专题04 统计（5大经典基础题+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题04 统计 题型概览 题型01简单随机抽样 题型02分层随机抽样 题型03百分位数 题型04众数、中位数、平均数 题型05极差、方差与标准差 ( 题型0 1 ) 简单随机抽样 1．（23-24高一下·山西大同·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·期末）下列抽样方法是简单随机抽样的有（　　） A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码 ( 题型02 ) 分层随机抽样 3．（23-24高一下·山西太原·期末）某校高一、高二、高三的学生人数比为，按年级分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，抽取了容量为56的样本，则高三年级应该抽取人数为 ． 4．（23-24高一下·山西长治·期末）某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 5．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 、 ． ( 题型03 ) 百分位数 6．（23-24高一下·山西长治·期末）数据5.9，7.8，7.2，8.4，8.9，8.3，9.5，9.1的第80百分位数为（    ） A．8.3 B．8.9 C．9.1 D．9.3 7．（23-24高一下·山西太原·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，则该组数据的第75百分位数为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 8．（23-24高一下·山西阳泉·期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是 ． 9．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（    ） A．18 B．20 C．21 D．22 ( 题型0 4 )众数、中位数、平均数 10．（23-24高一下·山西大同·期末）若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（　　） A．a B．2+a C．2 D．2a 11．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？ 12．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（    ） A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8．9月份 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 13．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05. 求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 14．（23-24高一下·山西长治·期末）已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； (3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. ( 题型0 5 )极差、方差与标准差 15．（23-24高一下·山西大同·期末）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（    ） A． B． C． D．7 16．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知数据的方差为16，则数据的方差为 . 17．（23-24高一下·山西太原·期末）现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（    ）    A．甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B．乙机床数据比甲机床数据更稳定 C．甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D．甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数 18．（23-24高一下·山西大同·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，． (1)求这组样本的平均数和方差； (2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差． 19．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中的环数分别为： 甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8 乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9 (1)计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差； (2)从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？ 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原·期末）为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（    ） A．总体 B．样本 C．样本量 D．个体 2．（23-24高一下·山西大同·期末）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（　　） A．1680 B．1760 C．1840 D．1920 3．（23-24高一下·山西太原·期末）某公司有员工30名，其中包含经理一名、保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，拟采用以下两种方案：方案一，调查公司全部30名员工的工资情况；方案二，收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围，只调查其他28名员工的工资情况．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差 4．（23-24高一下·山西运城·期末）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车有（    ） A．6台 B．10台 C．20台 D．30台 二、多选题 6．（23-24高一下·山西长治·期末）某学校为了解学生英语口语情况，在学校组织了一次口语测试，高一、高二、高三的参考人数分别为300，400，300，采用样本量比例分配的分层随机抽样从三个年级中抽取容量为50的样本，经计算三个年级口语成绩的样本平均数分别为90，85，90，方差分别为2，1，2，则（    ） A．三个年级分别抽15，20，15人 B．总样本平均数为88 C．总样本方差为 D．估计该校学生的口语成绩平均数为 7．（23-24高一下·山西太原·期末）已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，，则 8．（23-24高一下·山西怀仁县大地学校·期末）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ） A．的值为0.035 B．估计这组数据的众数为90 C．估计这组数据的第70百分位数为89 D．估计成绩低于80分的有350人 9．（23-24高一下·山西阳泉·期末）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 三、填空题 10．（23-24高一下·山西长治·期末）若一组数据3，4，6，，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数的最小值为 . 11．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为 . 四、解答题 12．（23-24高一下·山西长治·期末）大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉水”之称．一果农从果园中随机抽取100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这100颗大黄梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图． (1)估计该批大黄梨的平均评分及标准差； (2)若将评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果四个不同的等级，果农现有5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量； (3)用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 方案2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示： 等级 普通 良果 优果 特优果 售价（元/千克） 7 8 12 15 若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 13．（23-24高一下·山西吕梁·期末）北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区魏善庄镇鸣枪开跑，参赛规模为6000人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了名参赛者的成绩，得到的数据如下表所示： 分数 频数 5 10 20 30 频率 0.10 0.20 0.30 0.35 (1)分别求的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占以上，并且参赛者得分分数的平均数超过80分，则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 14．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的x值； (2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98，100)内的样本数； (3)记产品尺寸在[98，102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 15．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明： （1）如果，那么； （2）如果，那么. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 统计 题型概览 题型01简单随机抽样 题型02分层随机抽样 题型03百分位数 题型04众数、中位数、平均数 题型05极差、方差与标准差 ( 题型0 1 ) 简单随机抽样 1．（23-24高一下·山西大同·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简单抽样每个个体被抽到的概率相等，即可求解. 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是． 故选:C． 2．（23-24高一下·山西大同·期末）下列抽样方法是简单随机抽样的有（　　） A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码 【答案】ABD 【分析】根据简单随机抽样定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动，是简单随机抽样，故正确； 对于B，是简单随机抽样，一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次，故正确； 对于C，不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的， 而不是随机抽取的，故错误； 对于D，中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码，是简单随机抽样，故正确. 故选：ABD. ( 题型02 ) 分层随机抽样 3．（23-24高一下·山西太原·期末）某校高一、高二、高三的学生人数比为，按年级分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，抽取了容量为56的样本，则高三年级应该抽取人数为 ． 【答案】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意高三年级应该抽取人数为人. 故答案为： 4．（23-24高一下·山西长治·期末）某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义列方程求解即可. 【详解】设男员工的样本量为，由分层随机抽样的定义可得，解得． 故选：C. 5．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 、 ． 【答案】 200 20 【解析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求得结果． 【详解】解：所有学生数为，故样本容量为， 且样本中，小学生人数为，初中生人数为，高中生人数为， 抽取的高中生近视人数为， 故答案为：200；20． ( 题型03 ) 百分位数 6．（23-24高一下·山西长治·期末）数据5.9，7.8，7.2，8.4，8.9，8.3，9.5，9.1的第80百分位数为（    ） A．8.3 B．8.9 C．9.1 D．9.3 【答案】C 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为， 所以这组数据的第百分位数为. 故选：C. 7．（23-24高一下·山西太原·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，则该组数据的第75百分位数为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】根据百分位数的计算公式即可得出结果. 【详解】该组数据从小到大的排序是：，且， 则该组数据的第75百分位数为. 故选：C. 8．（23-24高一下·山西阳泉·期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是 ． 【答案】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以这组样本数据的第60百分位数是. 故答案为：. 9．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（    ） A．18 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，故分位数是第6个和第7个的平均数， 则， 故选：B. ( 题型0 4 )众数、中位数、平均数 10．（23-24高一下·山西大同·期末）若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（　　） A．a B．2+a C．2 D．2a 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】∵， ∴数据的平均数 . 故选：. 11．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？ 【答案】各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91 【分析】按分层抽样计算初中部、高中部应抽取的人数，再估算学校的平均视力即可. 【详解】解：初中部抽取人数为， 高中部抽取人数为， 学校平均视力为， 所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91. 12．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（    ） A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8．9月份 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D 【分析】由折线图的意义、及中位数的定义即可判断出A错误；根据折线图中增减的几何意义可以判定B错误；根据纵轴的意义，观察最高点的大约月份可判定C错误，根据图形的波动幅度可以判定D正确.. 【详解】解：由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11，共3个月，低的有1,2,3,4,5,7,8共7个月， 故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确 ； 月跑步平均里程在1月到2月，7月到8月，10月到11都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确； 月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三个月，8月份是相对较低的，因此C不正确； 从折线图来看，1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 13．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05. 求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 【答案】（1）众数为，中位数为； （2）． 【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数； （2）利用各小组底边的中点值乘以对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数为， 又因为第一个小矩形的面积为， 设第二个小矩形底边的一部分长为，则，解得， 所以中位数为． （2）依题意，利用平均数的计算公式， 可得平均成绩为：， 所以参赛学生的平均成绩为分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．（23-24高一下·山西长治·期末）已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； (3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 【答案】(1) (2)73 (3)180 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （3）根据频率估计概率，即可求解人数. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得． （2）由题意，估计平均分分. （3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为． ( 题型0 5 )极差、方差与标准差 15．（23-24高一下·山西大同·期末）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的公式列式计算即得. 【详解】记原5个数据依次为，，则新数据的平均数为， 由原数据的方差为1，得，则， 所以这组新数据的方差为. 故选：A 16．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知数据的方差为16，则数据的方差为 . 【答案】36 【分析】根据以及方差性质即可得解. 【详解】因为， 又数据的方差为16， 所以由方差性质得数据的方差为. 故答案为：36. 17．（23-24高一下·山西太原·期末）现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（    ）    A．甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B．乙机床数据比甲机床数据更稳定 C．甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D．甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数 【答案】C 【分析】结合图形，由极差、方差、平均数、众数的概念即可判断. 【详解】对于A：甲机床数据的极差为，乙机床数据的极差为， 所以甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差，故A正确； 对于B：乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床数据比甲机床数据更稳定，故B正确； 对于C：甲机床数据的平均数为， 乙机床数据的平均数为， 故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数，故C错误； 对于D：甲机床数据从小到大排列为：，，，，，， ，，，，故中位数为， 乙机床数据从小到大排列为：，，，，，， ，，，，故中位数为，故D正确. 故选：C 18．（23-24高一下·山西大同·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，． (1)求这组样本的平均数和方差； (2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差． 【答案】(1)样本平均数为，样本方差为． (2)平均数为，方差为 【分析】（1）根据题意，由平均数以及方差的计算公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由平均数与方差的性质即可得到结果. 【详解】（1）样本平均数为． 样本方差为． （2）因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分，所以改进后生产的产品评分的平均数， 方差为． 19．（23-24高一下·山西太原·期末）甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中的环数分别为： 甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8 乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9 (1)计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差； (2)从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？ 【答案】(1)甲的平均数为8.7，方差为0.81，乙的平均数为8.7，方差为0.41 (2)乙 【分析】（1）由平均数和方差的计算公式计算即可得到答案； （2）由，可知乙运动员的射箭技术更好. 【详解】（1）根据题中所给数据，甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为， 故甲的平均数为8.7，标准差为0.81，乙的平均数为8.7，标准差为0.41. （2）由（1）可知，，因为平均数相同，方差越小的技术越稳定， 所以乙的技术较为稳定，故乙运动员的射箭技术更好. 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原·期末）为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（    ） A．总体 B．样本 C．样本量 D．个体 【答案】B 【分析】根据总体、样本的定义判断即可. 【详解】依题意，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是一组样本. 故选：B 2．（23-24高一下·山西大同·期末）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树苗的高度（单位：），将所得数据分成7组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约是（　　） A．1680 B．1760 C．1840 D．1920 【答案】B 【分析】求出树苗中高度小于的频率，然后根据频数=样本容量×频率可求出结果. 【详解】由频率分布直方图可得，小于的树苗的频率， 所以可推测，4000棵树苗中高度小于的树苗棵数约为． 故选：B． 3．（23-24高一下·山西太原·期末）某公司有员工30名，其中包含经理一名、保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，拟采用以下两种方案：方案一，调查公司全部30名员工的工资情况；方案二，收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围，只调查其他28名员工的工资情况．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差 【答案】A 【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解. 【详解】由题意，公司30名员工的工资情况组成30个数据，按大小顺序排列，排在中间的两个数的平均数是中位数，去掉收入最高的经理和收入最低的保洁的工资，即去掉一个最大值和一个最小值，剩余28个数据按大小顺序排列，排在中间的两个数还是原来的两个数，所以这两个数的平均数不变，即中位数不变； 平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化； 极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化. 故选：A. 4．（23-24高一下·山西运城·期末）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】设参加射门比赛的男教师人数为，根据总体的平均数求出，设女教师进球数的方差为，根据方差公式计算可得. 【详解】设参加射门比赛的男教师人数为，则全部参赛教师进球数的平均数， 解得，即参赛的男女教师各有人， 设女教师进球数的方差为， 依题意可得，解得. 故选：B 5．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车有（    ） A．6台 B．10台 C．20台 D．30台 【答案】D 【分析】根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车比例，与总体中乙种型号的吊车比例相等，列式计算即得解. 【详解】设抽到乙种型号的吊车x台，则 故选：D 【点睛】本题考查了分层抽样的性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力. 二、多选题 6．（23-24高一下·山西长治·期末）某学校为了解学生英语口语情况，在学校组织了一次口语测试，高一、高二、高三的参考人数分别为300，400，300，采用样本量比例分配的分层随机抽样从三个年级中抽取容量为50的样本，经计算三个年级口语成绩的样本平均数分别为90，85，90，方差分别为2，1，2，则（    ） A．三个年级分别抽15，20，15人 B．总样本平均数为88 C．总样本方差为 D．估计该校学生的口语成绩平均数为 【答案】ABC 【分析】首先求出各年级抽取的人数，再由平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意高一年级抽取人， 高二年级抽取人， 高三年级抽取人，故A正确； 所以总样本平均数为，故B正确； 则估计该校学生的口语成绩平均数为，故D错误； 总样本方差为，故C正确. 故选：ABC 7．（23-24高一下·山西太原·期末）已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，，则 【答案】AC 【分析】根据平均数公式判断A，利用特殊值判断B，首先求出，再根据平均数的性质判断C，求出，再根据方差的性质判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 又，，所以，故A正确； 对于B：若，满足，且， 但是，故B错误； 对于C：因为，所以， 又，所以，故C正确； 对于D：因为 ， 又，所以，故D错误. 故选：AC 8．（23-24高一下·山西怀仁县大地学校·期末）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ） A．的值为0.035 B．估计这组数据的众数为90 C．估计这组数据的第70百分位数为89 D．估计成绩低于80分的有350人 【答案】ABD 【分析】利用频率分布直方图频率之和为1，求解众数、百分位数问题. 【详解】易知，解得，所以A错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为. 故第70百分位数落在区间，设第70百分位数为， 则，解得，所以正确； 成绩低于80分的频率为，所以估计成绩低于80分的有人.故D错误. 故选：ABD. 9．（23-24高一下·山西阳泉·期末）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【分析】对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断. 【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 故选：ACD 三、填空题 10．（23-24高一下·山西长治·期末）若一组数据3，4，6，，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数的最小值为 . 【答案】6 【分析】根据百分位数的计算公式可得6是第40百分位数，即可得求解. 【详解】剔除，将剩余7个数按照从小到大的顺序排列为3，3，4，6，7，8，9， 因为，且数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，所以． 故整数的最小值为6， 故答案为：6 11．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为 . 【答案】10.65 【分析】利用由部分方差求总体方差的公式求解. 【详解】由题意得，该单位全体职工的平均年龄为岁， 则该单位全体职工的方差 . 故答案为：10.65 四、解答题 12．（23-24高一下·山西长治·期末）大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉水”之称．一果农从果园中随机抽取100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这100颗大黄梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图． (1)估计该批大黄梨的平均评分及标准差； (2)若将评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果四个不同的等级，果农现有5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量； (3)用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 方案2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示： 等级 普通 良果 优果 特优果 售价（元/千克） 7 8 12 15 若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)方案2，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数、方差计算规则计算可得； （2）首先求出各级果的频率，即可求出相应的质量； （3）求出方案2单价的均值，即可判断. 【详解】（1）依题意评分的平均值， 方差， 所以标准差； （2）由（1）可得评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果， 则评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 又果农现有千克大黄梨， 所以普通果的质量为千克， 良果的质量为千克， 优果的质量为千克， 特优果的质量为千克. （3）选用方案2，理由如下： 若按方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 若按方案2：分类卖出，则单价的平均值为（元/千克）， 因为，所以从果农的角度，采用方案2较好. 13．（23-24高一下·山西吕梁·期末）北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区魏善庄镇鸣枪开跑，参赛规模为6000人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了名参赛者的成绩，得到的数据如下表所示： 分数 频数 5 10 20 30 频率 0.10 0.20 0.30 0.35 (1)分别求的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占以上，并且参赛者得分分数的平均数超过80分，则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1)，，，频率分布直方图见解析 (2)该区可以评为“一马当先区”，理由见解析 【分析】（1）根据频率之和为1以及表格所给数据可依次得可得、、的值，接着明确每组数据的的值即可得频率分布直方图. （2）根据题中所给数据算出分数不低于70的频率以及参赛者得分分数的平均数即可判断得解. 【详解】（1）由，解得， 由表格数据得，， 因为每组的分别为0.005，0.010，0.020，0.030，0.035， 所以频率分布直方图如下所示： （2）该区可以评为“一马当先区”，理由如下： 因为参赛者得分分数不低于70的频率为， 所以满足参赛者得分分数不低于70的人数至少要占80%以上， 又参赛者得分分数的平均数为 ， 所以该区可以评为“一马当先区”. 14．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的x值； (2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98，100)内的样本数； (3)记产品尺寸在[98，102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 【答案】(1)0.12 (2)36 (3)需要对该工厂设备实施升级改造． 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可； （2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可； （3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可. 【详解】（1）由， 解得 （2）200件样本中尺寸在内的样本数为． （3）由题意可得，这批产品中优等品有(件)， 这批产品中不合格品有(件)， 这批产品中合格品有(件)， (元)． 所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元， 因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造． 15．（23-24高一下·山西浑源县第七中学·期末）数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明： （1）如果，那么； （2）如果，那么. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知得出，从而，代入方差公式可证； （2）由已知得出，从而，代入方差公式可证． 【详解】证明：（1） . . （2）. . 【点睛】本题考查方差公式，考查线性相关数据间的方差的关系．掌握方差计算公式即可证明． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$