6.1 用树状图或表格求概率（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

第六章 概率的进一步认识 6.1 用树状图或表格求概率 知识点一 概率的相关概念 ·概率：事件A发生的概率记为P(A)，等可能试验中的P(A)= ·等可能结果：如果一个试验所有可能出现的结果，发生机会都一样，就叫“等可能结果”。只有在这个前提下，才能直接用计数算概率；如果各结果可能性不等，这个方法失效。 即学即练 1．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键．根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份， ∴指针落在灰色区域的概率为． 故选：C． 2．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】观察图形，确定总格子数和黑色区域格子数，利用概率公式计算即可． 【详解】解： ∵游戏板总共有9个相同的小正方形，其中黑色区域占据了其中4个小正方形， ∴击中黑色区域的概率是． 3．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 知识点二 画树状图表示某一事件发生的概率 适用场景 两步、三步甚至更多步试验，通用性更强。 结构顺序 一级分支→二级分支→三级分支→...... 一级分支 第一次所有可能 二级分支 在每一个第一次结果下面，画出第二次所有可能 ... “末端（叶子）”就是全部完整结果。 ·易错提示：每一个分支必须对应该情境下真实可选结果；不放回时，下一级分支要剔除已经取走的选项，不能盲目照搬。 即学即练 1．校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为 ； (2)若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】()直接根据概率公式求解即可； ()画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有种可能，即概率为； （2）解： “幻方”“数独”“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数为， ∴他们恰好抽到“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 2．一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球． (1)若盒中有个红球和个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明； (2)若先从盒中摸出个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了次．统计结果如下表： 球的颜色 无记号 有记号 红色 白色 红色 白色 摸到的次数 由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几； (3)在（2）的条件下，估算盒中红球的个数． 【答案】(1)解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，从中任意摸出两个球恰好是一红一白的有种情况， ∴（恰好是一红一白）， 即从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是； (2)红球占总球数的，白球占总球数的 (3)个 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中任意摸出两个球恰好是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意得次摸球试验活动中，出现红球次，白球次，继而求得答案； （3）由题意可知，次摸球试验活动中，出现有记号的球次，则可求得总数，继而求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，次摸球试验活动中，出现红球次，白球次， ∴红球所占百分比为， 白球所占百分比为， 答：红球占总球数的，白球占总球数的； （3）解：由题意可知，次摸球试验活动中，出现有记号的球次， ∴总球数为， ∴红球数为（个）， 答：盒中红球有个． 【详解】（1）解：（抽到数字2）． 知识点三 列表格表示某一事件发生的概率 ·优点：直观，能看清先后顺序，不容易漏掉步骤 适用场景 一般适合两步试验，两个因素（第一阶段、第二阶段） 做法 一行代表第一阶段，一列代表第二阶段，单元格写组合结果。 列表格与树状图两种方法比较 树状图法 列表格 直观，能看清先后顺序， 不容易漏掉步骤 优点：整齐，不容易漏； 局限：超过两步，表格会很复杂，一般改用树状图。 ·易错提示：写清“有序”还是“无序”。很多学生错把“先甲后乙”和“先乙后甲”当成同一种，直接少算结果，概率就错。 即学即练 1．小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 2．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 题型01 列举法求某一事件的概率 ·一般步骤： 第一步：判断试验类型：确定是放回还是不放回，是否等可能。 第二步：枚举全部结果，标清每一种组合。 第三步： 数总数，统计所有等可能结果一共多少种。 第四步：数目标事件：挑出满足题目条件的结果，计数。 第五步： 代入公式求概率，化简分数。 ·“至少一个”类问题：可以直接数满足的，也可以用“对立事件（反面）”简化计算。 ①“有序、无序”混淆，重复合并或者重复漏掉； ②“数错总结果数”，分母错，整题概率错 典｜例｜精｜析 1．在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 2．现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答． 变｜式｜巩｜固 1．在“阳光大课间”活动中，南湖中学设计了“篮球、足球、排球”三种球类送动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率计算方法． 列举所有可能情况，计算符合条件的情况数占总情况数的比例即可． 【详解】解：甲、乙各有种选择（篮球、足球、排球）， 所有可能的情况共有种， 两人选择相同项目的情况有种（同为篮球、同为足球或同为排球）， ∴所求概率为， 故选：． 2．有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 【答案】 【分析】根据方程有实数根，二次项系数为，即可得，据此列出不等式，解出即可得的取值范围，再根据的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：∵方程有实数根，二次项系数为， ∴，整理得：，解得：， ∵的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种， ∴记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是． 题型02 计算概率判断游戏的公平性 ·一般思路： （1）解读游戏规则（难点）： 先判断是否为等可能事件，再计算两种事件发生的概率（列表适合两步，树状图适合多步）； （2）比较概率大小，只有两种事件发生的概率相同，游戏规则才公平。 ①“不等可能试验”还用这个方法算概率（基础前提错）； ②“有序、无序”混淆，重复合并或者重复漏掉； ③树状图法：“只画分支，但不把全部末端结果写出来”，漏检； ④审题失误：不理解游戏规则 典｜例｜精｜析 1．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 2．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)5和6 (3)这个游戏不公平 【分析】（1）先确定5个面标有“6”，然后根据概率公式求解； （2）由于标有“5”和“6”的面最多，从而得到向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）先确定20个数据中奇数与偶数的个数，再计算出小明获胜和小红获胜的概率，然后通过比较两概率的大小可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴有5个面标有“6”， ∴任意掷这枚骰子，共有种等可能性的情况，其中向上一面的数字是“6”的有5种， ∴向上一面的数字是“6”的概率； （2）解：∵标有“5”和“6”的面最多，5个面标有“5”，5个面标有“6”， ∴向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）解：∵20个数字中，奇数有9个，偶数有11个， ∴小明获胜的概率，小红获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平． 变｜式｜巩｜固 1．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 3．一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)这个游戏对双方不公平． 理由如下： 小明赢的概率为， 小华赢的概率为， 因为， 所以这个游戏对双方不公平． 【分析】（1）根据题意可得，标有“”的面数等于总面数减去其他字母的面数之和，即可解答； （2）根据概率公式即可解答； （3）分别计算小明赢的概率和小华赢的概率，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，正十二面体形状的骰子共有个面， 标有“”的面有（个）． （2）解：任意掷这枚骰子，所有等可能的结果有12种，掷出字母“”的结果有3种， 所以，掷出“”的概率为． 4．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 题型03 “不放回”试验中事件的概率 ·适用情况：题干出现“先后发生（连续抽取不返还）”、“同时抽取两件”、“不放回” ·不放回抽样：取出不再放回，第二次候选变少，不会出现“同一个再选一次”，总数递减。 ①“不放回”当成“放回”，多算了不可能出现的组合； ②“有序、无序”混淆，重复合并或者重复漏掉； ③“数错总结果数”，分母错，整题概率错； 典｜例｜精｜析 1．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 2．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由 解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）略 3．为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 变｜式｜巩｜固 1．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 2．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件砝码中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，用画树状图（或列表）的方法，求天平恢复平衡的概率． 【答案】 【分析】本题综合了天平的背景，可知当天平左右两端的砝码重量相等时，天平平衡，于是可求得选取的两件砝码的重量之和应该为，用画树状图或列表的方法求概率即可． 【详解】解：由题意，得天平恢复平衡的概率即选取两件砝码的重量之和为的概率， 列表如下：（单位：g） 第二件砝码第一件砝码 10 20 30 40 10 20 30 40 由表可知，共有12种等可能的情况，其中两件砝码的重量之和为的情况有4种， 故天平恢复平衡的概率为 3．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500；210 (2)补全条形统计图为： (3)甲、乙同时被选中的概率为 【分析】（1）用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； （2）根据C等级人数补全条形统计图；用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：（名）， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为（名）； （2）解：图略， D等级人数所占的百分比为， 所以； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果数为2种， 所以甲、乙同时被选中的概率为． 4．为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】(1)，， 补全条形统计图如图所示： (2)名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取学生人数：（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为． 组中八年级的学生人数为（名）． 补全条形统计图略； （2）解：根据题意，八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数为：（名）． （3）解：将七年级的名同学分别记为甲、乙，八年级的名同学分别记为丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中恰好选中七、八年级各名同学的情况有种， ∴（恰好选中七、八年级各名同学）． 题型04 “有放回”试验中事件的概率 ·放回抽样：第一次选完再放回去，两次可选对象不变，允许重复。 举例：如两次掷骰子、两次摸球再放回 典｜例｜精｜析 1．2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 2．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 【答案】(1)列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． (2)（答案不唯一） 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 【详解】（1）略 （2）（2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个． 变｜式｜巩｜固 1．数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． (1)小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； (2)请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2) 这个规则对双方公平， 列表如下： 小聪小明 1 2 3 1 2 3 由列表可知，两位同学抽卡片，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次摸到的数字之和大于4（记为事件）的结果有3种，即；两次摸到的数字之和小于4（记为事件）的结果有3种，即； 小聪获胜的概率，小明获胜的概率； 两位同学获胜的概率相等， 这个规则对双方公平． 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，用列表或画树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小聪从中随机抽出一张卡片，有3种可能结果，每种结果出现的可能性都相等，其中抽到数字“3”的结果有一种，所以他抽到数字“3”的概率为； （2）略 2．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率的进一步认识 6.1 用树状图或表格求概率 知识点一 概率的相关概念 ·概率：事件A发生的概率记为 ，等可能试验中的P(A)= ·等可能结果：如果一个试验所有可能出现的结果，发生机会都一样，就叫“等可能结果”。只有在这个前提下，才能直接用计数算概率；如果各结果可能性不等，这个方法失效。 即学即练 1．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 3．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（     ） A． B． C． D． 知识点二 画树状图表示某一事件发生的概率 适用场景 两步、三步甚至更多步试验，通用性更强。 结构顺序 一级分支→二级分支→三级分支→...... 一级分支 第一次所有可能 二级分支 在每一个第一次结果下面，画出第二次所有可能 ... “末端（叶子）”就是全部完整结果。 ·易错提示：每一个分支必须对应该情境下真实可选结果；不放回时，下一级分支要剔除已经取走的选项，不能盲目照搬。 即学即练 1．校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为 ； (2)若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 2．一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球． (1)若盒中有个红球和个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明； (2)若先从盒中摸出个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了次．统计结果如下表： 球的颜色 无记号 有记号 红色 白色 红色 白色 摸到的次数 由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几； (3)在（2）的条件下，估算盒中红球的个数． 知识点三 列表格表示某一事件发生的概率 ·优点：直观，能看清先后顺序，不容易漏掉步骤 适用场景 一般适合两步试验，两个因素（第一阶段、第二阶段） 做法 一行代表第一阶段，一列代表第二阶段，单元格写组合结果。 列表格与树状图两种方法比较 树状图法 列表格 直观，能看清先后顺序， 不容易漏掉步骤 优点：整齐，不容易漏； 局限：超过两步，表格会很复杂，一般改用树状图。 ·易错提示：写清“有序”还是“无序”。很多学生错把“先甲后乙”和“先乙后甲”当成同一种，直接少算结果，概率就错。 即学即练 1．小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 2．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 题型01 列举法求某一事件的概率 ·一般步骤： 第一步：判断试验类型：确定是放回还是不放回，是否等可能。 第二步：枚举全部结果，标清每一种组合。 第三步： 数总数，统计所有等可能结果一共多少种。 第四步：数目标事件：挑出满足题目条件的结果，计数。 第五步： 代入公式求概率，化简分数。 ·“至少一个”类问题：可以直接数满足的，也可以用“对立事件（反面）”简化计算。 ①“有序、无序”混淆，重复合并或者重复漏掉； ②“数错总结果数”，分母错，整题概率错 典｜例｜精｜析 1．在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 2．现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．在“阳光大课间”活动中，南湖中学设计了“篮球、足球、排球”三种球类送动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（    ） A． B． C． D． 2．有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 题型02 计算概率判断游戏的公平性 ·一般思路： （1）解读游戏规则（难点）： 先判断是否为等可能事件，再计算两种事件发生的概率（列表适合两步，树状图适合多步）； （2）比较概率大小，只有两种事件发生的概率相同，游戏规则才公平。 ①“不等可能试验”还用这个方法算概率（基础前提错）； ②“有序、无序”混淆，重复合并或者重复漏掉； ③树状图法：“只画分支，但不把全部末端结果写出来”，漏检； ④审题失误：不理解游戏规则 典｜例｜精｜析 1．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 2．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 变｜式｜巩｜固 1．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 3．一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 4．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 题型03 “不放回”试验中事件的概率 ·适用情况：题干出现“先后发生（连续抽取不返还）”、“同时抽取两件”、“不放回” ·不放回抽样：取出不再放回，第二次候选变少，不会出现“同一个再选一次”，总数递减。 ①“不放回”当成“放回”，多算了不可能出现的组合； ②“有序、无序”混淆，重复合并或者重复漏掉； ③“数错总结果数”，分母错，整题概率错； 典｜例｜精｜析 1．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 2．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 3．为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 变｜式｜巩｜固 1．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 2．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件砝码中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，用画树状图（或列表）的方法，求天平恢复平衡的概率． 3．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 4．为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 题型04 “有放回”试验中事件的概率 ·放回抽样：第一次选完再放回去，两次可选对象不变，允许重复。 举例：如两次掷骰子、两次摸球再放回 典｜例｜精｜析 1．2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 2．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 变｜式｜巩｜固 1．数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． (1)小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； (2)请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 2．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $