第1部分 专项8 反比例函数的综合（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项八　反比例函数的综合 在解答题中，反比例函数常与一次函数综合考查，有时会与几何图形等其他知识结合考查，在2024年湖北中考中出现在第20题的位置，分值为8分，分为2小问，整体难度属于中档题．在解答题的考查中，第(1)小问经常考查求函数解析式的待定系数法；第(2)小问可能考查函数与不等式之间的关系，一般用数形结合的思想解决问题，第(2)小问也可能考查求某个图形的面积，往往用割补法解决问题；第(2)小问也可能函数与不等式、图形的面积都考查．意在考查学生的运算能力、推理能力和空间观念． 题型1　反比例函数与一次函数结合 (2024湖北模拟)(8分)如图，已知一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与反比例函数y2＝(k≠0)的图象相交于点A(1,5)，B(b，－1)，连接AO，BO. (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：①△ABO的面积为________； ②当y1≤y2时，自变量x的取值范围是________. 规范答题 解：(1)∵两函数图象相交于点A(1,5)，B(b，－1)， ∴k＝5＝－b， ∴反比例函数的解析式为y＝，………………………………………2分 ∴B(－5，－1)． ∵A(1,5)，B(－5，－1)在一次函数y1＝mx＋n的图象上， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋4. ………………………………………4分 (2)①12；…………………………………………………………………6分 ②x≤－5或0<x≤1. ……………………………………………………8分 (2024上海)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(k为常数且k≠0)上有一点A(－3，m)， 且与直线y＝－2x＋4交于另一点B(n,6)． (1)求k与m的值； (2)过点A作直线l∥x轴与直线y＝－2x＋4交于点C，求sin∠OCA的值． 解：(1)把B(n,6)代入y＝－2x＋4， 得6＝－2n＋4，解得n＝－1，∴B(－1,6)． 把B(－1,6)代入y＝，得k＝－1×6＝－6，∴y＝－， 把A(－3，m)代入y＝－，得m＝－＝2. (2)由(1)知A(－3,2)．设l与y轴相交于D， ∵l∥x轴，x轴⊥y轴， ∴A，C，D的纵坐标相同，均为2，∠CDO＝90°， 把y＝2代入y＝－2x＋4，得2＝－2x＋4，解得x＝1，∴C(1,2)，∴CD＝1，OD＝2， ∴OC＝＝， ∴sin∠OCA＝＝. (2024德阳)如图，一次函数y＝－2x＋2与反比例函数y＝(x<0)的图象交于点A(－1，m)． (1)求m的值和反比例函数y＝的解析式； (2)将直线y＝－2x＋2向下平移h个单位长度(h>0)后得直线y＝ax＋b，若直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x<0)的图象的交点为B(n,2)，求h的值，并结合图象求不等式<ax＋b的解集． 解：(1)∵一次函数y＝－2x＋2与反比例函数y＝(x<0)的图象交于点A(－1，m)， ∴m＝－2×(－1)＋2＝2＋2＝4，∴A(－1,4)． 把A(－1,4)代入y＝，得4＝，∴k＝－4， ∴反比例函数的解析式为y＝－. (2)∵直线y＝ax＋b是将直线y＝－2x＋2向下平移h个单位长度(h>0)后得到的， ∴直线y＝ax＋b与直线y＝－2x＋2平行，∴a＝－2，∴y＝－2x＋b. ∵直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x<0)的图象的交点为B(n,2)， ∴把B(n,2)代入y＝－得，2＝－，解得n＝－2，∴B(－2,2)． 把B(－2,2)代入y＝－2x＋b，得2＝－2×(－2)＋b， ∴b＝－2，∴h＝2－(－2)＝4. 由图象知，当x<－2时，y＝在直线y＝ax＋b的下方， ∴不等式<ax＋b的解集为x<－2. 题型2　反比例函数与几何图形的综合 (2024江西)如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线y＝(k>0，x>0)经过点B，过点A(4,0)作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC. (1)点B的坐标为________； (2)求BC所在直线的解析式． 解：(1)(2,2)． (2)把B(2,2)代入y＝(k>0，x>0)， 得k＝4，∴y＝. ∵过点A(4,0)作x轴的垂线交双曲线于点C，∴当x＝4时，y＝1，∴C(4,1)． 设直线BC的解析式为y＝k1x＋b，将点B，C代入得解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. (2024乐山)如图，已知点A(1，m)，B(n,1)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C(0,1)． (1)求m，n的值和一次函数的表达式； (2)连接AB，求点C到线段AB的距离． 解：(1)∵点A(1，m)，B(n,1)在反比例函数y＝的图象上，∴m＝3，n＝3. 又∵一次函数y＝kx＋b过点A(1,3)，C(0,1)， ∴解得∴一次函数的表达式为y＝2x＋1. (2)如图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E， ∵C(0,1)，B(3,1)，∴BC∥x轴，BC＝3. ∵点A(1,3)，B(3,1)，AD⊥BC， ∴点D(1,1)，AD＝2，DB＝2， 在Rt△ADB中，AB＝＝2. 又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE， 即×3×2＝×2·CE， ∴CE＝，即点C到线段AB的距离为. (2024重庆B)如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q.设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2. 　 (1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，请分别写出函数y1，y2的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出y1>y2时x的取值范围．(近似值保留一位小数，误差不超过0.2) 解：(1)y1＝x(0≤x≤6)，y2＝(0<x≤6)． (2)函数y1，y2的图象如图所示： 由函数图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．(答案不唯一) (3)由函数图象可知，当y1>y2时x的取值范围为2.2<x≤6. 学科网（北京）股份有限公司 $$