微课(4) 角平分线的常见模型（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

微课(四)　角平分线的常见模型

题型一　角平分线＋边的垂线双垂直

过角平分线上一点P向角两边作垂线，这两条垂线段相等，两个垂足到角顶点的距离相等．

如图，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA.

辅助线作法：作PE⊥OB.

结论：PD＝PE.

原理：角平分线上的点到角两边的距离相等．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则CD的长为1.

1．[感知]如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.

[探究]如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC.

[应用]如图3，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝______.(用含a的代数式表示)

[探究]证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

∵AD平分∠BAC，

DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，

∠F＝∠DEB＝90°.

∵∠EBD＋∠ACD＝180°，

∠ACD＋∠FCD＝180°，

∴∠EBD＝∠FCD.

在△DFC和△DEB中，Error!

∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC.

[应用] a

题型二　角平分线＋平行线等腰三角形

过角平分线上一点P作平行线，构造等腰三角形．

已知OC平分∠AOB.

情况1：如图1，点P在角平分线OC上．

辅助线作法：作PD∥OB.

结论：△ODP是等腰三角形．

情况2：如图2，点P在角的一边上．

辅助线作法：作PD∥OC.

结论：△ODP是等腰三角形．

注：若已知△ODP是等腰三角形，可证DP∥OC.

如图，在△ABC中，AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB.若CE＝3，则DE的长是2.

2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为9.

题型三　角平分线＋角平分线的垂线等腰三角形

过角平分线上一点P作垂线，构造等腰三角形．

如图，点P在∠AOB的平分线上，DP⊥OP.

辅助线作法：延长DP交OB于点E.

结论：△ODE是等腰三角形．

如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，F为AB的中点，则EF的长等于－1.