专题01勾股定理及其逆定理精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦勾股定理及其逆定理核心知识点，系统梳理从直角三角形三边关系（a²+b²=c²）到三边关系判定直角三角形的逻辑脉络，结合勾股数性质及定理与逆定理的辨析，构建完整知识支架。 该资料通过12类分层题型（含基础到拔高）、清晰解题思路及常见误区总结，以弦图计算、网格判断等实例培养几何直观与推理意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生针对性查漏补缺，强化应用能力。

专题01勾股定理及其逆定理精讲学案 核心立意： 掌握勾股定理及其几何意义，熟练直角三角形边长计算；掌握勾股定理逆定理，能利用三边关系判定直角三角形；理解勾股数定义与性质，区分定理与逆定理的使用场景，建立数形结合解题思维。 勾股定理（直角三角形→三边关系） ①定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设直角边为a、b，斜边为c，则满足公式：a2+b2=c2。 ②适用条件：仅针对直角三角形，非直角三角形不成立。 ③边长规则：斜边为直角三角形最长边，恒大于任意一条直角边。 ④常用变形：a2=c2-b2、b2=c2-a2，可已知两边求第三边。 ⑤推导方法：采用等面积割补法，通过图形面积相等验证定理；该方法多用于定理证明，一般不用于边长计算。 勾股定理逆定理（三边关系→直角三角形） ①定理内容：若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 ②判定步骤：先确定三边中最长边定为c；再计算短边平方和与最长边平方；通过等式是否成立判定直角三角形。 ③三角形拓展判定：a2+b2>c2为锐角三角形；a2+b2<c2为钝角三角形（c为最长边）。 勾股数 ①定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 ②核心特征：必须同时为正整数；小数、分数可以构成直角三角形，但不属于勾股数。 ③常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ④性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得数组仍为勾股数。 重点辨析 ①勾股定理与逆定理互为互逆命题：勾股定理是由直角得边长关系，逆定理是由边长关系判直角，使用场景完全不同，不可混用。 ②公式区分：定理为平方和关系，严禁混淆为和的平方，即a2+b2(a+b)2。 ③逆定理判定核心：必须以最长边作为c代入公式，任意取值会导致判定错误。 ④直角三角形与勾股数区分：小数、分数的边长也可以构成直角三角形；勾股数要求三边必须全部是正整数。 ①非直角三角形随意套用勾股定理，违背定理适用条件。 ②未区分直角边与斜边，盲目套用公式，误将短边当作斜边计算。 ③使用逆定理判定时，未先确定最长边，判定逻辑出错。 ④混淆勾股定理与逆定理，解题场景匹配错误。 ⑤平方运算计算失误，混淆平方和与和的平方公式。 ⑥将小数、分数边长判定为勾股数，概念认知错误。 ⑦忽略勾股数倍数性质，解题计算繁琐、效率低。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股树（数）问题 ★★★ 题型九 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：用勾股定理解三角形 解题思路：①先判定图形为直角三角形，严格区分直角边与斜边；②选取勾股定理原式或变形公式建立等量关系；③代入已知边长运算，开方后只取线段正数值；④无图题型需分类讨论斜边位置，规避漏解。 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 2．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 3．如图，在中，过点A作，过点C作，两垂线相交于点D，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：①建立正方形面积与边长平方的对应关系，将面积问题转化为平方关系；②依托勾股定理推导三边平方等量结构；③转化得到各外展图形面积的和差关系；④代入已知条件精准求解目标面积。 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 6．如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（     ） A．225 B．250 C．275 D．300 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：①定位所求线段对应的直角三角形；②利用勾股定理转化线段平方表达式；③直接对平方项进行和差运算；④无需求解线段实际长度，直接得出平方运算结果，简化计算。 7．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 8．如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______． 9．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：①将待证线段全部归入对应直角三角形中；②逐一列出各直角三角形的勾股等式；③借助公共边、等线段进行等量代换，消去中间变量；④整理化简等式，推导出目标线段平方关系式。 10．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 题型五：勾股定理的证明方法 解题思路：①准确读取割补拼图的边长与图形结构；②采用两种不同计算方式表示同一图形的总面积；③构建面积相等的恒等方程；④化简方程，严谨推导出勾股定理标准公式。 13．在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 14．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 15．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 题型六：以弦图为背景的计算题 解题思路：①明确弦图结构：大正方形边长为斜边，小正方形边长为两直角边之差；②分别表达大、小正方形与直角三角形的面积；③结合勾股定理建立方程组；④联立求解直角边长度，进而求解综合问题。 16．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 18．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：①通过作垂线等辅助线，在折叠、实际应用、最短路径场景中构造标准直角三角形；②完整标注图形已知线段长度；③在构造图形中列出勾股定理关系式；④通过方程求解未知线段长度。 19．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 20．明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长______． 21．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 题型八：勾股树（数）问题 解题思路：①依托直角三角形外展正方形的面积性质；②遵循上层图形面积等于下方两相邻图形面积和的递推规律；③逐层推导各级面积等量关系；④依据递推逻辑计算指定图形面积。 22．下列各组数中是“勾股数”的一组是（     ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．2，2，3 23．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 24．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 25．如图所示的是某同学自己探究勾股数的过程，观察图中每列数的规律可知，的值为（    ） A．47 B．62 C．79 D．98 题型九：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：①筛选出三边中的最长边；②分别计算两短边平方和、最长边平方；③比对两组平方数值是否相等；④依据勾股逆定理判定三角形是否为直角三角形。 26．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，，则的面积是___________． 28．下列线段，，首尾相连不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型十：在网格中判断直角三角形 解题思路：①利用网格特性，通过勾股定理求出三边的平方值（无需开方）；②确定三边平方中的最大值对应最长边；③验证两较小平方和是否等于最大平方；④依据逆定理完成直角三角形判定。 29．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 30．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 31．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C．D． 题型十一：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：①确定三角形最长边，锁定判定基准；②计算三边平方，验证勾股逆定理等式是否成立；③根据判定结果确定直角位置；④结合直角条件，利用勾股定理或面积公式完成后续计算。 