第10讲 一次函数及其应用（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

 

第10讲　一次函数及其应用

　一次函数的图象与性质

1．(人教八下教材P107T3)填空：

(1)直线y＝－x经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；

(2)直线y＝3x－2经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大.

2．(人教八下教材P93T2)在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系．

(1)y＝x－1，y＝x，y＝x＋1；

(2)y＝－2x－1，y＝－2x，y＝－2x＋1.

解：画图略．(1)中三个函数的图象互相平行；

(2)中三个函数的图象互相平行．

1．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

2．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当一次函数y＝kx＋b中的b＝0时，y＝kx(k是常数，k≠0)．这时，y叫做x的正比例函数．

3．一次函数的图象和性质

(1)正比例函数的图象特征与性质：正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线.

(2)一次函数的图象特征与性质：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线.

4.两直线y＝k1x＋b1(k1≠0)与y＝k2x＋b2(k2≠0)的位置关系

(1)当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行；

(2)当k1＝k2，b1＝b2时，两直线重合；

(3)当k1≠k2，b1＝b2时，两直线交于y轴上一点．

[拓展]当k1·k2＝－1时，两直线垂直．

　一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象的平移

3．(人教八下教材P99T10)不画图象，仅从函数解析式能否看出直线y＝3x＋4与y＝3x－4具有什么样的位置关系？

解：平行，直线y＝3x＋4向下平移8个单位长度得到直线y＝3x－4.

1．平移规律为“左加右减，上加下减”．

2．(1)直线y＝kx＋b向左平移m(m>0)个单位长度后得到直线的解析式为y＝k(x＋m)＋b；

(2)直线y＝kx＋b向右平移m(m>0)个单位长度后得到直线的解析式为y＝k(x－m)＋b；

(3)直线 y＝kx＋b向上平移m(m>0)个单位长度后得到直线的解析式为y＝kx＋b＋m；

(4)直线y＝kx＋b向下平移m(m>0)个单位长度后得到直线的解析式为y＝kx＋b－m.

　用待定系数法求一次函数的解析式

4．(人教八下教材P99T7)已知一次函数的图象经过点(－4,9)和点(6,3)，求这个函数的解析式．

解：设函数解析式为y＝kx＋b，把点(－4,9)和点(6,3)代入得Error!解得Error!

∴这个函数的解析式为y＝－x＋.

1．待定系数法的概念：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法．

2．待定系数法的一般步骤

(1)设一次函数解析式的一般形式为y＝kx＋b；

(2)找出满足一次函数解析式的两个点，将这两点的坐标代入所设的解析式中，得到关于k和b的方程(组)；

(3)解方程(组)，求出待定系数k和b的值．

(4)将求得的待定系数的值代入所设的解析式中．

3．常见类型