第11章 平面直角坐标系（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学平面直角坐标系复习讲义通过表格和知识框架系统梳理了四大核心知识点，包括平面直角坐标系概念、点的坐标特征、确定位置方法及平移规律，用表格清晰呈现各象限点的符号特征、坐标轴上点的特殊性等重难点，构建从概念到应用的递进知识脉络。 讲义亮点在于分层设计13类题型，从基础的有序数对表示位置到综合的坐标与几何问题，如动点运动轨迹分析，结合“左减右加”平移口诀培养运算能力，通过实际情境建立坐标系发展几何直观与空间观念，助力基础生掌握方法、优秀生深化思维，为教师实施精准分层教学提供支持。

第十一章 平面直角坐标系复习讲义 教学目标 1. 理解平面直角坐标系的相关概念，认识横轴、纵轴、原点、象限，掌握点的坐标的书写与读法； 2. 能根据坐标在平面直角坐标系中描点，能由平面内的点写出对应坐标，掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征； 3. 掌握平面内点关于坐标轴、原点对称的坐标变化规律，会求对称点的坐标； 4. 掌握点的平移规律，能根据平移前后点的坐标变化解决相关问题； 5. 学会建立合适的平面直角坐标系描述实际位置，初步体会数形结合思想，提升几何直观与坐标运算能力。 教学重难点 1. 重点 （1）平面直角坐标系的认识，点与坐标的对应关系； （2）各象限、坐标轴上点的坐标特征； （3）点的对称、平移的坐标变化规律及应用。 2. 难点 （1） 准确辨析各象限点的符号特征，理解坐标轴上点的坐标特殊性； （2）综合运用对称、平移的坐标规律解决复合型问题； （3）根据实际情境自主建立平面直角坐标系，用坐标表示位置、解决实际问题。 知识点01 平面直角坐标系的概念与有序数对 1.平面直角坐标系定义：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 2.x轴、y轴、原点：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向；两坐标轴交点O为平面直角坐标系原点。 3.有序数对：有顺序的两个实数与组成的数对，叫做有序实数对，记作. 4.点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点A的坐标，记作，如图。 5.平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。 6.象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点02 点的坐标特征 1.点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 点到坐标轴的距离 M（x，y）到x轴上的距离为|y|，到y轴上的距离为|x| 知识点03 确定位置的方法 1.方位角与距离：在南偏西60°方向50中“南偏西60°”表示一个物体相对于另一个物体的方向的角，叫作方位角，“50”表示两个物体之间的距离。 2.方位角通常表达成北偏东xx度、北偏西xx度、南偏东xx度、南偏西xx度，若所成角为45°时，也可所成“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”。 3.确定位置的方法：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 (1)行列定位法 把平面分成若干行、列，然后利用行号、列号表示平面上点的位置 (2)极坐标定位法 需要两个数据：①方位角，②距离． 二者缺一不可 (3)经纬度定位法 用经度和纬度来确定物体位置的方法，在地理中有着广泛的应用 (4)区域定位法 一般用于确定某城市的某一地方 (5)网格定位法 在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定 知识点04 平面直角坐标系中的平移 1. 在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标的变化来表示。 2.对于平面直角坐标系上任意一点 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 【注意】 1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变； 2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变； 3）平移变换的特征：平移变化下，图形的形状和大小不变，变的是图形的位置。 3.中点坐标：若平面直角坐标系中有两点，，则线段AB的中点坐标为。 题型01 用有序数对表示位置或路线 【典例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排 B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 【答案】A 【分析】根据题干给出的有序数对的约定，确定两个数分别对应的位置含义即可判断． 【详解】解：∵第2列第3排可以表示为， ∴可得有序数对中第一个数对应第几列，第二个数对应第几排， ∴表示的位置是第4列第5排． 【变式1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）教室里3组2号位置可以用表示，则表示（   ） A．2组3号 B．5组4号 C．4组5号 D．6组3号 【答案】C 【分析】先根据已知条件确定有序数对两个数的含义，第一个数表示组数，第二个数表示号数，对应得到结果． 【详解】解：∵3组2号位置用表示， ∴有序数对中，第一个数代表组数，第二个数代表号数， ∴表示4组5号． 【变式2】如果在一个会议室中，第5排第6号表示为，那么第7排第9号可以表示为________，表示的意义是________． 【答案】 第6排第9号 【分析】根据已知表示方法，确定有序数对中两个数的实际意义，第一个数表示排数，第二个数表示号数，按对应关系求解即可． 【详解】解：由题意可得，有序数对的第一个数对应排数，第二个数对应号数， 因此第7排第9号可以表示为， 表示的意义是第6排第9号． 【变式3】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 题型02 根据方位描述物体的位置 【典例1】（25-26七年级下·吉林松原·期末）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【答案】B 【分析】确定观测点为学校，明确上北下南左西右东的方位规则，根据学校处正西与正北方向夹角为，进而计算出正北方向与小明家所在方向的夹角，结合已给出的两点距离，匹配对应的方位描述选项即可． 【详解】解：由图可知，小明家在学校的南偏西方向，小明家所在方向与正南方向向西的夹角为， 因此，小明家在学校南偏西，处． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（   ） A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里 C．北纬，东经 D．与武川县相邻 【答案】C 【详解】解：A选项仅给出方向，缺少其他数据，无法确定准确位置； B选项仅给出距离，缺少其他数据，无法确定准确位置； C选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以准确确定四子王旗的位置； D选项仅说明相邻关系，无法确定准确位置． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）以下描述中，能确定具体位置的是（   ） A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A．仅给出第5排，未给出列数，不能确定具体位置，不符合题意； B．仅给出距离广州南站2千米，未给出方向，不能确定具体位置，不符合题意； C．仅给出北偏东的方向，未给出距离，不能确定具体位置，不符合题意； D．给出东经、北纬，可以唯一确定具体位置，符合题意． 【变式3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图所示为雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则目标C表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意，得中心点为原点，任意相邻的两个圆之间的距离相等，都表示10，圆圈与直线的交点确定角度，求解即可． 【详解】解：根据题意，得目标B用表示，目标D用表示， 中心点为原点，任意相邻的两个圆之间的距离相等，都表示10，圆圈与直线的交点确定角度， 则目标C表示为． 题型03 用平面直角坐标系表示位置 【典例1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系： 北京四中道元校区的坐标为 ． 【典例2】（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图是某游乐园部分区域的平面示意图，以1个单位长度代表，建立平面直角坐标系． (1)如果用表示跳跳床的坐标，那么跷跷板的坐标是______，碰碰车的坐标是______，摩天轮的坐标是______； (2)在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处； (3)跷跷板与摩天轮相距______． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)300 【分析】（1）根据图象读出点的坐标即可； （2）根据题意得：秋千的坐标为，在图中标出即可； （3）结合题意及网格即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得跷跷板的坐标是，碰碰车的坐标是，摩天轮的坐标是； （2）根据题意得：秋千的坐标为，与跳跳床在同一位置， 如图所示： （3）根据图象得：跷跷板与摩天轮相距． 【变式1】（25-26八年级下·上海崇明·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是、，则“岛”的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下： “岛”的坐标是． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（    ）    A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 【答案】B 【详解】解：该功能室的坐标为，横坐标，纵坐标， 该功能室位于第四象限， 由图可知，物理实验室在第一象限，生物实验室在第二象限，图书馆在第三象限，化学实验室在第四象限， 该功能室是化学实验室． 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·期中）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图所示， (2) 食堂，大门； (3) 解：体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示： 【分析】（1）根据旗杆的位置是，实验楼的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型04 点所在的象限 【典例1】在平面直角坐标系中，位于第四象限的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：位于第四象限，故D符合题意． 【典例2】（25-26七年级下·四川泸州·期末）若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题根据x轴上点的坐标特征求出a的值，再计算得到点B的横纵坐标，最后根据象限内点的坐标特征判断点B所在象限； 【详解】解：∵点在轴上，x轴上点的纵坐标为 ∴ 将代入点的坐标中，得 ， 即点的坐标为 ∵第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负 ∴点在第四象限； 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第三象限内点的横、纵坐标都小于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：点位于第三象限， ， ， ． 【变式2】若 ，则点在第________象限． 【答案】四 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，求出和的值，再根据象限内点的坐标符号特征判断点所在象限． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 点的坐标为， 点的横坐标为正，纵坐标为负， 点在第四象限． 【变式3】（25-26七年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，据此列出关于的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第四象限， ∴ 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 题型05 点到坐标轴的距离 【典例1】（25-26七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的纵坐标的绝对值为4，横坐标的绝对值为5， ∴点的纵坐标为4，横坐标为， ∴ 点的坐标为． 【典例2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）点M在x轴上，纵坐标为0，由此列式即可求解； （2）点M到y轴的距离为3，则横坐标的绝对值为3，由此列式即可求解； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：已知点， 由题意得，， 解得，， ∴， ； （2）解：由题意得，， 则或， 解得，或5， 或； （3）解：点M到坐标轴的距离相等， ， 或， 解得，或 ， 当时，， 当时，， 或． 【变式1】平面直角坐标系中，点，若轴．则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．6， B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据轴确定点C的纵坐标范围，再利用垂线段最短的性质，得到取最小值的位置，进而计算得到结果． 【详解】解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，点的纵坐标为， ∴ 点的纵坐标，即点在直线上移动， 根据垂线段最短的性质，当时，线段取得最小值， ∵ 轴， ∴ 轴，此时点的横坐标与点的横坐标相等，即， ∴ 此时点的坐标为， ，即线段的最小值为． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知点到轴的距离为4，则的值是_______． 【答案】或5 【分析】根据平面直角坐标系中点到轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，列出关于的方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， 解得或． 【变式3】（25-26七年级下·天津红桥·期中）已知：点． (1)点轴的距离为1，求点的坐标； (2)点，且轴，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此建立方程求出m的值即可得到答案； （2）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此建立方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为1， ∴， ∴或． 当时， 当时，， 当时，，，此时点P的坐标为， 当时，，，此时点P的坐标为． 综上所述， 点的坐标为． （2）解：∵轴， ∴． 解得． ∴，， ∴点的坐标为． 【变式4】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在第三象限的角平分线上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据横纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在第三象限的角平分线上， ∴横纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴，， ∴点P的坐标为． （2）解：∵直线平行于x轴，且， ∴点P的纵坐标等于点A的纵坐标，即， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 题型06 写出坐标系中点的坐标 【典例1】已知点在第四象限，距离轴2个单位长度，距离轴5个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，结合点在第四象限得出横坐标大于，纵坐标小于，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标大于，纵坐标小于， ∵点距离轴2个单位长度，距离轴5个单位长度， ∴点的坐标为． 【典例2】（25-26七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标比纵坐标大2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用x轴上点的纵坐标为0列方程求解a，再计算点P的坐标即可； （2）根据横坐标比纵坐标大2的数量关系列方程求解a，再计算点P的坐标． 【详解】（1）解：∵ 点P在x轴上， ∴， 解得， 将代入横坐标得：， ∴点P的坐标为． （2）解：∵点P的横坐标比纵坐标大2， ∴， 整理得， 解得 ， 将代入横纵坐标得：， ， ∴ 点P的坐标为． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第四象限，轴．若．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据平行于轴的直线上点的坐标特征，得到点的横坐标，再根据的长度和点所在象限，计算得到点的纵坐标即可． 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 点坐标为， 点的横坐标为， 设点的纵坐标为， ， ， 解得或， 点位于第四象限，第四象限内点的纵坐标小于， ， 点的坐标为． 【变式2】在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 【答案】(1)3 (2)C点坐标为或 【分析】（1）根据轴得出A、B点的纵坐标相同，由此求出的值，即可得出结果； （2）由题意可得，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵轴， ∴A、B点的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴，， ∴A，B两点间的距离； （2）解：∵轴于点D，， ∴， 解得或， ∴C点坐标为或． 【变式3】已知点，解答下列各题∶ (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限且点P到轴、轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案； （2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案； （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， ∴，． 点P的坐标为． 题型07 坐标系中描点 【典例1】（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 【答案】(1) 解：所作图形如图所示： ； (2)，，，． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】如图， (1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】(1)，，，， (2)见解析 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）根据点的坐标，在坐标系中描点即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ，，，，； （2）解：A，B，C，D各点的位置如图所示． 【变式2】（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】（1）所求各点的坐标为；（2）见解析 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）根据点的坐标，在坐标系中描点即可． 【详解】解：如图，所求各点的坐标为： （2）A，B，C，D各点的位置如图所示． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知在平面直角坐标系中，有点和点，且，． (1)在平面直角坐标系中描出三个点； (2)点的坐标为_____． 【答案】(1) 如图所示： (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系，两点间距离，熟练掌握平面直角坐标系中两点间的距离是解题的关键． （1）根据坐标的特征标出点即可； （2）根据坐标系中两点的距离，即可得到点D的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：，， 或，即或． 故答案为：或． 题型08 坐标系中的平移 【典例1】已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度， ∴平移后点的横坐标为． ∵再向上平移4个单位长度， ∴平移后点的纵坐标为． ∴平移后点的坐标为． 【典例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知有一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点的平移得到整体平移规律，再推，，，的关系，代入计算即可得到的值． 【详解】解：∵点经过此次平移后对应点为， ∴平移规律为：横坐标向右平移个单位，纵坐标向下平移个单位， ∵点平移后对应点为， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，若点恰好落在轴上，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标平移规律得到点B的坐标表达式，利用y轴上点的横坐标为0求出a的值，即可得到点B的坐标． 【详解】解：点坐标为，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 的坐标为，即， 又点在轴上，轴上所有点的横坐标为， ，解得， 将代入点的纵坐标，得纵坐标为， 点的坐标为． 【变式2】（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向为（   　 ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】B 【详解】解：∵点平移前坐标为，平移后坐标为， ∴横坐标不变，纵坐标减小1， ∴点的平移方向为向下． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点A及其对应点的坐标得到平移方式，再计算点B对应点的坐标． 【详解】解：∵点平移后对应点的坐标为， ∴平移方式为线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式4】（25-26七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点，若将向下平移可得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可. 【详解】解：∵将点向左平移可得到点，将向下平移可得到点， ∴点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴. 【变式5】如图，，，将线段平移得到．若的对应点的坐标为，的对应点的坐标为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、图形的平移，根据点平移前后的坐标，判断平移方式，求出、的值，计算的值即可，熟练掌握坐标与图形、图形的平移是解题的关键． 【详解】解：∵，的对应点的坐标为， ∴， ∴向上平移了个单位， ∵，的对应点的坐标为， ∴，， ∴向右平移了个单位， ∴， ∴， 故答案为：． 题型09 中点坐标 【典例1】点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 【变式1】若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． 【变式2】在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 题型10 坐标与几何综合 【典例1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】设小长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标列出关于、的二元一次方程组求得、的值，结合点所在的位置即可解答． 【详解】解：设小长方形纸片的长为，宽为， ∵点A的坐标为， ∴， 解得：， ， 点在第二象限内， 点的坐标是． 【典例2】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中，满足． (1)求出点，的坐标； (2)点在轴上，且，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，即可得出结果； （2）先求出，结合题意可得，设，则，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设，则， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 【变式1】（25-26七年级下·新疆和田·期末）如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 __________ ． 【答案】 【分析】根据轴得到点的坐标，再根据正方形得到轴，继而得到点的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标相同，均为， ∵正方形边长，，在右侧， ∴， ∴， ∵正方形中轴，， ∴点和点横坐标相同为， ∴， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26七年级下·重庆永川·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点和点的对应点分别是点和点．顺次连接，，，得到四边形． (1)直接写出点和点的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与轴的交点的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点坐标的平移规律解答即可； （2）设点的坐标为，先求出四边形的面积，进而可得四边形的面积，再求出，，的长，则可得四边形的面积，据此建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点和点的对应点分别是点和点， ∴，， 即，． （2）解：设点的坐标为， ∵，，，， ∴，，，，，， ∴四边形是直角梯形，其面积为， ∵图中阴影部分的面积是， ∴四边形的面积为， ∵将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形， ∴，，， ∴，四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【变式3】平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为且a，b，c满足 (1)请用含m的式子分别表示a，b，c； (2)如图1，已知线段与y轴相交，若，求实数m的值； (3)当实数m变化时，若线段与y轴相交，线段与线段交于点P，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先确定，过点分别作轴的垂线，垂足为，根据，表示出，根据，求出，再由建立方程求解； （3）连接，过点分别作轴的垂线，垂足为，由推导出，再分别表示和，然后建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： 由得，，解得， 将代入③得，，解得， 将，代入②得，，解得， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵线段与y轴相交 ∴ 解得， 过点分别作轴的垂线，垂足为 ∵ ∴ ； ∵ ∴， ∵ ∴ 解得； （3）解：连接，过点分别作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ； ∴ 解得 由（2）知 ∴． 题型11 坐标中规律探究问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到点P的横，纵坐标的规律，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得，、、、，， ∴横坐标和序号相同，纵坐标的变化是以1，0，，0，4个数为一组循环变化， ∵， ∴点的纵坐标和的纵坐标相同， ∴的坐标为． 【变式1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据 ，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∵ ， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出沿x轴向右滚动一周，圆心向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025周，圆心A向右移动的距离，又滚动过程中，圆心的纵坐标不变，问题可得解． 【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据题意，沿x轴向右滚动一周，圆心A向右运动的距离为：， ∴从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆心A向右移动的距离为， ∴点的坐标为． 【变式3】（25-26七年级下·四川广元·期末）小球起始位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图①所示．若小球起始位于处，如图②，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置坐标是_____________． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出小球前几次碰到球桌边时的坐标，观察坐标的变化规律，确定循环周期，利用周期性求解即可； 【详解】解：由题意可知，小球起始位置为，第一次碰到球桌边时的位置坐标是；第二次碰到球桌边时的位置坐标为；第三次碰到球桌边时的位置坐标为；第四次碰到球桌边时的位置坐标为；第五次碰到球桌边时的位置坐标为；第六次碰到球桌边时的位置坐标为；此时小球回到起始位置； 小球碰到球桌边的位置坐标每次为一个循环周期， ， 小球第次碰到球桌边时的位置与第次碰到球桌边时的位置相同， 即坐标为． 题型12 坐标中新定义型问题 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可； （2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即； （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 【变式2】当都是实数，且满足，就称点为“34中幸运点” 例如：点，令，解得 因为，所以点不是“34中幸运点” (1)请你判断点是不是“34中幸运点”，请说明理由 (2)若点为“34中幸运点”，且它的横坐标和纵坐标相等，求点坐标． (3)若点是“34中幸运点”，请直接写出与关系式． 【答案】(1)点是“34中幸运点”，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、一元一次方程的应用，理解“34中幸运点”的定义是解此题的关键． （1）令，解得，再结合“34中幸运点”的定义判断即可； （2）设，令，解得，结合“34中幸运点”的定义求出，即可得解； （3）由题意可得，，结合，得出，整理即可得解． 【详解】（1）解：点是“34中幸运点”，理由如下： 令，解得， ∴， ∴点是“34中幸运点”； （2）解：设， 令，解得， ∵点为“34中幸运点”， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“2阶关联点”．例如，点，则点是点的“2阶关联点”． (1)若点，则点的“2阶关联点”的坐标为____________； (2)若点的“2阶关联点”的坐标为，则点的坐标为____________；若轴上的点是的“2阶关联点”，则，的关系式是：____________； (3)若点是点的“2阶关联点”，点向右平移3个单位可与点重合，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移及点的坐标变化规律． （1）根据“2阶关联点”的定义进行计算即可； （2）令点的坐标为，再根据“2阶关联点”的定义建立关于m，n的方程进行计算即可；先用x，y表示出的坐标，再结合点在y轴上，得出其横坐标为0即可解决问题； （3）令点的坐标为，再用a，b表示出点的坐标，再表示出点向右平移3个单位后的坐标，最后根据此点与重合，建立关于a，b的等式即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点是点的“2阶关联点”，且点， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：令点的坐标为， ∵点的“2阶关联点”的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∵点是的“2阶关联点”， ∴点的坐标为， ∵点在y轴上， ∴， 即，的关系式为， 故答案为：；； （3）解：令点的坐标为， ∵点是点的“2阶关联点”， ∴点的坐标为， 将点向右平移3个单位后，所得点的坐标为， ∵与重合， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 题型13 坐标中动点问题 【典例1】如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点从原点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）．设点运动的时间为． (1)点的坐标为______； (2)当时，求点的坐标； (3)在运动过程中，当点满足的面积为6时，求点的运动时间． 【答案】(1) (2) (3)3.5或8.5 【分析】本题考查了坐标与图形，正确理解坐标的意义及点P运动路径的计算是解答本题的关键． （1）根据长方形的性质，可得与y轴平行，与x轴平行，根据坐标的意义即得答案； （2）当点P移动了3秒时，点P移动了C个单位，因此点P移动到了上，且与点A距离为2个单位，根据坐标的意义即得答案； （3）分点P在上和上两种情况，分别求出P运动的路程，即可进一步求得答案． 【详解】（1）解： 根据长方形的性质， 可得与y轴平行，与x轴平行， 故B的坐标为， 故答案为：； （2）解： 当点P移动了3秒时，点P移动了， 因此点P移动到了上，且与点A距离为， 所以点P的坐标为； （3）解：若P在上，则， ， 不合题意，舍去， 所以P在或上， ， ， 点到x轴距离为3个单位长度时， 有两种情况： 当点P在上时，运动了个长度单位，此时运动了秒； 当点在上时，运动了个长度单位， 此时运动了秒． 所以点移动的时间为3.5秒或8.5秒． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； （2）解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； （3）解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： （4）解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 【变式2】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ，_____ (2)当点在线段上时，______．（用含的式子表示） (3)当点在轴上，且的面积等于时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)①；②或 【分析】（1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， （2）当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． (1)请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； (2)连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；3；；； (2) (3)是定值；3． 【分析】（1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 由平移的性质得， 将点、分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至、， ， （2）解：如图1中， 由题意得，，，， ∴， 即， 解得 ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 1．（25-26七年级下·吉林·期末）点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点符合第二象限点的坐标特征，点在第二象限． 2．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据方位角的定义求解即可． 【详解】解：由图可得，北偏西为，乙到中心距离为；丙到中心距离为， ∴位于学校北偏西方向处的是丙，即新华书店可能是图中丙． 3．如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 【答案】C 【分析】根据已知棋子帅的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，即可确定点表示的棋子． 【详解】解：帅的坐标为， 坐标原点位于帅的位置向左个单位，向上个单位处，如图， 点对应的棋子是炮． 4．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，则__________． 【答案】 【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程，求解即可得到m的值. 【详解】解：点在轴上， ， 解得：. 5．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在第二、四象限角平分线上，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】根据第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，列出方程求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴横纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴，， ∴点坐标为． 6．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 【答案】(1) (2)超市，电影院 【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据超市和电影院所在位置写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为． 7．在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为请在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形． 【答案】 三角形即为所求： 【分析】本题考查了坐标系中描点，根据三角形的顶点坐标分别为逐个在平面直角坐标系上标点，再依次连接，得三角形，即可作答． 【详解】略 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的长． (3)若点在轴下方且到轴的距离为，求的值． (4)若点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用在轴上的点纵坐标为求解； （2）利用当轴时，点和点的纵坐标相等求解； （3）利用当点在轴下方时，点的纵坐标小于，点到轴的距离为点纵坐标的绝对值求解； （4）利用二、四象限的角平分线是直线求解． 【详解】（1）解：在轴上的点纵坐标为，点在轴上， ，解得， ， ； （2）解：点的坐标为，且轴，， 点和点的纵坐标相等， ，解得， ， ， ； （3）解：点在轴下方且到轴的距离为，， ，解得； （4）解：点在二、四象限的角平分线上，， 点在直线上， ，解得， ，， ． 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在轴负半轴，且到原点的距离为， ∴点的横坐标为， 纵坐标为，即点的坐标为． 2．（25-26八年级下·山西临汾·期末）2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点A和点B的坐标确定原点和坐标轴的位置，据此建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则点C的坐标为． 3．如图，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是______． 【答案】 【分析】设甲、乙第一次相遇时，时间为，用的代数式表示出，，观察图形，结合相遇运动规律得：，即可解出，从而求出甲、乙第一次相遇时，，，进一步分别求出甲、乙第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，相遇点坐标，观察发现，相遇点坐标周期性变化，周期，再用2022除以3即可发现刚好完成674个周期，即可得答案． 【详解】解：设甲、乙第一次相遇时，时间为，则甲的路程为，， ∵，，，， ∴，， ∴， 观察图形，结合相遇运动规律得：， ∴，解得：， ∴甲、乙第一次相遇时，，， ∴甲、乙第一次相遇时，相遇点坐标为：， 第二次相遇时，相遇点坐标为：， 第三次相遇时，相遇点坐标为：， 第四次相遇时，相遇点坐标为：， 第五次相遇时，相遇点坐标为：， 第六次相遇时，相遇点坐标为：， 观察发现，相遇点坐标周期性变化，周期， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标． 4．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． (1)若点P的“3阶变换点”为，则点的坐标为__________； (2)对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)①或②或③且或且 【分析】（1）根据“a阶变换点”的定义解题即可； （2）①根据“a阶变换”的特征点的定义解题；②根据“a阶变换”的特征点列出二元方程组 ，将方程组变形得，利用代入消元法求解；③根据“a阶变换点”的定义找出点的坐标，根据坐标找出图形与图形的特征进行求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴点的坐标为 （2）解：①点的坐标为， 根据“2阶变换”可得点的坐标为， 根据“2阶变换”的特征点得， 变形，得， 将②代入①中，得， ∴， 解得或． ②由题意知点的坐标为， 由特征值知， 变形，得， 情况：，得， 则， ∵点在平面直角坐标系中，且不在坐标轴上， ∴不总等于， 要使恒成立， 须，则； 情况：，得， 则， ∵点在平面直角坐标系中，且不在坐标轴上， ∴不总等于， 要使恒成立， 须，解得； 综上所述，“a阶变换”的特征值为或． ③由“a阶变换点”的定义知： ， 将点在平面直角坐标系表示出来，如下图所示： ， 可知四边形是边长为的正方形，对称中心在原点，且四个顶点到对称中心的距离均为， ∵点关于原点对称，点关于原点对称， ∴四边形的对称中心在原点上； 四边形四个顶点到原点的距离分别为： ， ， ∴， ∴四边形大致图像如下图所示： ， 情况：当时，， 则有， 当，解得不等式组的解集为， 当时，解得不等式组的解集为， ∴的取值范围为且； 情况：当时，， 则有， 当时，解得不等式组的解集为； 当时，解得不等式组的解集为； ∴的取值范围为且； 综上所述，的取值范围为且或且． 5．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，在y轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在．P点坐标为或 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，求出、的值，即可得到点A、B的坐标； （2）过点作，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可得，，再根据即可表示出； （3）连接，根据、、三点坐标，求出的面积，设，根据列方程求出的值，设，分别表示出的面积，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作，交轴于点， ， 又， ， ， ，， ， 又，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在．连接，如图3． 设， ， ， 解得， 点坐标为，， 当点在轴上时，设， ， ， 解得或， 此时P点坐标为或． 6．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，连接，． (1)请求出点和点的坐标； (2)请判断与的数量关系，并说明理由； (3)点从点出发，以每秒个单位的速度向上运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)． 理由如下： 由平移可得， ， 由平移可得， ， ； (3)存在， 【分析】（1）由平方非负性、绝对值非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可； （2）由平移性质得出平行线，再由平行线的性质求证即可； （3）过点作的延长线，垂足为点，连接，，由题意得出相关点的坐标，即可确定相关线段长度，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 由得， 则，解得， ，； （2）略 （3）解：存在． 过点作的延长线，垂足为点，连接，，如图所示： 运动时间为秒， 点的坐标为， ， ，， 由题意得点和点的坐标分别为和， ，，，轴， ， ，即，解得， 当时，四边形的面积等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 平面直角坐标系复习讲义 教学目标 1. 理解平面直角坐标系的相关概念，认识横轴、纵轴、原点、象限，掌握点的坐标的书写与读法； 2. 能根据坐标在平面直角坐标系中描点，能由平面内的点写出对应坐标，掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征； 3. 掌握平面内点关于坐标轴、原点对称的坐标变化规律，会求对称点的坐标； 4. 掌握点的平移规律，能根据平移前后点的坐标变化解决相关问题； 5. 学会建立合适的平面直角坐标系描述实际位置，初步体会数形结合思想，提升几何直观与坐标运算能力。 教学重难点 1. 重点 （1）平面直角坐标系的认识，点与坐标的对应关系； （2）各象限、坐标轴上点的坐标特征； （3）点的对称、平移的坐标变化规律及应用。 2. 难点 （1） 准确辨析各象限点的符号特征，理解坐标轴上点的坐标特殊性； （2）综合运用对称、平移的坐标规律解决复合型问题； （3）根据实际情境自主建立平面直角坐标系，用坐标表示位置、解决实际问题。 知识点01 平面直角坐标系的概念与有序数对 1.平面直角坐标系定义：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 2.x轴、y轴、原点：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向；两坐标轴交点O为平面直角坐标系原点。 3.有序数对：有顺序的两个实数与组成的数对，叫做有序实数对，记作. 4.点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点A的坐标，记作，如图。 5.平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。 6.象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点02 点的坐标特征 1.点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 点到坐标轴的距离 M（x，y）到x轴上的距离为|y|，到y轴上的距离为|x| 知识点03 确定位置的方法 1.方位角与距离：在南偏西60°方向50中“南偏西60°”表示一个物体相对于另一个物体的方向的角，叫作方位角，“50”表示两个物体之间的距离。 2.方位角通常表达成北偏东xx度、北偏西xx度、南偏东xx度、南偏西xx度，若所成角为45°时，也可所成“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”。 3.确定位置的方法：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 (1)行列定位法 把平面分成若干行、列，然后利用行号、列号表示平面上点的位置 (2)极坐标定位法 需要两个数据：①方位角，②距离． 二者缺一不可 (3)经纬度定位法 用经度和纬度来确定物体位置的方法，在地理中有着广泛的应用 (4)区域定位法 一般用于确定某城市的某一地方 (5)网格定位法 在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定 知识点04 平面直角坐标系中的平移 1. 在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标的变化来表示。 2.对于平面直角坐标系上任意一点 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 【注意】 1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变； 2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变； 3）平移变换的特征：平移变化下，图形的形状和大小不变，变的是图形的位置。 3.中点坐标：若平面直角坐标系中有两点，，则线段AB的中点坐标为。 题型01 用有序数对表示位置或路线 【典例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排 B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 【变式1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）教室里3组2号位置可以用表示，则表示（   ） A．2组3号 B．5组4号 C．4组5号 D．6组3号 【变式2】如果在一个会议室中，第5排第6号表示为，那么第7排第9号可以表示为________，表示的意义是________． 【变式3】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 题型02 根据方位描述物体的位置 【典例1】（25-26七年级下·吉林松原·期末）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（   ） A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里 C．北纬，东经 D．与武川县相邻 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）以下描述中，能确定具体位置的是（   ） A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米 C．北偏东 D．东经，北纬 【变式3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图所示为雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则目标C表示为_______． 题型03 用平面直角坐标系表示位置 【典例1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图是某游乐园部分区域的平面示意图，以1个单位长度代表，建立平面直角坐标系． (1)如果用表示跳跳床的坐标，那么跷跷板的坐标是______，碰碰车的坐标是______，摩天轮的坐标是______； (2)在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处； (3)跷跷板与摩天轮相距______． 【变式1】（25-26八年级下·上海崇明·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是、，则“岛”的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（    ）    A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·期中）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置． 题型04 点所在的象限 【典例1】在平面直角坐标系中，位于第四象限的点是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·四川泸州·期末）若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若 ，则点在第________象限． 【变式3】（25-26七年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是___________． 题型05 点到坐标轴的距离 【典例1】（25-26七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 【变式1】平面直角坐标系中，点，若轴．则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．6， B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知点到轴的距离为4，则的值是_______． 【变式3】（25-26七年级下·天津红桥·期中）已知：点． (1)点轴的距离为1，求点的坐标； (2)点，且轴，求点的坐标． 【变式4】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在第三象限的角平分线上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． 题型06 写出坐标系中点的坐标 【典例1】已知点在第四象限，距离轴2个单位长度，距离轴5个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标比纵坐标大2，求点P的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第四象限，轴．若．则点的坐标为______． 【变式2】在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 【变式3】已知点，解答下列各题∶ (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限且点P到轴、轴的距离相等，求出点P的坐标． 题型07 坐标系中描点 【典例1】（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 【变式1】如图， (1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，，． 【变式2】（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知在平面直角坐标系中，有点和点，且，． (1)在平面直角坐标系中描出三个点； (2)点的坐标为_____． 题型08 坐标系中的平移 【典例1】已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知有一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，若点恰好落在轴上，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向为（   　 ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 【变式4】（25-26七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点，若将向下平移可得到点，则点的坐标为_____． 【变式5】如图，，，将线段平移得到．若的对应点的坐标为，的对应点的坐标为，则的值为________． 题型09 中点坐标 【典例1】点和点的中点坐标为________． 【变式1】若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 题型10 坐标与几何综合 【典例1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是________． 【典例2】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中，满足． (1)求出点，的坐标； (2)点在轴上，且，求出此时点的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·新疆和田·期末）如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 __________ ． 【变式2】（25-26七年级下·重庆永川·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点和点的对应点分别是点和点．顺次连接，，，得到四边形． (1)直接写出点和点的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与轴的交点的坐标； 【变式3】平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为且a，b，c满足 (1)请用含m的式子分别表示a，b，c； (2)如图1，已知线段与y轴相交，若，求实数m的值； (3)当实数m变化时，若线段与y轴相交，线段与线段交于点P，且，求实数m的取值范围． 题型11 坐标中规律探究问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【变式3】（25-26七年级下·四川广元·期末）小球起始位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图①所示．若小球起始位于处，如图②，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置坐标是_____________． 题型12 坐标中新定义型问题 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【变式2】当都是实数，且满足，就称点为“34中幸运点” 例如：点，令，解得 因为，所以点不是“34中幸运点” (1)请你判断点是不是“34中幸运点”，请说明理由 (2)若点为“34中幸运点”，且它的横坐标和纵坐标相等，求点坐标． (3)若点是“34中幸运点”，请直接写出与关系式． 【变式3】在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“2阶关联点”．例如，点，则点是点的“2阶关联点”． (1)若点，则点的“2阶关联点”的坐标为____________； (2)若点的“2阶关联点”的坐标为，则点的坐标为____________；若轴上的点是的“2阶关联点”，则，的关系式是：____________； (3)若点是点的“2阶关联点”，点向右平移3个单位可与点重合，求点的坐标． 题型13 坐标中动点问题 【典例1】如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，点从原点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）．设点运动的时间为． (1)点的坐标为______； (2)当时，求点的坐标； (3)在运动过程中，当点满足的面积为6时，求点的运动时间． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【变式2】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ，_____ (2)当点在线段上时，______．（用含的式子表示） (3)当点在轴上，且的面积等于时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． (1)请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； (2)连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 1．（25-26七年级下·吉林·期末）点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 4．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，则__________． 5．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在第二、四象限角平分线上，则点坐标为___________． 6．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 7．在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为请在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形． 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的长． (3)若点在轴下方且到轴的距离为，求的值． (4)若点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西临汾·期末）2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，长方形四个顶点的坐标分别为，，，．物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是______． 4．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． (1)若点P的“3阶变换点”为，则点的坐标为__________； (2)对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 5．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，在y轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，连接，． (1)请求出点和点的坐标； (2)请判断与的数量关系，并说明理由； (3)点从点出发，以每秒个单位的速度向上运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $