精品解析：上海市奉城高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

奉城高级中学2024学年第二学期高一年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 2. 已知，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再根据数量投影的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为： 3. 已知，点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据平面向量的坐标表示计算可得. 【详解】设，因为，所以， 又，所以，解得， 所以. 故答案为： 4. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 5. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 【答案】2 【解析】 【分析】设出圆心角和半径，根据弧长和面积公式得到周长，得到答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 故扇形的弧长为，周长为， 扇形的面积，解得. 故答案为：2 6. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 7. 已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 8. 若为锐角，满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再由及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 9. 若函数与的图象交于两点,则_______. 【答案】 【解析】 【分析】画出与图像,可得与关于点对称,进而求解即可 【详解】由题,画出与的图像,如图所示, 则与关于点对称, 所以, 所以, 故答案为: 【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想 10. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 【详解】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 12. 已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过数量积的运算律先求出及，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，即可得解. 【详解】由，， 得， ， 所以， 又，所以， 解得，即. 故答案为：. 二.选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若复数满足条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数模长求解集，即可得的范围. 【详解】由题设，，则. 故选：A 14. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围. 法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围. 【详解】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值， 由余弦定理，即， 依题意可得关于的方程有两个不相等的正根， 则，解得， 又，解得， 综上可得. 法二：由正弦定理，所以， 所以，则， 由且，所以， 所以由，解得， 综上可得. 故选：A 16. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以此时集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 三.解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，，. （1）若与垂直，求实数的值； （2）若与方向相反，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，依题意可得，根据数量积的运算计算可得； （2）首先判断与不共线，依题意，根据平面向量基本定理得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得. 【小问2详解】 因为，且，所以， 所以与不共线， 又与方向相反，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 18. 已知：，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解即可； （2）根据正余弦值的定义可得，再根据可得，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，，故 由题意，，故 19. 坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. （1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【小问1详解】 由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【小问1详解】 ， 由， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； 【小问3详解】 ， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉城高级中学2024学年第二学期高一年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 2. 已知，，则在方向上的数量投影为______. 3. 已知，点，则点的坐标为______. 4. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______. 5. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 6. 函数的最小正周期为______. 7. 已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为______. 8. 若为锐角，满足，则______. 9. 若函数与的图象交于两点,则_______. 10. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 12. 已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______. 二.选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若复数满足条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 三.解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，，. （1）若与垂直，求实数的值； （2）若与方向相反，求实数的值. 18. 已知：，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值. 19. 坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. （1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 20. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $