第2部分 解答题专项练6 反比例函数的综合(含答案)（Word练习）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

解答题专项练(六) 反比例函数的综合 1．如图，反比例函数y1＝(k≠0)与一次函数y2＝ax＋b(a≠0)的图象交于A(1,6)，B(6，m)两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出满足y1＜y2的x的取值范围． 解：(1)∵反比例函数y1＝的图象过点A(1,6)， ∴k＝6×1＝6，∴反比例函数的解析式为y1＝.把B(6，m)代入y1＝，得m＝＝1， ∴B(6,1)． 将A(1,6)，B(6,1)代入y2＝ax＋b，可得解得 ∴一次函数的解析式为y2＝－x＋7. (2)x＜0或1＜x＜6. 2．(2024十堰三模)如图，B，C是反比例函数y＝(k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x－1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3. (1)求点C的坐标及此反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标． 解：(1)当y＝0时，即x－1＝0，∴x＝1， 即直线y＝x－1与x轴的交点A的坐标为(1,0)，∴OA＝1＝AD. 又∵CD＝3，∴点C的坐标为(2,3)， 而点C(2,3)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝. (2)联立反比例函数和一次函数解析式得方程组解得正数解为 ∴点B的坐标为(3,2)． 3．(2024宜昌模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，且A，B，C三点的坐标分别为，，. (1)求直线AC的解析式； (2)若双曲线y＝与△ABC的边共有两个交点，求k的取值范围． 解：(1)设直线AC的解析式为y＝ax＋b， 将A，C代入得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋1. (2)联立y＝－x＋1和y＝得 整理得x2－x＋k＝0， 当直线AC与双曲线只有一个交点时，Δ＝1－4k＝0，解得k＝； 当双曲线经过点B时，把B代入y＝得－1＝，解得k＝1. ∵双曲线y＝与△ABC的边共有两个交点，∴k的取值范围为<k<1. 4．如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为(－3,4)，点B的坐标为(6，n)． (1)m＝______，n＝______； (2)关于x的不等式kx＋b>的解集为____； (3)求△AOB的面积． 答案见下页 解：(1)－12，－2. (2)x＜－3或0＜x＜6. (3)将A(－3,4)和B(6，－2)分别代入y＝kx＋b(k≠0)，得解得 ∴所求的一次函数的解析式为y＝－x＋2. 当y＝0时，－x＋2＝0，解得x＝3，∴C(3,0)， ∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOC＝×3×2＝3， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝6＋3＝9. 5．如图，一次函数y＝－2x＋8的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(m,6)，B(3，n)，交x轴于点C，交y轴于点D. (1)求m，n的值及反比例函数的解析式； (2)求△OAB的面积； (3)将直线y＝－2x＋8向下平移t个单位长度，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 解：(1)将A(m,6)，B(3，n)代入y＝－2x＋8得，－2m＋8＝6，n＝－6＋8，解得m＝1，n＝2， 将A(1,6)代入y＝，得k＝6，即y＝. (2)y＝－2x＋8，当y＝0时，x＝4， ∴C(4,0)，即CO＝4，∴S△AOC＝·CO·yA＝12， S△BOC＝·CO·yB＝4，∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝8. (3)∵直线y＝－2x＋8向下平移t个单位长度得新直线y＝－2x＋8－t， 与y＝联立得消去y得－2x＋8－t＝，化简得2x2－(8－t)x＋6＝0. ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴Δ＝(8－t)2－48＝0，解得t＝8－4或t＝8＋4. ∵y＝(x>0)，∴t＝8＋4(舍去)，即t＝8－4. 6．【综合探究】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x＋1的图象分别与x轴，y轴交于点C，D，与反比例函数y2＝的图象在第一象限相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，且OB＝3OC. (1)求反比例函数的解析式； (2)点E(m，n)在线段AD上． ①当n＝3时，直接写出满足y1＞n且y2＞n时x的取值范围； ②过点E作y轴的平行线，交双曲线于点F，连接DF.若△DEF的面积等于，求点E的坐标． 解：(1)当x＝0时，y1＝x＋1＝1， ∴D(0,1)，∴OD＝1. 当y＝0时，x＋1＝0，即x＝－， ∴C，∴OC＝. ∵∠DCO＝∠ACB，∠COD＝∠CBA＝90°，∴△CDO∽△CAB，∴＝. ∵OB＝3OC，∴＝，∴＝，∴AB＝4. 当x＋1＝4时，x＝4，∴A(4,4)，即4＝，∴k＝16，∴反比例函数的解析式为y2＝. (2)①<x<. ②将E(m，n)代入y1＝x＋1得，n＝m＋1， 将F(m，n1)代入y2＝得，n1＝， ∴EF＝－m－1. ∵△DEF的面积等于， ∴·m＝， ∴m1＝2，m2＝－(舍去)，把E(2，n)代入y1＝x＋1得n＝×2＋1＝，∴点E的坐标为. 7．在平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝(x>0)的图象上，点A′与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx＋n的图象经过点A′. (1)设a＝2，点B(4,2)在函数y1，y2的图象上． ①分别求函数y1，y2的解析式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的取值范围； (2)设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为24，求k的值． 解：(1)①∵点B(4,2)在函数y1，y2的图象上，∴k＝8，∴函数y1的解析式为y1＝. ∵横坐标为a的点A在反比例函数图象上，且a＝2，∴A(2,4)． ∵点A′与点A关于原点O对称，∴A′(－2，－4)． ∵A′(－2，－4)，B(4,2)在一次函数y2＝mx＋n的图象上， ∴解得∴函数y2的解析式为y2＝x－2. ②2＜x＜4. (2)如图，连接OB，AB，直线A′B交x轴于点C， ∵OA＝OA′，△AA′B的面积为24，∴S△A′OB＝S△AOB＝12. ∵点A的横坐标为a，点B的横坐标为3a， ∴A，B，A′. ∵A′，B在一次函数y2＝mx＋n的图象上，∴解得 ∴y2＝x－，当y＝0时，x＝2a， ∴C(2a,0)，即OC＝2a， ∴S△A′OB＝S△A′OC＋S△BOC＝12， ∴×2a×＋×2a×＝12， ∴k＋＝12，即k＝9.∴k的值为9. 学科网（北京）股份有限公司 $$