第21讲 特殊的平行四边形（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

 

第21讲　特殊的平行四边形

　矩形

1．(人教八下教材P55T2)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝4，求▱ABCD的面积．

解：∵▱ABCD 的对角线相交于点O，△OAB 是等边三角形，

∴OA＝OC，OB＝OD，OA＝OB＝AB＝4.

∴AC＝BD.∴▱ABCD 是矩形．∴∠BAD＝90°.

又BD＝2OB＝8，AB＝4，

∴AD＝＝4.

∴▱ABCD的面积为AB·AD＝16.

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2．性质

(1)矩形具有平行四边形所有的性质；

(2)矩形的四个角都是直角；

(3)矩形的对角线相等且互相平分；

(4)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，矩形也是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点．

3．判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

(3)对角线相等的平行四边形是矩形．

4．面积公式：S＝ab(a，b分别为矩形的长和宽)．

5．周长公式：C＝2(a＋b)(a，b分别为矩形的长和宽)．

　菱形

2．(人教八下教材P60T6)如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，

∠DAC＝∠BCA，

∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，

∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，

∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，

∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．性质

(1)菱形具有平行四边形所有的性质；

(2)菱形的四边长相等；

(3)菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

(4)菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．

3．判定

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

(2)四条边相等的四边形是菱形；

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

4．面积公式：S＝mn(m，n分别表示两条对角线长)，S＝ah(a是菱形的边长，h是菱形的高)．

5．周长公式：C＝4a(a是菱形的边长)．

　正方形

3．(人教八下教材P62T13)如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN.试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论．

解：四边形EFMN是正方形．证明如下：

在正方形ABCD中，

∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE，

∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF，

∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN，

∴四边形EFMN是菱形．

∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°，

∴∠ENA＋∠DNM＝90°，∴∠ENM＝90°.

∴四边形EFMN是正方形．