专题05 概率（3大经典基础练+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 概率 题型概览 题型01互斥事件与对立事件 题型02古典概型及其概率计算 题型03独立事件的乘法公式 ( 题型0 1 ) 互斥事件与对立事件 1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 2．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 3．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为.求射中环数小于8环的概率． 4．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（    ） A．事件A和D是对立事件 B．事件B和C是对立事件 C．事件A和B是互斥事件 D．事件C和D是互斥事件 ( 题型02 ) 古典概型及其概率计算 5．（23-24高一下·山西大同·期末）有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则 (1)卡片上数字全是奇数的概率为 ， (2)卡片上数字之积为偶数的概率为 . 6．（23-24高一下·山西太原·期末）已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山西太原·期末）某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 534  123  512  114  125  334  432  332  314  152 423  443  423  344  541  453  525  151  354  345 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（    ） A．0.24 B．0.3 C．0.7 D．0.76 8．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用，，，，，表示6只手套．从中不放回随机取出2只． (1)写出试验的样本空间； (2)分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率 ( 题型03 ) 独立事件的乘法公式 10．（23-24高一下·山西大同·期末）某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 11．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知相互独立事件满足，则 . 12．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为 ． 13．（23-24高一下·山西大同·期末）为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． (1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； (2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率． 14．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两歌迷进行听歌曲旋律猜歌名的游戏，已知甲猜出歌名的概率为0.8，乙猜出歌名的概率为0.6，甲和乙猜出与否互不影响． (1)求甲、乙都猜出歌名的概率； (2)求甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率． 一、单选题 1．（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 2．（23-24高一下·山西阳泉·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 3．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 4．（23-24高一下·山西吕梁·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（    ） A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙互斥 5．（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 二、多选题 6．（23-24高一下·山西长治·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有三个小孩的家庭．随机选择一个家庭，记该家庭中是“三个男孩”“两个男孩一个女孩”“两个女孩一个男孩”“三个女孩”分别为事件，，，，则（    ） A．事件，，两两互斥 B．该家庭既有男孩又有女孩的概率为 C．事件与互为对立事件 D．事件，相互独立 7．（23-24高一下·山西大同·期末）下列结论中正确的是（    ） A．已知向量，，，则 B．已知直线l⊥平面α，直线m//平面α，则l⊥m C．一组数据13，8，10，6，9，15，5，的60%分位数为9 D．已知随机事件A和B互斥，若，，则 8．（23-24高一下·山西大同·期末）已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 9．（23-24高一下·山西太原·期末）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 三、填空题 10．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 四、解答题 11．（23-24高一下·山西长治·期末）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据：） 12．（23-24高一下·山西阳泉·期末）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 13．（23-24高一下·山西吕梁·期末）2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长. 名称 发射时间 飞行时长 神舟一号 1999年11月20日 21小时11分 神舟二号 2001年1月10日 6天18小时22分 神舟三号 2002年3月25日 6天18小时39分 神舟四号 2002年12月30日 6天18小时36分 神舟五号 2003年10月15日 21小时28分 神舟六号 2005年10月12日 4天19小时32分 神舟七号 2008年9月25日 2天20小时30分 神舟八号 2011年11月1日 16天 神舟九号 2012年6月16日 13天 神舟十号 2013年6月11日 15天 神舟十一号 2016年10月17日 32天 神舟十二号 2021年6月17日 3个月 神舟十三号 2021年10月16日 6个月 神舟十四号 2022年6月5日 6个月 神舟十五号 2022年11月29日 6个月 神舟十六号 2023年5月30日 5个月 神舟十七号 2023年10月26日 6个月 神舟十八号 2024年4月25日 预计6个月 为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画、海报、数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”. (1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率； (2)海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘制作海报；海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，两组选择互不影响，求两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份的概率. 14．（23-24高一下·山西大同·期末）当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (3)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 15．（23-24高一下·山西长治·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立. (1)若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率； (2)若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率. 16．