微课(10) 圆中常见辅助线的作法（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

微课(十)　圆中常见辅助线的作法

类型一　连半径，构等腰

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题．

(2024苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝62°.

1．(2024宿迁月考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝(　D　)

A．25° B．50°

C．60° D．65°

2．(2024枣庄)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝40°.

3．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB.

(1)写出图中一个度数为30°的角：______，

图中与△ACD全等的三角形是______；

(2)求证：△AED∽△CEB；

(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．

(1)解：∠1(或∠2，∠3，∠4均可)；△BCD.

(2)证明：由题意和(1)的结果可得∠5＝∠6，∠3＝∠2＝30°，∴△AED∽△CEB.

(3)解：四边形OAEB是菱形，理由如下：

连接OA，OB，∵OA＝OE＝OB＝r，∠5＝∠6＝60°，

∴△OAE，△OBE是等边三角形，∴OA＝OB＝AE＝EB＝r，∴四边形OAEB是菱形．

4．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD.

(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；

(2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长．

解：(1)△BDE为等腰直角三角形．证明如下：

∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.

∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠BED＝∠DBE.

∴BD＝ED.∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．

另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．

(2)如图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F.

∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC.∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC.

∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，

∴BD＝2.∵AB＝10，∴OB＝OD＝5.

设OF＝t，则DF＝5－t.在Rt△BOF和Rt△BDF中，52－t2＝(2)2－(5－t)2，解得t＝3，∴BF＝＝4.∴BC＝8.

类型二　遇90°的圆周角，添加直径；遇直径，构造直径所对的圆周角

1．遇直径时，常构造直径所对的圆周角．如图1，AB为直径，连接AC，BC⇒∠C＝90°.

2．遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．如图2，∠C＝90°，连接AB⇒AB为直径．

如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB.

(1)求⊙O的半径；

(2)求∠BAC的正切值．

解：(1)如图，延长BC，交⊙O于点D，连接AD.