第23讲 与圆有关的位置关（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第23讲　与圆有关的位置关系

　点、直线与圆的位置关系

1．(人教九上教材P101T1)⊙O的半径为10 cm，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系：

(1)8 cm；　　　(2)10 cm；　　　(3)12 cm.

解：(1)在圆内　(2)在圆上　(3)在圆外

2．(人教九上教材P101T2)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：

(1)r＝2 cm；　(2)r＝2.4 cm；　(3)r＝3 cm.

解：(1)相离　(2)相切　(3)相交

1．点与圆的位置关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)

(1)点在圆内⇔d<r.

(2)点在圆上⇔d＝r.

(3)点在圆外⇔d>r.

2．直线与圆的位置关系(设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d)

(1)相离：无公共点，d>r.

(2)相切：一个公共点，d＝r.

(3)相交：两个公共点，d＜r.

　切线的性质及判定

3．(人教九上教材P102T12)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.

证明：连接OC，则OC⊥DC，又∵AD⊥CD，

∴∠DAC＝90°－∠DCA＝∠ACO.

∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，∴AC平分∠DAB.

1．判定

(1)如果一条直线与圆有且只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；

(2)圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；

(3)经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．

2．性质

(1)切线和圆有且只有一个公共点；

(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于过切点的半径；过圆心且垂直于切线的直线必过切点，过切点且垂直于切线的直线必过圆心．

3．切线长及切线长定理

(1)切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长；

(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

　三角形与圆

4．(人教九上教材P103T14)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求△ABC的内切圆半径r.

解：连接OA，OB，OC，利用三角形面积公式可得＝＋＋，得r＝.

1．确定圆的条件：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆，其圆心在这两点连线的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

2．外接圆

(1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形；

(2)三角形三条边的垂直平分线的交点是它的外心；

(3)三角形的外心到三个顶点的距离相等．

[提示]锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．

3．内切圆

(1)与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；

(2)三角形的三条角平分线的交点是它的内心；

(3)三角形的内心到三条边的距离相等．

4．常用结论

(1)在图1中，∠BOC＝2∠A；

(2)在图2中，∠BOC＝90°＋∠A；

(3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的求法：如图3，Rt△ABC的外接