第1部分 专项11 阅读理解型问题（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项十一　阅读理解型问题 阅读理解型问题主要有新定义几何概念型阅读题、方法学习型阅读题、类比探究型阅读题，在中考中以解答题形式出现，分值在8～10分左右，考查的知识点可以是几何知识，也可以是代数知识，培养学生的抽象能力、几何直观、推理能力、创新意识及模型观念等数学素养． 题型1　新定义几何概念型阅读题 (2024山西)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察(测量、实验)－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】 对于一个凸多边形(边数为偶数)，若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】 根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为____▲____°. 对角线：…… 　 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______. (2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)． 　 解：(1)240. (2)∠BAD＝∠FAD，理由如下： 如图，连接BD，FD. ∵六边形ABCDEF是等边半正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E. ∴△BCD≌△FED(SAS)，∴BD＝FD. 在△ABD与△AFD中， ∴△BAD≌△FAD(SSS)，∴∠BAD＝∠FAD. (3)答案不唯一． 作法一：　作法二： 如图，六边形ABCDEF即为所求． 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________(填序号)． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长(用含m，n，θ的式子表示)． 　 (3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 解：(1)②④. (2)①∠ACD＝∠ACB，理由： 如图，延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE. ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC＋∠D＝180°. ∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D. ∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADC(SAS)， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB. ②如图，过点A作AF⊥EC于F， ∵AE＝AC，∴CF＝CE＝(BC＋BE)＝(BC＋DC)＝. ∵∠BCD＝2θ，∴∠ACD＝∠ACB＝θ， 在Rt△AFC中，cos θ＝， ∴AC＝＝. (3)或.　解法提示： ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5. ∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ∴∠ANM＋∠B＝180°，∴∠ANM＝90°. ①当AB＝BM时，如图，连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∴AM2＝AB2＋BM2＝18.在Rt△AMN中， MN2＝AM2－AN2＝18－AN2， 在Rt△CMN中，MN2＝CM2－CN2＝(4－3)2－(5－AN)2， ∴18－AN2＝(4－3)2－(5－AN)2， 解得AN＝4.2，∴CN＝. ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴＝＝，即＝＝， ∴NH＝，CH＝，∴BH＝， ∴BN＝＝. ②当AN＝AB时，如图，连接AM， ∵AM＝AM，∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)， ∴BM＝NM，故不符合题意，舍去． ③当AN＝MN时，如图，连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∵∠MNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CAB， ∴＝，即＝，解得CN＝. ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴＝＝，即＝＝， ∴NH＝，CH＝，∴BH＝， ∴BN＝＝. ④当BM＝MN时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)， ∴AN＝AB，故不符合题意，舍去． 综上，BN的长为或. 题型2　方法学习型阅读题 (2024吉林)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 (1)如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为点D.若CD＝2，BD＝1，则S△ABC＝________. (2)如图②，在菱形A′B′C′D′中，A′C′＝4，B′D′＝2，则S菱形A′B′C′D′＝________. (3)如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为点O. 若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH＝______； 若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想． 　 　 【理解运用】 (4)如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图： (ⅰ)以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I； (ⅱ)以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I′； (ⅲ)以点I′为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R′，点R′，K在MN同侧； (ⅳ)过点P画射线PR′，在射线PR′上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ. 请你直接写出S四边形MPKQ的值． 解：(1)2　(2)4 (3).猜想：S四边形EFGH＝. 证明：∵EG⊥FH，∴S△EFG＝EG·FO，S△EHG＝EG·HO， ∴S四边形EFGH＝S△EFG＋S△EHG＝EG·FO＋EG·HO＝EG·FH＝. (4)根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN， ∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，∴MK2＝MN2＋KN2， ∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°， ∴∠NMK＋∠MKN＝90°. ∵∠QPM＝∠MKN，∴∠NMK＋∠QPM＝90°，∴MK⊥PQ.∵PQ＝KN＝4，MK＝5， ∴根据(3)中结论得S四边形MPKQ＝MK·PQ＝10. 综合与实践 【主题】 滤纸与漏斗 【素材】 如图1所示： ①一张直径为10 cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π) 解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁．理由如下： 如图作出示意图，由题意知AB＝AC＝BC＝7 cm， 折叠后CD＝CE＝×10＝5 cm. ∵底面周长为×10π＝5π cm， ∴DE·π＝5π cm，∴DE＝5 cm， ∴＝＝，∴△CDE∽△CAB， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． (2)由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm， ∴∠CDE＝60°，过C作CF⊥DE于点F，则DF＝DE＝ cm，在Rt△CDF中，CF2＝＝ cm， ∴V＝π·2××＝π cm3. 即圆锥形的体积是π cm3. (2024乐山)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长． 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连接ED′. 由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′. ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAD＋∠EAC＝45°. ∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′＋∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°.∴∠DAE＝∠D′AE. 在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴__①__.∴DE＝D′E. 又∵∠ECD′＝∠ECA＋∠ACD′＝∠ECA＋∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，__②__. ∵CD′＝BD＝3，CE＝4， ∴DE＝D′E＝__③__. 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______. 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与对角线BD交于M，N两点．探究BM，MN，DN的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图4，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF的数量关系：______(直接写出结论，不必证明)． 【问题再探】 如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在边AC上，且∠DBE＝45°.设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数解析式． 解：【问题解决】 ①△ADE≌△AD′E(SAS)， ②EC2＋CD′2＝ED′2，③5. 【知识迁移】 DN2＋BM2＝MN2. 证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF′. 过点D作DH⊥BD交边AF′于点H，连接NH. 由旋转的特征得AE＝AF′，BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′. 由题意得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝DF＋FC＋EC＋BE， ∴EF＝DF＋BE＝DF＋DF′＝F′F. 在△AEF和△AF′F中，AE＝AF′，EF＝F′F，AF＝AF， ∴△AEF≌△AF′F(SSS)，∴∠EAF＝∠F′AF. 又∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°. ∵DH⊥BD， ∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°. 在△ABM和△ADH中，∠BAM＝∠DAH，AB＝AD，∠ABM＝∠ADH， ∴△ABM≌△ADH(ASA)，∴AM＝AH，BM＝DH. 在△AMN和△AHN中，AM＝AH， ∠MAN＝∠HAN，AN＝AN， ∴△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN. 在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2， ∴DN2＋BM2＝MN2. 【拓展应用】 2BE2＋2DF2＝EF2. 【问题再探】 如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BE′C′，连接E′D.过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E′作E′G′⊥BC′，垂足为G′.过点E′作E′F∥BA，过点D作DF∥BC交AB于点H，E′F，DF交于点F. 由旋转的特征得BE＝BE′，∠CBE＝∠C′BE′，EG＝E′G′，BG＝BG′. ∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°， ∴∠CBE＋∠DBA＝45°， ∴∠C′BE′＋∠DBA＝45°，即∠DBE′＝45°. 在△EBD和△E′BD中，BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′，BD＝BD， ∴△EBD≌△E′BD(SAS)，∴DE＝DE′. ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5. 又∵AD＝x，CE＝y，∴DE′＝DE＝5－x－y. ∵DF∥BC，∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC＝90°， ∴△AHD∽△ABC，∴＝＝＝，即AH＝x，HD＝x， ∴HB＝AB－AH＝4－x，同理可得EG＝y，GC＝y. ∴E′G′＝y，BG′＝BG＝3－y. ∵E′G′⊥AB，∠ABC＝90°，∴E′G′∥BC∥FD. 又∵E′F∥AB，∠FHG′＝∠AHD＝90°， ∴四边形FE′G′H为矩形． ∴∠F＝90°，FH＝E′G′＝y，DF＝DH＋FH＝x＋y， FE′＝HG′＝HB－BG′＝4－x－＝1－x＋y， 在Rt△E′FD中，E′F2＋DF2＝E′D2， ∴2＋2＝(5－x－y)2，解得y＝. 题型3　类比探究型阅读题 (2024凉山)阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______. (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______(填“能”或“不能”)为500. (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 解：(1)36；120；n(n＋1)． (2)不能． (3)同理，前n行的点数之和为2＋4＋6＋…＋2n＝2×(1＋n)×n＝n(n＋1)， 由题意得n(n＋1)＝420，得n2＋n－420＝0，即(n＋21)(n－20)＝0， 解得n＝20或n＝－21(舍去)， ∴一共能摆放20排． 学科网（北京）股份有限公司 $$