第1部分 专项13 二次函数综合题（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项十三　二次函数综合题 题型1　二次函数与线段有关的问题 该题型考查线段的数量关系、求线段最值、求线段比值最值三类考点，一般在压轴题第二问或第三问，分值为3～5分，难度值为0.3～0.4；渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常用化斜为直、换元、整体代换等数学方法． 一、线段的数量关系 1．线段长度的表示 (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，如点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则AB＝. 2．求解线段数量关系问题 (1)两条线段在同一条直线上 ①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解； ②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；或先以两条线段为斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行转化． (2)两条线段不在同一条直线上 ①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条线段的长，再利用线段数量关系列方程求解； ②若两条线段的长无法直接表示，则可通过找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将其转化为可直接表示的两条线段的数量关系，再求解． 二、利用二次函数性质求线段最值 1．竖直线的最值问题：设出点的坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解． 2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： 方法一：可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； 方法二：利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； 方法三：若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段． 3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解． (2024湖北)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C. 　 (1)求b的值； (2)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N，设L的顶点横坐标为n，NC的长为d. ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域(不含边界)记为W，当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴交于A(－1,0)，∴0＝－1－b＋3，解得b＝2. (2)①y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∵将二次函数的图象沿水平方向平移， ∴顶点的纵坐标不变为4， ∴图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4，∴N(0，－n2＋4)， 又点C的坐标为(0,3)， ∴d＝CN＝|－n2＋4－3|＝|－n2＋1|， ∴d＝ ②n的取值范围为－1≤n≤1－或≤n＜. (2024凉山)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2,0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标． 解：(1)把B(3，m)代入y＝x＋2得m＝3＋2＝5，∴B(3,5)， 把A(－2,0)，B(3,5)代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8. (2)设P(t，－t2＋2t＋8)，则E(t，t＋2)，D(t,0)， ∵PE＝2DE， ∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2)， 解得t＝1或t＝－2(此时P不在直线AB上方，舍去)， ∴P点坐标为(1,9)． (2024连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1(a，b为常数，a＞0)． (1)若抛物线与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)当a＝1，b≤－2时，过直线y＝x－1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最大值为4，求b的值． 解：(1)∵抛物线与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，∴分别将 A(－1,0)，B(4,0)代入y＝ax2＋bx－1中，得 解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1. (2)当a＝1时，y＝x2＋bx－1，设G(m，m－1)，则H(m，m2＋bm－1)，1≤m≤3. ∵过直线y＝x－1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线， ∴令x2＋bx－1＝x－1，解得x1＝0，x2＝1－b. ∵b≤－2，∴x2＝1－b≥3，点G在H的上方，如图1. 图1 图2 图3 设GH＝t，则t＝－m2＋(1－b)m， 其对称轴为m＝，且≥. ①当≤≤3，即－5≤b≤－2时， 由图2可知，当m＝时，t取得最大值＝4，解得b＝－3或b＝5(舍去)． ②当>3，即b＜－5时， 由图3可知， 当m＝3时，t取得最大值－9＋3－3b＝4，解得b＝－(舍去)． 综上所述，b的值为－3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交x轴于点A，B，交y轴于点C(0，－3)，顶点为D(1，－4)． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，点E是x轴上一动点，连接CD，CE，DE，是否存在一点E，使得△CDE的周长最小，若存在，请求出点E的坐标及此时△CDE的周长；若不存在，请说明理由． 解：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C(0，－3)，顶点为D(1，－4)， ∴解得(不符合题意，舍去)或 ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3. (2)存在．理由如下：∵C(0，－3)，D(1，－4)， ∴CD＝＝， 如图所示，作点C关于x轴的对称点为C′(0,3)， 连接C′E，则CE＝C′E， 当点C′，E，D三点共线时，C′E＋ED的值最小，最小值为C′D的长，∵△CDE的周长为CD＋CE＋DE， ∴△CDE的周长为CD＋C′E＋DE＝CD＋C′D，此时周长最小． 设直线C′D的解析式为y＝kx＋3(k≠0)， 把点D(1，－4)代入得，k＋3＝－4，解得k＝－7，∴直线C′D的解析式为y＝－7x＋3. 当y＝0时，－7x＋3＝0，解得x＝， ∴E， ∴C′D＝＝5， ∴△CDE的周长的最小值为CD＋C′D＝＋5＝6， ∴△CDE的周长最小时，点E的坐标为，此时△CDE的周长为6.题型2　二次函数与面积有关的问题 此题型考查面积等量关系、面积平分、面积最值问题，一般位于压轴题第二问或第三问，分值为3～5分，难度值为0.3～0.4，渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常用化斜为直、割补法、铅垂法等数学方法． 方法一　利用割补 将图形割(补)成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴(例如以下最后两图中，连接BD解法不简便)． 　 S△ABP＝AB·PE　　　　S△MON＝S△OEM＋S△OEN 　　　 S△ODC＝OD·CE S四边形OBCD＝S梯形OECD＋S△CEB ＝S△DOC＋S△COB S四边形ABCD＝S△AOD＋S梯形OECD＋S△ECB＝S△AOD＋ S△DOC＋S△OBC 方法二　铅垂法 (1)求A，B两点水平距离，即水平宽； (2)过点C作x轴的垂线与AB交于点D，可得点D的横坐标同点C； (3)求直线AB的解析式，并将点D的横坐标代入解析式，得点D的纵坐标； (4)根据C，D的坐标求得铅垂高； (5)S＝水平宽×铅垂高． 方法三　其他面积方法 如图1，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比． 　　 (2024眉山)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，点D在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标． 解：(1)把A(－3,0)，C(0,3)代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. (2)过点D作DK∥y轴交AC于点K，如图． 由A(－3,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为y＝x＋3. 设D(t，－t2－2t＋3)，则K(t，t＋3)，∴DK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t， ∴DK·|xA－xC|＝3，即(－t2－3t)×3＝3，解得t＝－1或t＝－2， ∴点D的坐标为(－1,4)或(－2,3)． (2024湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值． (1)解：将点A的坐标代入抛物线表达式得5＝－4＋c，则c＝9， 即抛物线的表达式为y＝－x2＋9. (2)证明：令y＝－x2＋9＝0，则x＝±3，则点B(3,0)，由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3. 设点P，Q，D的坐标分别为(x1，－x＋9)，(x2，－x＋9)，(x1，－x1＋3)， 则S△PDQ＝×PD×(xQ－xP)＝×(－x＋9＋x1－3)(x2－x1)＝(－x＋x1＋6)． 同理可得S△ADC＝×CD×(xD－xA)＝(－x＋x1＋6)，则＝3为定值． (2024广州)已知抛物线G：y＝ax2－6ax－a3＋2a2＋1(a＞0)过点A(x1,2)和点B(x2,2)，直线l：y＝m2x＋n过点C(3,1)，交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2＋2. (1)求抛物线G的对称轴； (2)求m的值； (3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t＜45)得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点． ①求t的值； ②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 解：(1)由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x＝－＝3. (2)直线l：y＝m2x＋n过点C(3,1)， 则该直线的解析式为y＝m2(x－3)＋1， 当y＝2时，2＝m2(x－3)＋1，则xD＝＋3. ∵C1＝C2＋2，即AC＋CD＋AD＝BC＋CD＋BD＋2. 其中AC＝BC，上式变为AD＝BD＋2， 即2xD＝xA＋xB＋2， 而函数的对称轴为直线x＝3，由函数的对称性知，xA＋xB＝2×3＝6， 即2xD＝xA＋xB＋2＝8，则xD＝4＝＋3，解得m＝±1. (3)①当m＝±1时，一次函数的解析式为y＝m2(x－3)＋1＝x－2， 该直线和x轴的夹角为45°，则t＝45÷3＝15(秒)． ②由①知，l为y＝1，如下图： 则S＝×EF×(yA－yE)＝EF， 联立直线l和抛物线的解析式得ax2－6ax－a3＋2a2＋1＝1， 即x2－6x－a2＋2a＝0， 设点E，F的横坐标为m，n，则m＋n＝6，nm＝－a2＋2a， 则EF2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝4(a2－2a＋9)， 则S＝EF＝＝≥2， 当a＝1时，等号成立，即k的最大值为2，a＝1， 则抛物线G的解析式为y＝x2－6x＋2. 题型3　二次函数与三角形存在性有关的问题 该题型主要考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形的存在性问题，一般位于压轴题第二问或第三问，分值为4～6分，难度值为0.2～0.4.渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常用化斜为直、构造等数学方法． 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若△ABC为等腰三角形，则有三种可能情况：(1)AB＝BC；(2)BC＝CA；(3)CA＝AB.但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有两个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1．知识内容 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： (1)勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； (2)两点间距离公式． 2．解题思路 (1)利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； (2)根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)； (3)解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A＝90°；②∠B＝90°；③∠C＝90°.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考查重点，需要用到勾股定理． 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1．知识内容 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角．另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2．解题思路 (1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； (2)计算出相应的边长等信息； (3)根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 三、相似三角形存在性 1．求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论． 2．在已知三角形中利用对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小． 3．若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解． (2024遂宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(－1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点． 　 (1)求二次函数的表达式； (2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 解：(1)由题意得y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，则－3a＝－3，即a＝1， 则抛物线的表达式为y＝x2－2x－3. (2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵点P，C关于抛物线的对称轴对称， ∴点P(2，－3)．设Q(m，m2－2m－3)， ∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2， ∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2， 整理得3m2－8m＋4＝0，解得m1＝，m2＝2(舍去)，∴m＝，∴Q. (2024齐齐哈尔)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的另一个交点为点B(－1,0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. 　 (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 解：(1)直线y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的坐标分别为(4,0)，(0，－2)，则抛物线的解析式为y＝a(x－4)·(x＋1)＝a(x2－3x－4)，则－4a＝－2，则a＝，则抛物线的解析式为y＝x2－x－2. (2)设点D(x,0)， 由点A，C，D的坐标得，AC2＝20，AD2＝(x－4)2，CD2＝x2＋4, 则AC＝AD或AC＝CD，即20＝(x－4)2或20＝x2＋4， 解得x＝4±2或4(舍去)或－4， 即点D的坐标为(4±2，0)或(－4,0)． (2024内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)令y＝0，则－2x＋6＝0，则x＝3；令x＝0，则y＝6，∴A(3,0)，B(0,6)， 把A(3,0)，B(0,6)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. (2)存在点D，使得△BDE和△ACE相似， 设点D(t，－t2＋t＋6)，则E(t，－2t＋6)，C(t,0)，∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. ①当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴BD∥AC，∴点D的纵坐标为6，∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0(舍去)或t＝1，∴D(1,6)． ②当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE，过点B作BH⊥DC于点H，如图， ∴∠BHD＝90°，H(t,6)， ∴BH＝t，DH＝－t2＋t， ∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝， ∴＝＝2，∴－2t2＋2t＝t，解得t＝0(舍去)或t＝，∴D. 综上所述，点D的坐标为(1,6)或. 题型4　二次函数与四边形存在性有关的问题 该题型主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性问题，一般位于压轴题第二问或第三问，分值为4～6分，难度值为0.2～0.4.渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常用化斜为直、构造全等或相似等数学方法． 一、平行四边形的存在性问题 1．要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类． 2．三定一动，有三种情况，可借助平移、全等、中点公式等知识确定坐标． 3．两定两动：以定线段作边或对角线，确定分类；常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解． 常见设问：已知A，B，求另外两点C，D与A，B两点构成平行四边形． 分类讨论：当AB为边时，找与AB平行且相等的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标； 当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解． 4．三动点或四动点：往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可． 二、菱形的存在性问题(常为含60°角的菱形) 通常有两大类： 1．已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形． 2．已知两个定点探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形． 3．计算：建立类似平行四边形的存在性问题来解． 三、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题 此类问题的特点往往是2定点2动点，通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标．分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论． 四、正方形的存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标． (2024上海)在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y＝x2后得到的新抛物线经过点A和点B(5,0)． (1)求平移后新抛物线的解析式； (2)直线x＝m(m＞0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标． 解：(1)设平移抛物线y＝x2后得到的新抛物线为y＝x2＋bx＋c，把A和B(5,0)代入，可得 解得∴平移后新抛物线的解析式为y＝x2－x－. (2)y＝x2－x－＝(x－2)2－3， ∴平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度． 由题意可得点P在点B的右侧，当BP′∥PQ时，BP′⊥y轴，∴xP′＝xB＝5， ∴P′，由平移的性质得P，即P. 如图，当P′Q∥BP时，∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S， ∴∠P′SQ＝∠BTP＝90°， ∴△P′SQ∽△BTP， ∴＝. 设P′，则P，S，Q，T(x＋2,0)， ∴＝， 解得x＝1(不符合题意舍去)． 综上，点P的坐标为. 已知抛物线L1：y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－4,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C. (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为______； (2)如图，已知点D在第二象限的抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，是否存在这样的D，E两点使得四边形BCDE为矩形？若存在，求D，E两点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)y＝－x2－x＋4. (2)∵y＝－x2－x＋4， ∴对称轴为直线x＝－＝－1. 当x＝0时，y＝4，∴C(0,4)． ∵点D在第二象限的抛物线上，点E在抛物线的对称轴上， ∴设D，E(－1，n)． 当四边形BCDE为矩形时，四边形BCDE为平行四边形， 即∴ ∴D，E， ∴CE＝＝， BD＝＝， ∴CE＝BD，∴四边形BCDE为矩形，符合题意． ∴D，E. (2024泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 解：(1)A(3,0)，抛物线的对称轴为直线x＝1， 则抛物线和x轴的另外一个交点为(－1,0)， 则抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3，解得a＝－1， 则抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)当－1≤x≤t时，x＝－1时，y＝－x2＋2x＋3＝0，取得最小值， 则x＝t(t小于3)时，y取得最大值， 而抛物线的顶点处取得最大值，抛物线的顶点坐标为(1,4)， 即2t－1＝4，解得t＝2.5. (3)存在，理由： 由抛物线的解析式知，点B(0,3)，当BC是对角线时，对应菱形为BDCE′， 由点A，B的坐标得，直线AB的解析式为y＝－x＋3. 设点C(x，－x2＋2x＋3)，点D(x，－x＋3)， 则CD＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝BD＝x， 解得x＝0(舍)或x＝3－，则BD＝x＝3－2，即菱形的边长为3－2. 当BC为边时，同理可得BC＝CD，则x2＋(－x2＋2x)2＝(－x2＋3x)2， 解得x＝2(不合题意的值已舍去)， 则CD＝－22＋6＝2，即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为3－2或2. 题型5　二次函数与角有关的问题 与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等． 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，一般位于压轴题第二问或第三问，分值为4～6分，难度值为0.1～0.35.渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常用对称、构造全等或相似等方法． 一、相等角的存在性问题 1．利用平行线、等腰三角形构造相等角． 2．利用相似三角形构造相等角． 二、二倍角或半角的存在性问题 1．二倍角的构造方法 如图，已知∠α，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2α，在BC边上找一点D，使得BD＝AD，则∠ADC＝2α. 　 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数(一般用正切)计算即可． 2．半角的构造方法 如图1，已知∠α，构造半角可以用下面两种方法： 方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图2，延长CB至D，使得BD＝BA，则∠D＝α，若AC，BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算． 方法二：如图3，直接作∠α的平分线BE，若AC，BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值． 图1 图2 图3 (2024湖北)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C. (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标． 解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1,0)，∴0＝－1－b＋3，解得b＝2. (2)∵b＝2，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 令y＝0，解得x＝－1或x＝3，令x＝0得y＝3， ∴B(3,0)，C(0,3)．设M(m，－m2＋2m＋3)，作MH⊥x轴于点H，如图， ∵∠MAB＝∠ACO， ∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即＝， ∴＝，解得m＝或m＝－1(舍去)， ∴点M的横坐标为. (2024连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1(a，b为常数，a＞0)． (1)若抛物线与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当b＝1时，过点C(－1，a)，D(1，a＋2)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD.求证：MD平分∠CMN. (1)解：∵抛物线与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点， ∴分别将 A(－1,0)，B(4,0)代入y＝ax2＋bx－1中，得 解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1. (2)证明：连接CN，如图， ∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1，当x＝－1时，y＝a－2，∴M(－1，a－2)， 当x＝1时，y＝a，∴N(1，a)， ∵C(－1，a)，N(1，a)，∴CN＝2，CM＝a－(a－2)＝2，CM⊥CN. 在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，∴MN＝＝2. ∵DN＝a＋2－a＝2，∴DN＝MN， ∴∠NDM＝∠NMD. ∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD， ∴∠NMD＝∠CMD，∴MD平分∠CMN. (2024重庆B)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1,0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝. (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿射线BC方向平移个单位，P(5，－3)为原抛物线上一点，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF－∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 　 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1,0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－x－3. (2)符合条件的点N的坐标为或.解法提示． ∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为y＝(x＋2)2－(x＋2)－3－1＝x2－x－7，F的坐标为(3，－4)， 如图，当点N在y轴的左侧时，过点N作NK⊥y轴于K， 由A(－1,0)，F(3，－4)得直线AF的解析式为y＝－x－1， 当 x＝0 时，y＝－1，∴M(0，－1)， ∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK. ∵∠NMF－∠ABC＝45°，∴∠NMK＋45°－∠ABC＝45°，∴∠NMK＝∠ABC， ∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝＝＝. 设N， ∴＝＝， 解得n＝或n＝(舍去)， ∴N. 如图，当点N在y轴的右侧时，过点M作y轴的垂线MT，过N′作N′T⊥MT于点T， 同理可得∠N′MT＝∠ABC， 设N′，则T(x，－1)，同理可得＝， ∴x＝1＋或x＝1－(舍去)， ∴N′. 综上所述，点N的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$