（23-24高一下·山西太原·期末）某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； (2)按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ (3)在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 题型概览 题型01互斥事件与对立事件 题型02古典概型及其概率计算 题型03独立事件的乘法公式 ( 题型0 1 ) 互斥事件与对立事件 1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】对于A：因为事件，互斥，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，事件，满足，互斥， 但是，，显然，不互斥，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：C 2．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 3．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为.求射中环数小于8环的概率． 【答案】0.29 【分析】根据互斥事件的知识求得正确答案. 【详解】事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件， 则P(射中环数小于8环). 4．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（    ） A．事件A和D是对立事件 B．事件B和C是对立事件 C．事件A和B是互斥事件 D．事件C和D是互斥事件 【答案】AD 【分析】先用列举法得到样本空间总事件及事件包含的事件，从而利用对立事件和互斥事件所满足的关系进行判断，得到答案. 【详解】将3名女生设为，两名男生设为， 任选两人组成学习小组，以下是样本空间包含的基本事件：， 其中事件包含， 事件包含， 事件包含， 事件包含， A选项，因为，且，所以事件A和D是对立事件，A正确； B选项，因为， 所以事件B和C不是互斥事件，也不是对立事件，B错误； C选项，因为，所以事件A和B不是互斥事件，C错误； D选项，因为，所以事件C和D是互斥事件，D正确. 故选：AD ( 题型02 ) 古典概型及其概率计算 5．（23-24高一下·山西大同·期末）有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则 (1)卡片上数字全是奇数的概率为 ， (2)卡片上数字之积为偶数的概率为 . 【答案】 /0.3 /0.7 【分析】（1）从5张卡片中任取2张共10种取法, 卡片上数字全是奇数的有3种取法，由古典概型的概率计算公式可得概率； （2）方法一：卡片上数字之积为偶数的有7种取法，由古典概型的概率计算公式可得概率.方法二：“卡片上数字全是奇数”“卡片上数字之积为偶数”为对立事件，由（1）可知所求概率. 【详解】从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种取法． （1）卡片上数字全是奇数的有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字全是奇数的概率为. （2）方法一：卡片上数字之积为偶数的有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字之积为偶数的概率为. 方法二：从5张卡片中任取2张，有“卡片上数字全是奇数”“卡片上数字之积为偶数”两种结果，且二者必居其一，由(1)可知所求概率为1－＝. 故答案为：； 6．（23-24高一下·山西太原·期末）已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲袋中的总球数为，则甲袋中有个红球，个白球，乙袋中的总球数为，根据题意可得乙袋中有个红球，计算可得乙袋中摸到红球的概率. 【详解】假设甲袋中的总球数为，因为从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为， 则甲袋中有个红球，个白球， 又乙袋中球数是甲袋中球数2倍，乙袋中的总球数为； 因为将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为， 所以甲、乙两袋中共有个红球，所以乙袋中有个红球， 因而从乙袋中摸到红球的概率为. 故选：C. 7．（23-24高一下·山西太原·期末）某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 534  123  512  114  125  334  432  332  314  152 423  443  423  344  541  453  525  151  354  345 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（    ） A．0.24 B．0.3 C．0.7 D．0.76 【答案】B 【分析】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况， 所以可估计甲获得冠军的概率为. 故选：B. 8．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝种颜色的运动服中选择种有种不同的结果， 分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝）， （黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝）， （白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝）， （蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）． 他们选择相同颜色运动服有种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝）， 故他们选择相同颜色运动服的概率为，所以他们选择不同颜色运动服的概率为. 故选：A． 9．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用，，，，，表示6只手套．从中不放回随机取出2只． (1)写出试验的样本空间； (2)分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）写出所有可能的情况即可； （2）分别得出“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”包含的基本事件个数，根据古典概型求解. 【详解】（1）由题知，试验的样本空间. （2）设“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”分别为事件A，B， 事件A包含的基本事件有：，共3个， 事件B包含的基本事件有：，共6个， 则，， 所以取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率分别为，． ( 题型03 ) 独立事件的乘法公式 10．（23-24高一下·山西大同·期末）某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【分析】先根据独立事件的概率公式求出一天内这两台设备没有一台正常运行的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】因为两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立， 所以这两台设备都没有正常运行的概率为， 所以一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为. 故选：D 11．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知相互独立事件满足，则 . 【答案】/ 【分析】根据独立事件乘积概率公式及对立事件概率计算即可. 【详解】因为相互独立事件，， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为 ． 【答案】/ 【分析】设相应的事件，可知，结合互斥事件以及独立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲投中8次、9次、10次分别为事件，乙投中8次、9次、10次分别为事件， 则，， 设甲投中的次数多于乙投中的次数为事件C， 则， 可得 ， 所以甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为0.3. 故答案为：. 13．