第1部分 专项10 函数实际应用型问题（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项十　函数实际应用型问题 函数的实际应用型问题是中考试卷的常考问题，主要考查学生利用所学的函数知识解决实际生活中的最值问题，方案抉择问题，面积型问题，以及抛物线型问题等，通常以解答题的形式出现，分值在8分左右，选择题也有出现．培养学生的抽象能力，运算能力，数据观念，应用意识等学科素养．解答此类问题的关键是把实际问题转化成数学问题，准确的分析出变量之间的函数关系式，从而利用函数解决问题． 题型1　增长率问题 (2024湖北模拟)(8分)在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%.求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 规范答题 解：(1)设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为(1＋96%)a辆， 根据题意得a(1＋x)2＝(1＋96%)a，………………………………………2分 解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(不符合题意，舍去)． 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%. ………………………………………………………………………………4分 (2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为(y－15)万元，平均每周可售出8＋×1＝(58－2y)辆， 根据题意得(y－15)(58－2y)＝96，……………………………………6分 整理得y2－44y＋483＝0，解得y1＝21，y2＝23， 又∵要尽量让利于顾客，∴y＝21. 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． ………………………………………………………………………………8分 题型2　最大利润型问题 (2024湖北模拟)某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(x>8)之间存在一次函数关系． (1)求y(千克)与x(元/千克)(x>8)的函数解析式； (2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】 (3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？ 解：(1)当销售单价为13元/千克时，销售量为＝150(千克)． 设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把(10,300)，(13,150)分别代入得 解得∴y与x的函数解析式为y＝－50x＋800(x>8)． (2)由题意得(－50x＋800)(x－8)＝600， 解得x＝14或10. 答：当销售单价为每千克10元或14元时，每天获取的利润达到600元． (3)设这种水果每天获取的利润为W元， 则W＝(－50x＋800)(x－8)＝－50(x－12)2＋800，∴当8<x≤12时，W随x的增大而增大．又∵水果每天的销售量均不低于225千克，∴－50x＋800≥225，∴x≤11.5. ∴当x＝11.5时，Wmax＝－50×(11.5－12)2＋800＝787.5(元)． 答：该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元． (2024德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A，B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A，B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价(元/件) 94 146 售价(元/件) 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 解：(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价为x元，每个肉粽的进价为y元． 根据题意可得解得 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为16元，每个肉粽的进价为5元． (2)设该超市应准备m件A种组合，利润为W元，则B种组合数量是(3m－5)件， 根据题意得m＋(3m－5)≤95，解得m≤25， 则W＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)＝152m－210， 可以看出利润W是m的一次函数，W随着m的增大而增大， ∴当m最大时，W最大， 即当m＝25时，Wmax＝152×25－210＝3 590. 答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元． 题型3　方案抉择问题 (2024襄城适应考)某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 　　类别 产品　　 成本价 (元/件) 售价 (元/件) 每日需支付的 专利费(元) A m(m为常数， 且4≤m≤6) 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝80＋0.01x2. (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝(售价－成本)×产销数量－专利费】 解：(1)根据题意，得w1＝(8－m)x－30(0≤x≤500)． w2＝(20－12)x－(80＋0.01x2) ＝－0.01x2＋8x－80(0≤x≤300)． (2)∵4≤m≤6，∴8－m＞0， ∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w1最大＝－500m＋3 970(元)． ∵w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01(x－400)2＋1 520，且－0.01＜0，对称轴为x＝400， ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大＝－0.01×(300－400)2＋1 520＝1 420(元)． (3)①若w1最大＝w2最大，即－500m＋3 970＝1 420，解得m＝5.1； ②若w1最大＞w2最大，即－500m＋3 970＞1 420，解得m＜5.1； ③若w1最大＜w2最大，即－500m＋3 970＜1 420，解得m＞5.1. 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B两种产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销． 答：当A产品成本价为5.1元/件时，工厂选择A种或B种产品产销日利润一样大；当A种产品的成本价为4≤m＜5.1时，工厂选择A种产品产销日利润最大；当A种产品的成本价为5.1＜m≤6时，工厂选择B种产品产销日利润最大． 题型4　面积型问题 数学来源于生活，同时数学也服务于生活． 【知识背景】 如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一棵古树与墙CD，AD的距离分别是13 m和6 m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m. 【方案设计】 设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将这棵古树P围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)． 【解决问题】 思路：把矩形ABCD的面积S与边长x(即AB的长)的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． (1)请用含有x的代数式表示BC的长； (2)花园的面积能否为192 m2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 解：(1)由题意知AB＝x m，AB＋BC＝28，∴BC＝(28－x)(m)． (2)依题意，得x(28－x)＝192， 即x2－28x＋192＝0，解得x1＝12，x2＝16， 当x1＝12时，28－x＝16＞13，成立； 当x2＝16时，28－x＝12＜13舍去． 答：花园的面积可能是192 m2，此时边AB的长为12米． (3)依题意，得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196. ∵点P与CD，AD的距离分别是13 m和6 m， ∴x≥6,28－x≥13，∴6≤x≤15， ∴面积S与x的函数解析式为S＝－(x－14)2＋196(6≤x≤15)． ∵－1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝14， ∴当x＝14时，S取到最大值为－(14－14)2＋196＝196， 即当x＝14时，花园面积S最大，最大值为196 m2. 工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计) (1)若长方体底面面积为12 dm2，求裁掉的正方形的边长； (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的最小值； (3)在(2)的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分米需要的费用为0.5元，底面每平方分米需要的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？ 解：(1)设裁掉的正方形的边长为x dm， 由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)． 答：裁掉的正方形的边长为2 dm，底面积为12 dm2. (2)由题意得10－2x≤5(6－2x)， 解得0<x≤2.5. 设长方体容器的底面面积为S dm2， ∴S＝(10－2x)(6－2x)＝4x2－32x＋60＝4(x－4)2－4， ∴当x＝2.5时长方体容器的底面面积有最小值，S最小＝4×(2.5－4)2－4＝5. (3)设总费用为w元， 由题意可知w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24， ∵对称轴为x＝6，开口向上， ∴当0<x≤2.5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝2.5时，w最小为25元，∴当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，为25元． 题型5　抛物线形问题 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2 m，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28 m，垂直距离为6 m. (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10 m. ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)，求a的取值范围． 　 解：(1)①根据题意可得石块运行的函数解析式为y＝a(x－20)2＋10， 把(0,0)代入解析式，得400a＋10＝0， 解得a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－20)2＋10. ②石块能飞越防御墙AB.理由如下： 由题意得C(30,6)， 把x＝30代入y＝－(x－20)2＋10， 得y＝－×(30－20)2＋10＝7.5>6， ∴石块能飞越防御墙． (2)由题意可知B(28,6)，抛物线y＝a(x－20)2＋k， 把O(0,0)，B(28,6)代入得 解得a＝－. 把C(30,6)，O(0,0)代入得 解得a＝－. ∵石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)， ∴a的取值范围为－≤a≤－. (2024湖北模拟)根据以下素材，探索完成任务. 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布 问题解决 任务1 确定桥 拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数解析式 任务2 探究悬 挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围 任务3 拟定设 计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标 解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且过点B(10，－5)， 设抛物线的解析式为y＝ax2， 把点B(10，－5)代入得100a＝－5， ∴a＝－， ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2. (答案不唯一，建立的坐标系合理即可)． 任务2： ∵该河段水位再涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1 m，灯笼长0.4 m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥－5＋1.8＋1＋0.4＝－1.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是－1.8 m. 当y＝－1.8时，－x2＝－1.8，∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是－6≤x≤6. 任务3： 方案一：如图2(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼(黑点表示灯笼悬挂点的横坐标)， ∵－6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼． ∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为－1.6×3＝－4.8. 方案二：如图3，若不在顶点处悬挂灯笼(黑点表示灯笼悬挂点的横坐标)． ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8＋1.6×(5－1)＞6， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8＋1.6×(4－1)＜6， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼． ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为－0.8－1.6×3＝－5.6. 学科网（北京）股份有限公司 $$