作，则 （用数字作答）． 5．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）二项式的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为 ． 四、解答题 7．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）已知． (1)若，求的值； (2)若，求m的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法、分步乘法 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式系数的性质 ( 题型0 1 ) 分类加法、分步乘法 1．（23-24高二下·山西太原·期末）为备战2024法国巴黎奥运会，某运动队要从6名运动员中选4名参加接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒，在剩下的5人中有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第4棒，则此训练的不同方法种数为 . 【答案】60 【分析】根据题意，设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第4棒，对甲排第4棒和第1棒分类，结合排列组合即可得解． 【详解】设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第4棒， 当甲排第4棒时，乙、丙均不参与，则丁及其他两人必参加，有种； 乙、丙都参与有，在其他3人任选1人安排在第1棒有，则种； 乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有，最后在3人任选2人安排余下的两棒有，则种； 当甲排第1棒时，乙、丙均不参与，则丁及其它两人必参加，有种； 乙、丙都参与，则丁必不能参与，有种； 乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有，则第4棒在除丁外其他两人选一个有，余下一棒在余下可参与的两人任选一个有，则种； 综上，合适的选择方法种数为种． 故答案为：60 2．（23-24高二下·山西太原·期末）有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步计数原理可求不同的选法数. 【详解】由题设，5名同学可分5步完成，任何一个同学有3种选择方法，故他们不同的选法数为：， 故选：D. 3．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（    ） A．7 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. ( 题型02 ) 排列及排列数公式 4．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 5．（23-24高二下·山西临汾·期末）甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（    ） A．10种 B．5种 C．12种 D．6种 【答案】A 【分析】先选出2节相邻的车厢，有5种方法，再将两人排列有种方法，利用分步计数原理即可得出结果. 【详解】先选出2节相邻的车厢有5种方法， 再将甲、乙两人排列有种方法， 所以，两人乘坐的车厢相邻的方案共有种． 故选：A 6．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ． 【答案】24 【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得. 【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法， 再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法， 所以不同站法的种数为. 故答案为：24 ( 题型03 ) 组合及组合数公式 7．（23-24高二下·山西太原·期末）已知，则 . 【答案】4 【分析】根据组合数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】，故或（舍去）， 故答案为：4 8．（23-24高二下·山西晋城·期末）将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为 ． 【答案】12 【分析】有排列组合即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】每个小组安排一个女生，有种方法， 每个小组安排一名男生，有种方法， 故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有种方法， 故答案为：12 9．（23-24高二下·山西长治·期末）在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（   ） A．若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B．若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C．若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D．校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 【答案】BD 【分析】从剩余人种选人即可判断A；利用排除法即可判断B；先选好人，在分组分配即可判断C；利用捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由题意，共有种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有种选法，故B正确； 对于C，先选好人，共有种选法， 然后将人按要求分到三个展区，有种， 所以共有种选派法，故C错误； 对于D，由题意，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 10．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）中国女排精神代代相传．某网站对出战2024年巴黎奥运会的中国女排12人大名单进行了预测：主攻队员4人，副攻队员3人，二传和接应各2人，自由人1人．在中国女排每场比赛7人的首发阵容中，主攻和副攻各2人，二传和接应各1人，自由人1人．如果按照该网站预测的12人大名单出战，首发阵容方案数为（    ） A．144 B．140 C．72 D．36 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合数公式直接求值. 【详解】由题意可知，共有种不同的首发阵容方案． 故选：C ( 题型0 4 )二项式系数的性质 11．（23-24高二下·山西临汾·期末）的展开式中含有项的系数为 ． 【答案】 【分析】利用通项公式求含有项的系数. 【详解】根据题意，的展开式的通项为：为， 令，得， 所以项的系数为. 故答案为： 12．（23-24高二下·山西长治·期末）展开式中的系数为（    ） A． B．36 C． D．28 【答案】D 【分析】直接使用二项式定理即可. 【详解】在的展开式中，根据二项式定理可知二次项为，即. 所以展开式中的系数为. 故选：D. 13．（23-24高二下·山西太原·期末）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【分析】先求出每部分含的系数，再利用组合数求解即可. 【详解】由于的展开式中的系数是， 而. 故答案为：. 14．（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（    ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中常数项，即可得解. 【详解】， 的展开式的通项公式为， 令，解得，则的展开式的常数项为； 令，解得，则的展开式的常数项为， 因为的展开式中常数项是20，所以，解得. 故选：D. 15．（23-24高二下·山西太原·期末）求展开式中常数项和的系数. 【答案】常数项是，的系数是. 【分析】根据给定的二项式，求出展开式的通项，再求出指定项的系数. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，得，， 由，得，， 所以展开式中常数项是，的系数是. 一、单选题 1．（23-24高二下·山西太原·期末）已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数得，利用赋值法求出结果． 【详解】根据的展开式通项， 当与配对时，，故的系数为, 当与配对时，，故的系数为， 所以，故； 故令，则各项的系数和为． 故选：D． 2．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）二项式展开式的常数项为（    ） A． B．70 C． D． 【答案】D 【分析】由，令得出后代入计算即可得. 【详解】， 令，即，故， 即展开式的常数项为. 故选：D. 二、多选题 3．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等 C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AB，根据二项展开式的通项公式求解可判断C；列不等式求最大项的系数，判断D. 【详解】 对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确； 对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为,不相等，故B错误； 对于C：第4项为，所以第4项的系数为，故C正确； 对于D：二项展开式的通项为， 由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确. .故选：ACD. 三、填空题 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）将（）的展开式中第m项的系数记作，则 （用数字作答）． 【答案】 【分析】由题意可得，再根据组合数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得， 则 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意得出是解决本题的关键. 5．（23-24高二下·山西晋中市榆次区第二中学·期末）二项式的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，（且）， 令，得， 可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】计算并化简得到，根据对勾函数的性质计算最值得到答案. 【详解】， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 故当或时，有最小值为，故. 故答案为： 四、解答题 7．（23-24高二下·山西侯马市第一中学·期末）已知． (1)若，求的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过赋值法求系数和； （2）通过二项式定理的通项求参数值． 【详解】（1）在中， 取，得， 取，得， 以上两式相减，得． （2）的通项为， 若，可得， 所以，解得或． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$