1.1 锐角三角函数（讲义）数学新教材浙教版九年级下册

第1章 解直角三角函数 1.1 锐角三角函数 课标要点 1.在直角三角形情境中，探索并认识正弦、余弦、正切的定义，知道锐角三角函数本质是锐角与两边比值之间的对应关系。 2.能辨析正弦、余弦、正切的概念，分清直角三角形中一个锐角的对边、邻边、斜边。 3.能够根据定义，在直角三角形中求出锐角的正弦、余弦、正切值；也能已知三角函数值，求出直角三角形的边长。 4.借助相似三角形理解：锐角固定，对应边的比值不变，发展几何直观与推理意识，为后续解直角三角形奠基 学习重难点 重点： 1.正弦、余弦、正切的定义，概念辨析，准确区分对边、邻边、斜边。 2. 根据定义，在直角三角形中求锐角的正弦、余弦、正切值。 3.已知锐角三角函数值，结合勾股定理求直角三角形边长。 难点： 1.理解三角函数是 “角定，比值就定”，不只是随便两条边的比。 2. 在图形变化、需要先用勾股定理求未知边的题目里，正确选用对应的三角函数。 3. 区分正弦（对边 / 斜边）、余弦（邻边 / 斜边）、正切（对边 / 邻边），防止公式记混。 知识点 正弦、余弦、正切的概念辨析 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A 为锐角。把 ∠A 的对边记作 a（即 BC），邻边记作 b（即 AC），斜边记作 c（即 AB）。 名称 定义 记号 记忆要点 正弦 ∠A 的对边与斜边的比 对边比斜边 余弦 ∠A 的邻边与斜边的比 邻边比斜边 正切 ∠A 的对边与邻边的比 对边比邻边 特别提醒 1.“对边”“邻边”是相对于某个锐角而言的。 同一个三角形中，∠A 的对边是 ∠B 的邻边，∠A 的邻边是 ∠B 的对边。因此写 与写 时，分子分母的位置完全不同，不能混用。 2.斜边永远是对应直角的边。 无论求哪个锐角的三角函数值，斜边都是同一条边（AB），只有对边与邻边随角变化。 3.三角函数值是一个比值，不带单位。 它只与角的大小有关，与三角形的大小无关——两个直角三角形只要有一个锐角相等，该锐角的同名三角函数值就相等。 4.sin A、cos A、tan A 是一个整体记号，表示“∠A 的正弦”等，不能理解为 与 相乘，也不能写成 。 5.取值范围：因为直角三角形的斜边大于任一条直角边，所以 ，；而正切可以为任意正数，即 。 6.书写规范：角用大写字母表示时， 中的 A 一般不写度数符号；若用希腊字母表示角，写作 。当角用三个字母表示时，必须写清中间的顶点字母，如 。 随学随练 1．在中，已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点 求三角函数值 求一个锐角的三角函数值，本质是找边、算比。 基本步骤为：① 确认所在的直角三角形，明确直角；② 确定所求角，分清它的对边、邻边、斜边；③ 若已知两边可直接求比，若只知一边则先用勾股定理求出所需边；④ 代入定义式，结果化为最简形式。 特别提醒 1. 判断四条线段是否成比例，可先将四条线段按长度大小排序，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等；2. 若，则b叫做a、c的比例中项，此时满足b2=ac。 随学随练 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知中，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 3．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．在中，，若，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 知识点 已知三角函数值求边长 已知某锐角的三角函数值求边长，通常有两种思路：一是设参数法，把比值设为含 的式子，再用勾股定理或已知边长确定 ；二是直接列比例式，把三角函数值看作两边的比，与已知边对应求解。 已知条件 求解思路 注意点 已知 与斜边 由 求对边 对边与斜边不可互换 已知 与对边 由 求斜边 结果需化简 已知 与斜边 由 求邻边 邻边是 ∠A 的邻边 已知 与邻边 由 求对边 正切不含斜边 已知两边之比 设参数 ，结合勾股定理求各边 注意 特别提醒 1.先判断已知边在定义式中处于分子还是分母。 若已知的是分母位置的边，需要用除法（或列比例式）求另一条边，不能直接相乘。 2.设参数时不要漏掉 的条件，且求出 后要把各边长度代回检验是否满足勾股定理。 3.同一道题中可能出现两个不同的锐角，求边长时要看准是哪个角的三角函数值，避免把对边邻边用反。 4.结果要符合实际：边长必须为正数，若解出负数或与图形矛盾，说明设元或列式有误。 5.书写要完整：先写“在 Rt△ABC 中，∠C = 90°”，再写所用定义式，最后代入求值，过程清晰可查。 随学随练 1．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 4．在中，，，，则的长为（） A．2 B．3 C．6 D．12 拓展边角互化的模型转化规律 深度归纳： 本课时包含一对互逆的核心模型：由边长求三角函数（形→数）、已知三角函数值求边长（数→形），二者构成边角双向转化，是解直角三角形思想的起点。 ① 由形到数：给边长，求三角函数值 先定位目标锐角，在直角三角形中分清它的对边、邻边、斜边；若缺少边长，依靠勾股定理补全线段；最后按照正弦、余弦、正切的定义，算出对应边的比值。重点在于剥离图形，从几何线段中提取数值比例。即使图形藏在网格、斜三角形里，只要构造直角三角形，提取出的比值保持不变。 ② 由数到形：给三角函数比值，求边长 三角函数本身只代表边的倍数关系，不是边长。常规手段是设比例参数 (k)，把比值转化为带参数的线段，再依靠勾股定理建立方程求出参数，回代得到各边实际长度。这个思路的本质，就是把抽象的比例，还原成可以计算的几何图形。 ③ 双向转化通用流程 锁定目标角 → 构造/找到直角三角形 → 补齐缺失边长（勾股定理）→ “边长 ⇌ 比值”互换。 ④ 素养价值 这个转化体现几何直观与数形结合：三角函数充当桥梁，打通几何图形与代数计算。后续所有解直角三角形问题，本质都是不断重复这套“边、角、比值”之间的互化。 活学活用 1．如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若，，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 题型正弦概念辨析题 解题贴士 紧扣正弦定义，牢记正弦是锐角对边与斜边的比值，它只是一个无单位的比值，不能当作边长；判断时一定要确认前提为直角三角形，区分好对边、斜边，避免和余弦、正切的定义混淆。 ▌例1在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 ▌例2在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 ▌对点练1-1如图，已知，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 题型 求锐角的正弦值 解题贴士 先找到目标锐角所在的直角三角形，找准该角的对边与斜边；边长不全时先用勾股定理求出缺失边，再代入定义计算；若没有现成直角三角形，则需要作垂线构造直角三角形再求值。 ▌例1如图，在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在中，，，，则的值是______． ▌对点练1-2在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，P是一边上的点，点P的坐标为，则__________． 题型 已知正弦值求边长 解题贴士 依据正弦的比例关系设参数，表示出对边和斜边，再借助勾股定理建立方程求出参数，最后回代得到各边长度；注意三角函数的值只是倍数关系，不能直接当成线段长。 ▌例1在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 ▌对点练1-1在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，中，，，则的长为_____． ▌对点练1-3如图，在中，，，，则________． 题型 余弦概念辨析题 解题贴士 余弦是锐角邻边与斜边的比值，邻边是相对目标锐角而言的，更换角，邻边、对边就会改变；斜边永远是直角所对的最长边，做题时留意定义的适用条件，排除非直角三角形的干扰。 ▌例1在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值（  ） A．都没有变化 B．都扩大两倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化 ▌对点练1-1在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 ▌对点练1-2如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 题型 求锐角的余弦值 解题贴士 定位目标角，准确识别它的邻边与斜边；缺少边长就用勾股定理补齐，严格按照邻边比斜边列式；如果图形比较隐蔽，要先构造直角三角形，再提取对应线段计算比值。 ▌例1如图．在中．．．．则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为______． ▌对点练1-3在中，，，那么___________． 题型 已知余弦值求边长 解题贴士 利用余弦的比例设参数表示邻边与斜边，结合勾股定理列方程求解参数；求出参数后代入，算出所需边长，时刻分清邻边、斜边，防止比例写反。 ▌例1如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为________ ▌对点练1-3如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是______海里．（用含三角函数的式子表示） 题型 正切概念辨析题 解题贴士 正切为锐角对边与邻边的比值，是三个三角函数里唯一不涉及斜边的；牢记比值顺序，同时明确它只在直角三角形内生效，抓住这个特点区分开正弦和余弦。 ▌例1在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 ▌对点练1-1如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于(　　) A． B． C． D． 题型 求锐角的正切值 解题贴士 在直角三角形中找到目标角的对边和邻边，没有给出全部边长就用勾股先算出直角边；正切不需要斜边，不要错误带入斜边参与运算，保证前后两条直角边对应正确。 ▌例1如图，在直角中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度，则______． ▌对点练1-3如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 题型 已知正切值求边长 解题贴士 根据正切的比例关系设参数表示对边、邻边，再用勾股定理建立方程算出参数，进而求出各边；注意比值只是边之间的倍数，不可直接作为线段的实际长度。 ▌例1如图，在中，，若，，则等于（     ） A．10 B．3 C．5 D．6 ▌对点练1-1如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2在中，，，，则的长为________． ▌对点练1-3如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为_____． 题型 网格中求锐角三角函数值 解题贴士 利用网格自带直角，先用勾股定理算出相关线段的长度，锁定目标角对应的对边、邻边、斜边；把网格里的线段转化到直角三角形中，再按照三角函数定义求比值。 ▌例1如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（     ） A．2 B． C． D． ▌对点练1-2如图，、、均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为_______． ▌对点练1-3如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 基础通关 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．在中，若，，，，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，若的三边长，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．在中，，，，则的值为_______． 10．在中，，若，则________． 11．如图，是的边上一点，且点的坐标为，则___________． 12．在中，，，，则等于__________． 13．在中，，则______，______． 14．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 15．在中，，则的值为____________． 素养提升 1．如图，中，是斜边上的高，则下列各式不能表示的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若规定：锐角，满足，则称锐角，互为六分平角．在中，，互为六分平角，且，如图，则⁠___________． 6．如图，在中，，是边上的中线，若，，则__________． 7．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是__________________． 8．如图，在中，，，，则的值为_______． 9．如图，在中，，为边的中点，，垂足为，若，，则： (1)求的长； (2)求的长． 10．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 迁移创新 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，定义每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C，D，E，F均在格点上． 【基本感知】 （1）观察网格，填空． ______；______； 【操作探究】 （2）通过平移、旋转，使得的顶点A与顶点D重合，边与重合，边在的左侧，得到．请在图中画出，并用量角器测量______°； （3）观察所画的图形，点B也在格点上，连接，则是______三角形． 2．如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 解直角三角函数 1.1 锐角三角函数 课标要点 1.在直角三角形情境中，探索并认识正弦、余弦、正切的定义，知道锐角三角函数本质是锐角与两边比值之间的对应关系。 2.能辨析正弦、余弦、正切的概念，分清直角三角形中一个锐角的对边、邻边、斜边。 3.能够根据定义，在直角三角形中求出锐角的正弦、余弦、正切值；也能已知三角函数值，求出直角三角形的边长。 4.借助相似三角形理解：锐角固定，对应边的比值不变，发展几何直观与推理意识，为后续解直角三角形奠基 学习重难点 重点： 1.正弦、余弦、正切的定义，概念辨析，准确区分对边、邻边、斜边。 2. 根据定义，在直角三角形中求锐角的正弦、余弦、正切值。 3.已知锐角三角函数值，结合勾股定理求直角三角形边长。 难点： 1.理解三角函数是 “角定，比值就定”，不只是随便两条边的比。 2. 在图形变化、需要先用勾股定理求未知边的题目里，正确选用对应的三角函数。 3. 区分正弦（对边 / 斜边）、余弦（邻边 / 斜边）、正切（对边 / 邻边），防止公式记混。 知识点 正弦、余弦、正切的概念辨析 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A 为锐角。把 ∠A 的对边记作 a（即 BC），邻边记作 b（即 AC），斜边记作 c（即 AB）。 名称 定义 记号 记忆要点 正弦 ∠A 的对边与斜边的比 对边比斜边 余弦 ∠A 的邻边与斜边的比 邻边比斜边 正切 ∠A 的对边与邻边的比 对边比邻边 特别提醒 1.“对边”“邻边”是相对于某个锐角而言的。 同一个三角形中，∠A 的对边是 ∠B 的邻边，∠A 的邻边是 ∠B 的对边。因此写 与写 时，分子分母的位置完全不同，不能混用。 2.斜边永远是对应直角的边。 无论求哪个锐角的三角函数值，斜边都是同一条边（AB），只有对边与邻边随角变化。 3.三角函数值是一个比值，不带单位。 它只与角的大小有关，与三角形的大小无关——两个直角三角形只要有一个锐角相等，该锐角的同名三角函数值就相等。 4.sin A、cos A、tan A 是一个整体记号，表示“∠A 的正弦”等，不能理解为 与 相乘，也不能写成 。 5.取值范围：因为直角三角形的斜边大于任一条直角边，所以 ，；而正切可以为任意正数，即 。 6.书写规范：角用大写字母表示时， 中的 A 一般不写度数符号；若用希腊字母表示角，写作 。当角用三个字母表示时，必须写清中间的顶点字母，如 。 随学随练 1．在中，已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，如图： 由图可得，的对边为，邻边为，斜边为， ∴，，． 2．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 知识点 求三角函数值 求一个锐角的三角函数值，本质是找边、算比。 基本步骤为：① 确认所在的直角三角形，明确直角；② 确定所求角，分清它的对边、邻边、斜边；③ 若已知两边可直接求比，若只知一边则先用勾股定理求出所需边；④ 代入定义式，结果化为最简形式。 特别提醒 1. 判断四条线段是否成比例，可先将四条线段按长度大小排序，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等；2. 若，则b叫做a、c的比例中项，此时满足b2=ac。 随学随练 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，然后由正弦函数值定义代入具体值计算即可． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 则． 2．已知中，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 3．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 4．在中，，若，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在中，，， ∴． 知识点 已知三角函数值求边长 已知某锐角的三角函数值求边长，通常有两种思路：一是设参数法，把比值设为含 的式子，再用勾股定理或已知边长确定 ；二是直接列比例式，把三角函数值看作两边的比，与已知边对应求解。 已知条件 求解思路 注意点 已知 与斜边 由 求对边 对边与斜边不可互换 已知 与对边 由 求斜边 结果需化简 已知 与斜边 由 求邻边 邻边是 ∠A 的邻边 已知 与邻边 由 求对边 正切不含斜边 已知两边之比 设参数 ，结合勾股定理求各边 注意 特别提醒 1.先判断已知边在定义式中处于分子还是分母。 若已知的是分母位置的边，需要用除法（或列比例式）求另一条边，不能直接相乘。 2.设参数时不要漏掉 的条件，且求出 后要把各边长度代回检验是否满足勾股定理。 3.同一道题中可能出现两个不同的锐角，求边长时要看准是哪个角的三角函数值，避免把对边邻边用反。 4.结果要符合实际：边长必须为正数，若解出负数或与图形矛盾，说明设元或列式有误。 5.书写要完整：先写“在 Rt△ABC 中，∠C = 90°”，再写所用定义式，最后代入求值，过程清晰可查。 随学随练 1．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 2．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 4．在中，，，，则的长为（） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 拓展边角互化的模型转化规律 深度归纳： 本课时包含一对互逆的核心模型：由边长求三角函数（形→数）、已知三角函数值求边长（数→形），二者构成边角双向转化，是解直角三角形思想的起点。 ① 由形到数：给边长，求三角函数值 先定位目标锐角，在直角三角形中分清它的对边、邻边、斜边；若缺少边长，依靠勾股定理补全线段；最后按照正弦、余弦、正切的定义，算出对应边的比值。重点在于剥离图形，从几何线段中提取数值比例。即使图形藏在网格、斜三角形里，只要构造直角三角形，提取出的比值保持不变。 ② 由数到形：给三角函数比值，求边长 三角函数本身只代表边的倍数关系，不是边长。常规手段是设比例参数 (k)，把比值转化为带参数的线段，再依靠勾股定理建立方程求出参数，回代得到各边实际长度。这个思路的本质，就是把抽象的比例，还原成可以计算的几何图形。 ③ 双向转化通用流程 锁定目标角 → 构造/找到直角三角形 → 补齐缺失边长（勾股定理）→ “边长 ⇌ 比值”互换。 ④ 素养价值 这个转化体现几何直观与数形结合：三角函数充当桥梁，打通几何图形与代数计算。后续所有解直角三角形问题，本质都是不断重复这套“边、角、比值”之间的互化。 活学活用 1．如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． 2．如图，在中，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，若，，， ∴， ∴ 3．如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 题型正弦概念辨析题 解题贴士 紧扣正弦定义，牢记正弦是锐角对边与斜边的比值，它只是一个无单位的比值，不能当作边长；判断时一定要确认前提为直角三角形，区分好对边、斜边，避免和余弦、正切的定义混淆。 ▌例1在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． ▌例2在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，，锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比值， ∵的三边都缩小到原来的， ∴的对边与斜边的比值不变， ∴的值不变． 故选：C． ▌对点练1-1如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． ▌对点练1-2如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 【答案】 【详解】利用正弦的定义求解即可． 解：如图，过点作，垂足为，则为栏杆A端升高的高度， 米， 米， ， 米． 题型 求锐角的正弦值 解题贴士 先找到目标锐角所在的直角三角形，找准该角的对边与斜边；边长不全时先用勾股定理求出缺失边，再代入定义计算；若没有现成直角三角形，则需要作垂线构造直角三角形再求值。 ▌例1如图，在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在 中，，，， ∴. ▌对点练1-1在中，，，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据锐角正弦的定义计算，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ▌对点练1-2在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． ▌对点练1-3如图，P是一边上的点，点P的坐标为，则__________． 【答案】 【分析】过P作轴于E，首先利用勾股定理计算出的长，然后再求出的正弦值即可． 【详解】解：过P作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型 已知正弦值求边长 解题贴士 依据正弦的比例关系设参数，表示出对边和斜边，再借助勾股定理建立方程求出参数，最后回代得到各边长度；注意三角函数的值只是倍数关系，不能直接当成线段长。 ▌例1在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A ▌对点练1-1在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键． 先明确题目中的直角三角形模型，已知角的正弦值和对边的长度，利用正弦函数的定义对边斜边来计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：． ▌对点练1-2如图，中，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，由正弦的定义可得，即得，再根据勾股定理解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌对点练1-3如图，在中，，，，则________． 【答案】9 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：9 题型 余弦概念辨析题 解题贴士 余弦是锐角邻边与斜边的比值，邻边是相对目标锐角而言的，更换角，邻边、对边就会改变；斜边永远是直角所对的最长边，做题时留意定义的适用条件，排除非直角三角形的干扰。 ▌例1在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值（  ） A．都没有变化 B．都扩大两倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化 【答案】A 【分析】根据题意作图形，分别求出两个锐角的余弦值，以及变化后的余弦值，比较即可． 【详解】如图， 由图可知：在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大两倍，那么它的两个锐角的余弦值均分别为：，， 即：两个锐角的余弦值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查余弦函数的性质，掌握好余弦函数的基本性质是解答本题的关键． ▌对点练1-1在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　） A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对 【答案】B 【详解】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA=，cosA=，tanA=，故选B． ▌对点练1-2如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． ▌对点练1-3如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 题型 求锐角的余弦值 解题贴士 定位目标角，准确识别它的邻边与斜边；缺少边长就用勾股定理补齐，严格按照邻边比斜边列式；如果图形比较隐蔽，要先构造直角三角形，再提取对应线段计算比值。 ▌例1如图．在中．．．．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出邻边长，再根据余弦定义求值． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得： ， ． ▌对点练1-1在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． ▌对点练1-2如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ▌对点练1-3在中，，，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据正弦和余弦的定义结合勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，设 ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 题型 已知余弦值求边长 解题贴士 利用余弦的比例设参数表示邻边与斜边，结合勾股定理列方程求解参数；求出参数后代入，算出所需边长，时刻分清邻边、斜边，防止比例写反。 ▌例1如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． ▌对点练1-1在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦的定义得到与的关系，设未知数后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 又，即， 解得， 则． ▌对点练1-2如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为________ 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ▌对点练1-3如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是______海里．（用含三角函数的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值． 【详解】解：在中，， ，海里， （海里）， 故答案为：． 题型 正切概念辨析题 解题贴士 正切为锐角对边与邻边的比值，是三个三角函数里唯一不涉及斜边的；牢记比值顺序，同时明确它只在直角三角形内生效，抓住这个特点区分开正弦和余弦。 ▌例1在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了正切函数的概念，根据锐角三角函数的定义，可得答案．属于简单题．理解正切函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变． 故选：C． ▌对点练1-1如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． ▌对点练1-2如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义解答即可． 【详解】解：tanA=． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA． ▌对点练1-3如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用锐角三角函数关系求出答案． 【详解】解：因为第一象限的点P的坐标是（a，b）， 所以tan∠POx= ． 故选B． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，利用锐角三角函数关系是解题关键． 题型 求锐角的正切值 解题贴士 在直角三角形中找到目标角的对边和邻边，没有给出全部边长就用勾股先算出直角边；正切不需要斜边，不要错误带入斜边参与运算，保证前后两条直角边对应正确。 ▌例1如图，在直角中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，确定的对边和邻边写出比值即可得到结果． 【详解】解：在中，． ▌对点练1-1在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴的值为． ▌对点练1-2如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度，则______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，是直角三角形，， ，， 根据正切函数的定义： ． ▌对点练1-3如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查正切函数，角度计算，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知可证明，可求，则的值可求． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型 已知正切值求边长 解题贴士 根据正切的比例关系设参数表示对边、邻边，再用勾股定理建立方程算出参数，进而求出各边；注意比值只是边之间的倍数，不可直接作为线段的实际长度。 ▌例1如图，在中，，若，，则等于（     ） A．10 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：在中，， ， ， ， ． ▌对点练1-1如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴． ▌对点练1-2在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正切的定义求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在中，， 根据正切的定义得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 则的长为． ▌对点练1-3如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点，设长为，则，根据，得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点， 设长为，则， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型 网格中求锐角三角函数值 解题贴士 利用网格自带直角，先用勾股定理算出相关线段的长度，锁定目标角对应的对边、邻边、斜边；把网格里的线段转化到直角三角形中，再按照三角函数定义求比值。 ▌例1如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作于点D，求出的面积和的长，进而求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于点D， 由题意得，， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-1如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】构造直角三角形，利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，构造， ∴． ▌对点练1-2如图，、、均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为_______． 【答案】 【分析】取格点，连接，根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格知，，，， 在中，． ▌对点练1-3如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 【答案】 【分析】如图在延长线上取格点，连接，根据网格结构，利用勾股定理分别计算出、、的长度，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， 如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 基础通关 1．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 2．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 3．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格结构确定直角三角形的直角边长，利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，， 由勾股定理得， ． 【点睛】 4．如图，在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：由题意得，， ∴． 5．在中，若，，，，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，斜边，，， ，，， 则只有选项D符合题意． 6．如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，再利用正切的定义求解即可. 【详解】解：在中，，点D、E分别是、的中点， ， ， ． 7．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理逆定理求出是直角三角形，且，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 8．如图，若的三边长，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 9．在中，，，，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】已知直角三角形两直角边的长度，依据锐角正切的定义，确定对应的对边与邻边的长度，代入计算即可． 【详解】解：在中， ∴ 将，代入上式， 得． 10．在中，，若，则________． 【答案】 【分析】根据得出，根据余弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 11．如图，是的边上一点，且点的坐标为，则___________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标可得的长，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∴． 12．在中，，，，则等于__________． 【答案】 【详解】解：，，， ， 即． 13．在中，，则______，______． 【答案】 【分析】已知直角三角形的斜边和一条直角边，先由勾股定理求出第三条直角边的长度，再根据正切的定义分别计算结果． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得， ∴，． 14．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由正切函数定义求解即可． 【详解】解：在中，，，则由勾股定理可得， ． 15．在中，，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴． 素养提升 1．如图，中，是斜边上的高，则下列各式不能表示的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质及余角的性质求出，再利用正弦的定义即可得出选项． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ， ，， ， A、在中，，不符合题意； B、在中，，不符合题意； C、在中，，不符合题意； D、在中，，符合题意． 2．在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 3．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，借助网格求出、、的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 由网格可知：，，， ， ， ， ． 4．如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴，，，． 5．若规定：锐角，满足，则称锐角，互为六分平角．在中，，互为六分平角，且，如图，则⁠___________． 【答案】 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，根据新定义得出 ，利用三角形内角和定理求出 ；结合已知边长比例和勾股定理求出与 的关系，最后利用正弦定义求解． 【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ， ， 互为六分平角， ， ． 设 () ， ， ， 在 中，，， ， ， ． 在 中，由勾股定理得 ， ． 6．如图，在中，，是边上的中线，若，，则__________． 【答案】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，利用三角形中位线定理求出的长，再根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 是边上的中线 为的中点 是的中位线 在中， ． 7．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是__________________． 【答案】2 【分析】先根据平行线的性质得到，可得到这两个角的正切相等，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，在的正方形网格中， ， ． ， ． 8．如图，在中，，，，则的值为_______． 【答案】 【分析】在直角三角形中，先根据正切的定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：，，， ， ， ． 9．如图，在中，，为边的中点，，垂足为，若，，则： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）在中，根据正切的定义求得，进而由为边的中点可求得； （2）在中，根据正切的定义可推出，进而由勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，，，，， ∴，即， ∴， ∴． 10．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 迁移创新 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，定义每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C，D，E，F均在格点上． 【基本感知】 （1）观察网格，填空． ______；______； 【操作探究】 （2）通过平移、旋转，使得的顶点A与顶点D重合，边与重合，边在的左侧，得到．请在图中画出，并用量角器测量______°； （3）观察所画的图形，点B也在格点上，连接，则是______三角形． 【答案】（1）；  （2）45  ，（3）等腰直角 【分析】本题考查了求正切，全等三角形的判定和性质． （1）根据正切的定义，即可解答； （2）根据题意作图，再测量即可； （3）令旋转后点B的对应点为，通过证明即可得出结论． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）略． （3）令旋转后点B的对应点为， 根据勾股定理可得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 2．如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【答案】题空：， 探究： 【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键． 填空：根据等腰三角形性质得到，其面积的两种表示法为，， 探究：得到，结合等腰三角形性质得到，根据，，，，，即得． 【详解】题空： ∵是等腰三角形，， ∴，， 故答案为：，； 探究： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $