上海市奉城高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

奉城高级中学2024学年第二学期高一年级期中考试数学试题

考试时间：120分钟  满分：150分

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知复数（其中为虚数单位），则______.

2. 已知，，则在方向上的数量投影为______.

3. 已知，点，则点的坐标为______.

4. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______.

5. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制）

6. 函数的最小正周期为______.

7. 已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为______.

8. 若为锐角，满足，则______.

9. 若函数与的图象交于两点,则_______.

10. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．

11. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）.

 

12. 已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______.

二.选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13. 若复数满足条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ）

A.  B.

C.  D.

15. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 设集合，则集合的元素个数为（    ）

A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014

三.解答题（本大题共5题，满分78分）

17. 已知，，.

（1）若与垂直，求实数的值；

（2）若与方向相反，求实数的值.

18. 已知：，.

（1）求的值；

（2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值.

19. 坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱

转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟.

（1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；

（2）若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？

20. 已知函数.

（1）求函数的单调减区间；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围.

21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．

（1）若向量为函数的伴随向量，求；

（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；

（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．