微课(13) 与对称有关的最值模型（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲
微课(十三) 与对称有关的最值模型
模型一 求两条线段和的最小值
问题 |
在直线l上求点P，使AP＋BP最短 |
作法 | 将点A对称到点A′，连接A′B与l的交点即为点P |
图形 |
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原理 | AP＋BP＝AB′ 两点之间，线段最短 |
(2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为5.
[思路分析]取点A关于直线l的对称点A′，连接A′O，推出PO＋PA的最小值为A′O的长，再利用勾股定理求出A′O的长即可．
1．(2024广安)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为
.
模型二 求两条线段差的最大值
问题 |
在直线l上求点P，使|AP－BP|最大 |
作法 | 将点B对称到点B′，作直线AB′与l的交点即为点P |
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图形 |
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原理 | |AP－BP|＝AB′ 三角形任意两边之差小于第三边 |
如图，点A，B在直线MN的同侧，点A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA＋PB的最小值为a，|PA－PB|的最大值为b，则a2－b2的值为( A )
A．160 B．150
C．140 D．130
2．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP－PE的最大值是3.
模型三 求三条线段和的最小值
1．一定两动
问题 |
在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN周长最小 |
作法 | 分别将点P关于两直线对称得到点P′，P″，连接P′P″与两直线交点即为点M，N |
图形 |
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原理 | PM＋MN＋PN＝P′P″ |
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| 两点之间，线段最短 |
2．两定两动
问题 |
在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PMNQ周长最小 |
作法 | 将点P，Q分别关于两直线对称得到点P′，Q′，连接P′Q′与直线的交点即为M，N |
图形 |
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原理 | PM＋MN＋NQ＝P′Q′ 两点之间，线段最短 |
3．造桥模型
问题 |
在直线l上求两点M，N(M在左)，使得MN＝a，并使AM＋MN＋NB最短 |
作法 | 将点A向右平移a个单位到点A′，对称点A′到点A″，连接A″B与l交点即为点N，左平移a个单位即为点M |
图形 |
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原理 | AM＋MN＋NB＝a＋A″B 两点之间，线段最短 |
(2024绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝80°.
[思路分析]连接OP，作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME
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