第13讲 二次函数的实际应用（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

第13讲　二次函数的实际应用

　二次函数在面积问题中的应用

1．(人教九上教材P57T7)如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设平行于墙的一边长为x m，菜园面积为y m2，则垂直于墙的一边长是 m，由题意，得y＝x·＝＝－x2＋15x(0<x≤18)，∴当x＝－＝－＝15时，＝，y最大，最大值为＝＝，∴当平行于墙的一边长和垂直于墙的一边长分别为15 m， m时，菜园有最大面积，最大面积是 m2.

图形面积问题：利用几何知识用变量x表示出图形的面积y，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解．

　二次函数在销售问题中的应用

2．(人教九上教材P52T8)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？

解：设房价为(180＋10x)元，利润为y元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x间，

由题意得，y＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x2＋340x＋8 000＝－10(x－17)2＋10 890，故可得当x＝17，即房价为180＋170＝350元时，利润最大，最大利润是10 890元．

答：房价定为350元时，利润最大，最大利润是10 890元．

销售利润问题：理清变量之间的关系，找出问题中的数量关系，列出函数关系式，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解．

　实物抛物线

3．(人教九上教材P52T3)飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s＝60t－1.5t2，飞机着陆后滑行多远才能停下来？

解：s＝60t－1.5t2＝－1.5(t2－40t＋400)＋1.5×400＝－1.5(t－20)2＋600，∴当t＝20时，s取最大值，且最大值是600，即飞机着陆后滑行600 m才能停下来．

1．实物抛物线问题的求解步骤

(1)根据实际问题的条件建立适当的平面直角坐标系；

(2)指出已知点的坐标(长度转化为坐标)；

(3)设出适当的解析式；

(4)用待定系数法求出解析式；

(5)根据条件解决相应问题．

2．常见类型：隧洞，桥梁，体育运动等．

考点1　二次函数在面积问题中的应用

(2024自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m．班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是46.4m2.

(2024湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)．

(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；

(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；

(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

解：(1)y＝－2x＋80，S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x.

(2)∵y≤42，∴－2x＋80≤42，∴x≥19，

∴19≤x＜40，当S＝750时，－2x2＋80x＝750，解得x＝25或x＝15(舍去)，

∴当x＝25 m时，矩形实验田的面积S能达到750 m2.

(3)∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，

∴当x＝20时，S有最大值800.

答：当x的值是20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800 m2.