（23-24高一下·山西大同·期末）为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． (1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； (2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。 （2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。 （3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。 【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件， 所以， 即乙至少有1个回答正确的概率是． （2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件 所以 ， 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是． （3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件， 所以 ， 即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是． 14．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两歌迷进行听歌曲旋律猜歌名的游戏，已知甲猜出歌名的概率为0.8，乙猜出歌名的概率为0.6，甲和乙猜出与否互不影响． (1)求甲、乙都猜出歌名的概率； (2)求甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式即可求解； （2）先甲、乙两人都没有猜出的概率，再由对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）记甲猜出歌名为事件A, 乙猜出歌名为事件B，则， 则甲、乙都猜出歌名的概率为. （2）“甲、乙两人中至少有一人猜出歌名”的对立事件是“两人都没有猜出”， 甲、乙两人都没有猜出的概率为， 所以甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率为. 一、单选题 1．（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【分析】理解题意即可选出正确答案. 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 2．（23-24高一下·山西阳泉·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 【答案】C 【分析】列举出所有基本事件，再结合互斥事件、对立事件的意义及古典概型逐项判断即得. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)， 对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误； 对于C，，C正确； 对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误． 故选：C 3．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【分析】根据概率的定义及性质判断即可. 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·山西吕梁·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（    ） A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙互斥 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义，即可判断出选项A，B和D的正误，对于选项C，分别求出事件甲、事件乙发生的概率，事件甲、乙同时发生的概率，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，当第二次骰子正面向上的数字是时，事件甲与事件乙可以同时发生，所以选项A错误； 对于选项B，抛掷一枚质地均匀的骰子2次，正面向上的数字之和可能是，所以乙丙互斥但不对立； 对于选项C，设事件甲，事件乙发生的概率分别为，事件甲、乙同时发生的概率为， 因为，又，所以，故选项C错误； 对于选项D，因为事件甲与事件乙不能同时发生，所以甲丙互斥，故选项D正确； 故选：D. 5．（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 二、多选题 6．（23-24高一下·山西长治·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有三个小孩的家庭．随机选择一个家庭，记该家庭中是“三个男孩”“两个男孩一个女孩”“两个女孩一个男孩”“三个女孩”分别为事件，，，，则（    ） A．事件，，两两互斥 B．该家庭既有男孩又有女孩的概率为 C．事件与互为对立事件 D．事件，相互独立 【答案】ACD 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，C；利用古典概型可判断选项B；利用独立事件概率乘积公式判断选项D. 【详解】有三个小孩的家庭按老大老二老三排列的样本空间可记为： Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，共计8种情况， 事件A={（男，男，男）}，1种情况 事件B={（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}，3种情况， 事件C={（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）}，3种情况 事件D={（女，女，女）},1种情况 对于A：A与C无公共元素，即A与C互斥，A与B无公共元素，即A与B互斥，C与B无公共元素，即C与B互斥，A正确； 对于B：家庭既有男孩又有女孩的概率为，B错误； 对于C：互斥，且，即与对立，C正确； 对于D： ，所以相互独立，D选项正确. 故选：ACD 7．（23-24高一下·山西大同·期末）下列结论中正确的是（    ） A．已知向量，，，则 B．已知直线l⊥平面α，直线m//平面α，则l⊥m C．一组数据13，8，10，6，9，15，5，的60%分位数为9 D．已知随机事件A和B互斥，若，，则 【答案】BC 【分析】根据模长及数量积公式计算判断A选项，结合线面垂直判断线线垂直，应用百分位数计算判断C选项，根据互斥事件概率和公式结合对立事件概率计算判断D选项. 【详解】对于A:,所以，A选项错误； 对于B:平面，存在,,则,可得,B选项正确； 对于C:,数据按从小到大排列可得第5个数为9，C选项正确； 对于D:随机事件A和B互斥,,D选项错误. 故选：BC. 8．（23-24高一下·山西大同·期末）已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【分析】根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对B，若与互斥，则，故B正确； 对于C，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故C正确； 对于D，若与相互独立， 则，故D错误. 故选：BC. 9．（23-24高一下·山西太原·期末）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】BC 【分析】根据题意，分别写出事件、、、包含的基本事件，并计算出概率，然后根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷骰子两次，则基本事件有 共个， 其中事件包含的基本事件有 共个； 其中事件包含的基本事件有 共个； 事件包含的基本事件有，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共个； 事件包含的基本事件有，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共个； 对于A：事件与可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误； 对于B：事件与不能同时发生，即其中一个发生另一个一定不发生，且一定有一个会发生， 故与是互斥事件且是对立事件，故B正确； 对于C：因为，， 且包含的基本事件有共个， 所以，所以与是相互独立事件，故C正确； 对于D：因为与是对立事件且， 所以，故与不是相互独立事件，故D错误. 故选：BC 三、填空题 10．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 【答案】 【分析】按照表示“第枚硬币正面朝上”， 表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上” ，表示“第枚硬币反面朝上”写出即可． 【详解】事件空间： . 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·山西长治·期末）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据：） 【答案】(1)乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为 (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得； 【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 依题意，，所以， ，所以， 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. 12．（23-24高一下·山西阳泉·期末）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1)岁 (2) (3)10 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得； （2）根据古典型概念公式可得； （3）根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【详解】（1）设这人的平均年龄为，则 （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则 ， 所以 （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 13．（23-24高一下·山西吕梁·期末）2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长. 名称 发射时间 飞行时长 神舟一号 1999年11月20日 21小时11分 神舟二号 2001年1月10日 6天18小时22分 神舟三号 2002年3月25日 6天18小时39分 神舟四号 2002年12月30日 6天18小时36分 神舟五号 2003年10月15日 21小时28分 神舟六号 2005年10月12日 4天19小时32分 神舟七号 2008年9月25日 2天20小时30分 神舟八号 2011年11月1日 16天 神舟九号 2012年6月16日 13天 神舟十号 2013年6月11日 15天 神舟十一号 2016年10月17日 32天 神舟十二号 2021年6月17日 3个月 神舟十三号 2021年10月16日 6个月 神舟十四号 2022年6月5日 6个月 神舟十五号 2022年11月29日 6个月 神舟十六号 2023年5月30日 5个月 神舟十七号 2023年10月26日 6个月 神舟十八号 2024年4月25日 预计6个月 为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画、海报、数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”. (1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率； (2)海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘制作海报；海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，两组选择互不影响，求两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出样本空间点和事件包含的样本点，再利用古典概率公式，即可求解； （2）设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，利用古典概率公式，求出事件和事件的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共18个样本点． 设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件，则，共5个样本点， 所以． （2）“组从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为，，共15个样本点． “组从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为，共6个样本点． 设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，则，共3个样本点， 所以． 设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，则，共3个样本点， 所以 设“两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份”为事件， 两组选择互不影响，所以事件的概率为． 14．（23-24高一下·山西大同·期末）当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (3)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 【答案】(1)0.1； (2)7.4小时； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图tk 小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得. （3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，所以. （2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）. （3）每天玩网络游戏的时间在和内的人数比为， 则用分层抽样的方法抽取的5人中，在内的有1人，记为，在内的有4人，记为， 这5人中随机抽取2人的试验的样本空间，共10个样本点， 玩网络游戏的时间所在区间不同的事件，共4个样本点， 所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 15．（23-24高一下·山西长治·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立. (1)若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率； (2)若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率. 【答案】(1)0.64 (2)0.2375 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由独立事件概率乘法公式，结合分类即可求解. 【详解】（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中， 故所求概率为． （2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率． 若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或中间3次（第2，3，4次）乙有1次投篮未命中且甲也有1次投篮未命中， 所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率是 ． 故所求概率为． 16．（23-24高一下·山西太原·期末）某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； (2)按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ (3)在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得，再由平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到成绩在的学生有2人，在的学生有4人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， 可得，解得， 竞赛的平均成绩：. （2）解：由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，设为， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. （3）由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ,， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$