32．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，，，则的面积为______． 34．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 35．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 题型十二：勾股定理逆定理的拓展问题 解题思路：①固定最长边为判定基准边；②计算两短边平方和与最长边平方的大小关系；③依据数量差异判定直角、锐角、钝角三角形类型；④结合题干条件建立方程，完成综合性求解。 36．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 37．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 38．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 解答题 1．如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 2．已知直角三角形的三边、、，满足，分别以三边、、作正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则判断和的大小关系，并说明理由． 3．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 4．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 5．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 6． 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 7．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理及其逆定理精讲学案 核心立意： 掌握勾股定理及其几何意义，熟练直角三角形边长计算；掌握勾股定理逆定理，能利用三边关系判定直角三角形；理解勾股数定义与性质，区分定理与逆定理的使用场景，建立数形结合解题思维。 勾股定理（直角三角形→三边关系） ①定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设直角边为a、b，斜边为c，则满足公式：a2+b2=c2。 ②适用条件：仅针对直角三角形，非直角三角形不成立。 ③边长规则：斜边为直角三角形最长边，恒大于任意一条直角边。 ④常用变形：a2=c2-b2、b2=c2-a2，可已知两边求第三边。 ⑤推导方法：采用等面积割补法，通过图形面积相等验证定理；该方法多用于定理证明，一般不用于边长计算。 勾股定理逆定理（三边关系→直角三角形） ①定理内容：若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 ②判定步骤：先确定三边中最长边定为c；再计算短边平方和与最长边平方；通过等式是否成立判定直角三角形。 ③三角形拓展判定：a2+b2>c2为锐角三角形；a2+b2<c2为钝角三角形（c为最长边）。 勾股数 ①定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 ②核心特征：必须同时为正整数；小数、分数可以构成直角三角形，但不属于勾股数。 ③常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ④性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得数组仍为勾股数。 重点辨析 ①勾股定理与逆定理互为互逆命题：勾股定理是由直角得边长关系，逆定理是由边长关系判直角，使用场景完全不同，不可混用。 ②公式区分：定理为平方和关系，严禁混淆为和的平方，即a2+b2(a+b)2。 ③逆定理判定核心：必须以最长边作为c代入公式，任意取值会导致判定错误。 ④直角三角形与勾股数区分：小数、分数的边长也可以构成直角三角形；勾股数要求三边必须全部是正整数。 ①非直角三角形随意套用勾股定理，违背定理适用条件。 ②未区分直角边与斜边，盲目套用公式，误将短边当作斜边计算。 ③使用逆定理判定时，未先确定最长边，判定逻辑出错。 ④混淆勾股定理与逆定理，解题场景匹配错误。 ⑤平方运算计算失误，混淆平方和与和的平方公式。 ⑥将小数、分数边长判定为勾股数，概念认知错误。 ⑦忽略勾股数倍数性质，解题计算繁琐、效率低。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股树（数）问题 ★★★ 题型九 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：用勾股定理解三角形 解题思路：①先判定图形为直角三角形，严格区分直角边与斜边；②选取勾股定理原式或变形公式建立等量关系；③代入已知边长运算，开方后只取线段正数值；④无图题型需分类讨论斜边位置，规避漏解。 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 2．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 3．如图，在中，过点A作，过点C作，两垂线相交于点D，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点A逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质可知对应边相等，，再利用勾股定理结合已知的、长度，求解． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得，连接， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ， 在中，， ∴， 解得． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 解题思路：①建立正方形面积与边长平方的对应关系，将面积问题转化为平方关系；②依托勾股定理推导三边平方等量结构；③转化得到各外展图形面积的和差关系；④代入已知条件精准求解目标面积。 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 5．如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（     ） A．225 B．250 C．275 D．300 【答案】D 【分析】根据勾股定理可求解，再由勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理可得， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； ， 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 解题思路：①定位所求线段对应的直角三角形；②利用勾股定理转化线段平方表达式；③直接对平方项进行和差运算；④无需求解线段实际长度，直接得出平方运算结果，简化计算。 7．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【答案】A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8．如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______． 【答案】 【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的长，再由四边形ABCD的面积求出BC的长，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的长． 【详解】解：∵，，， ∴Rt△ACD中由勾股定理可知：， ∵四边形ABCD的面积为49，且 ∴，代入数据：，，， ∴， 在Rt△ABC中由勾股定理可知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、勾股定理的应用等，本题属于基础题，计算过程中细心即可． 9．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 解题思路：①将待证线段全部归入对应直角三角形中；②逐一列出各直角三角形的勾股等式；③借助公共边、等线段进行等量代换，消去中间变量；④整理化简等式，推导出目标线段平方关系式。 10．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，，是中，，的对边， 若，则； 若，则； 若，则； 故①②③正确； 只有当时才有， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 【答案】136 【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【详解】解：， ， 在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 题型五：勾股定理的证明方法 解题思路：①准确读取割补拼图的边长与图形结构；②采用两种不同计算方式表示同一图形的总面积；③构建面积相等的恒等方程；④化简方程，严谨推导出勾股定理标准公式。 