第22讲 圆的有关概念和性质（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第六单元　圆

第22讲　圆的有关概念和性质

　圆的有关概念

1．(人教九上教材P81T3)△ABC中，∠C＝90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上．

提示：连接点C与边AB的中点D，证明CD＝AD＝BD即可．

1．定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读做“圆O”．

2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

3．直径：经过圆心的弦叫做直径；直径是圆中最长的弦．

4．弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．弧有优弧、半圆、劣弧之分，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

5．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

6．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．

　圆的基本性质

2．(人教九上教材P90T10)⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm.求AB和CD之间的距离．

解：分两种情况讨论：

①当弦AB，CD位于圆心O的异侧时，如图1，过圆心O作EF⊥AB，垂足为E，交CD于点F，连接OA，OC.∵AB∥CD，∴EF⊥CD，

∴AE＝AB＝12 cm，CF＝CD＝5 cm.

在Rt△OAE中，OE＝＝5 cm，

在Rt△OCF中，OF＝＝12 cm，

∴EF＝OF＋OE＝12＋5＝17(cm)．

　

②当弦AB，CD位于圆心O的同侧时，如图2，作OE⊥AB，垂足为点E，交CD于点F，连接OA，OC.同理可得OE＝5 cm，OF＝12 cm，

∴EF＝OF－OE＝12－5＝7(cm)．

综上，AB和CD之间的距离为7 cm或17 cm.

1．对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．

2．垂径定理

3.圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，即“等对等”．

　圆周角定理

3．(人教九上教材P90T14)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论．

解：△ABC是等边三角形．证明如下：

∵＝，∴∠APC＝∠ABC＝60°，

∵＝，∴∠CPB＝∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

1．定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2．定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

3．推论

(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等；

(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

4．圆内接四边形

(1)所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形．

(2)圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．

考点1　垂径定理及其应用