第2部分 解答题专项练4 解直角三角形的计算(含答案)（Word练习）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

解答题专项练(四) 解直角三角形的计算 1. 【实践课题】 测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】 皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】 某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B，测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图，如图1. 图1 图2 【问题解决】 (1)计算A，P两点间的距离． (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) 【交流研讨】 甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． (2)乙小组的方案用到了______.(填写正确答案的序号) ①解直角三角形　　②三角形全等 【教师评价】 甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H. ∵AB＝60米，∠PAB＝79°， sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4(米)， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8(米)． ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°， ∴tan∠APB＝tan 37°＝≈0.75， ∴PH≈＝78.4(米)， ∴AP＝AH＋PH＝11.4＋78.4＝89.8(米)， 即A，P两点间的距离为89.8米． (2)②. 2. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验．如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m，点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(精确到0.1，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75) 解：过点E作EF⊥AD于点F，则∠AFE＝90°，DF＝CE，由题意可得，∠BEC＝∠α＝36.9°， ∠CBE＝∠β，EF＝1.2 m. 在Rt△BCE中，CE＝≈＝1.6(m)，BE＝≈＝2(m)，∴sin β＝＝＝，DF＝CE＝1.6 m， ∴AF＝AD－DF＝2.5－1.6＝0.9(m)， ∴在Rt△AFE，AE＝ ＝＝1.5(m)， ∴sin γ＝＝＝，∴＝＝≈1.3. 3．(2024包头)如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小)． (1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示)，并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示)． 解：(1)如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到AB的距离为m，用测角仪测出A的仰角为α，测出B的俯角为β. (2)如图，过点C作CE⊥AB于点E， 则四边形CDBE是矩形，∠ACE＝α，∠BCE＝β， ∴CE＝BD＝m，BE＝CD. 在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠ECB＝mtan β， 在Rt△ACE中，AE＝CE·tan∠ECA＝mtan α， ∴AB＝AE＋BE＝m. 答：教学楼AB的高度为m. 4．(2024广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73) (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长． 解：(1)∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°. 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝(m)，∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，∴∠CBE＝30°， ∴BC＝＝(m)，∴AD＝ m. ∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝(m)． ∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1(m)． (2)在Rt△BCE中，BE＝＝3.2(m)， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7(m)， ∵该充电站有20个停车位，∴QM＝QB＋20BE＝66.7(m)． ∵四边形ABCD是矩形，∴PN＝QM＝66.7 m. 5．(2024广州)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米． (1)求CD的长； (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75) 解：(1)如图，过点B作BE∥CD交AD于点E， 由题意可知，∠DBE＝36.87°， ∴∠BDC＝36.87°. 在△BCD中，∠C＝90°，BD＝10米， ∵cos∠BDC＝，∴CD＝BD·cos 36.87°≈10×0.80≈8(米)，即CD的长约为8米． (2)∵AD＝17米，CD＝8米， ∴AC＝＝15(米)． 在△BCD中，∠C＝90°，BD＝10米， ∵sin∠BDC＝，∴BC＝BD·sin 36.87°≈10×0.60≈6(米)， ∴AB＝AC－BC＝15－6＝9(米)， ∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2＝4.5(秒)， 即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$