13．在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 14．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 15．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 题型六：以弦图为背景的计算题 解题思路：①明确弦图结构：大正方形边长为斜边，小正方形边长为两直角边之差；②分别表达大、小正方形与直角三角形的面积；③结合勾股定理建立方程组；④联立求解直角边长度，进而求解综合问题。 16．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴，即 ∴． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的面积为， ． 18．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 解题思路：①通过作垂线等辅助线，在折叠、实际应用、最短路径场景中构造标准直角三角形；②完整标注图形已知线段长度；③在构造图形中列出勾股定理关系式；④通过方程求解未知线段长度。 19．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 20．明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设，则， 在中，， ∴ ， 解得， 故答案为：． 21．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 题型八：勾股树（数）问题 解题思路：①依托直角三角形外展正方形的面积性质；②遵循上层图形面积等于下方两相邻图形面积和的递推规律；③逐层推导各级面积等量关系；④依据递推逻辑计算指定图形面积。 22．下列各组数中是“勾股数”的一组是（     ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．2，2，3 【答案】C 【分析】验证每组数是否为正整数且较小两数的平方和与最大数的平方是否相等，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．含，，不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意． B．三个均为小数，均不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意． C．5，12，13均为正整数，且，是勾股数，故本选项符合题意． D．2，2，3均为正整数，但，不是勾股数，故本选项不符合题意． 23．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 【答案】255 【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第8个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第8个图形中共有个正方形． 24．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 25．如图所示的是某同学自己探究勾股数的过程，观察图中每列数的规律可知，的值为（    ） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值． 【详解】解：观察图可知： ； ； ；… 设为正整数且， 当时，， ，所以． 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题，观察数列，找出规律是解答本题的关键． 题型九：判断三边能否构成直角三角形 解题思路：①筛选出三边中的最长边；②分别计算两短边平方和、最长边平方；③比对两组平方数值是否相等；④依据勾股逆定理判定三角形是否为直角三角形。 26．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定每组数的最长边，验证两条较短边的平方和与最长边的平方是否相等，相等则可作为直角三角形三边长． 【详解】解：A选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D选项，最长边为， ∵， ∴能作为直角三角形的三边长，故符合题意． 27．如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 28．下列线段，，首尾相连不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，找出最长边后，计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，不相等的即为不能构成直角三角形的选项． 【详解】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不能构成直角三角形。 A选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； B选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； C选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； D选项，最长边为 ， ，不能构成直角三角形． 题型十：在网格中判断直角三角形 解题思路：①利用网格特性，通过勾股定理求出三边的平方值（无需开方）；②确定三边平方中的最大值对应最长边；③验证两较小平方和是否等于最大平方；④依据逆定理完成直角三角形判定。 29．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 30．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 31．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型十一：利用勾股定理的逆定理求解 解题思路：①确定三角形最长边，锁定判定基准；②计算三边平方，验证勾股逆定理等式是否成立；③根据判定结果确定直角位置；④结合直角条件，利用勾股定理或面积公式完成后续计算。 32．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 33．如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 34．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 35．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：D 题型十二：勾股定理逆定理的拓展问题 解题思路：①固定最长边为判定基准边；②计算两短边平方和与最长边平方的大小关系；③依据数量差异判定直角、锐角、钝角三角形类型；④结合题干条件建立方程，完成综合性求解。 36．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 37．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 38．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 解答题 1．如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】(1)， (2)t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． 2．已知直角三角形的三边、、，满足，分别以三边、、作正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由如下： 直角三角形的三边、、，满足， ， ， ， ． 【分析】由勾股定理可得，然后用、、分别表示出和，根据整式的混合运算化简证明即可． 【详解】略 3．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【答案】探究发现： 证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①直角三角形；② 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现： 略 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 4．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 5．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 6． 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 【答案】120米 【分析】该无人机水平飞行的距离为x米，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：该无人机水平飞行的距离为x米，则， 在中，，， ∴， 解得；， 答：该无人机水平飞行的距离为120米． 7．如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $