第7讲 一元二次方程及其应用（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲
第7讲 一元二次方程及其应用
一元二次方程及其解法
1．(人教九上教材P4习题T1节选)将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)3x2＋1＝6x； (2)4x2＋5x＝81；
(3)x(x＋5)＝0； (4)(2x－2)(x－1)＝0.
解：(1)一般形式为3x2－6x＋1＝0，其中二次项系数是3，一次项系数是－6，常数项是1.
(2)一般形式为4x2＋5x－81＝0，其中二次项系数是4，一次项系数是5，常数项是－81.
(3)一般形式为x2＋5x＝0，其中二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是0.
(4)一般形式为2x2－4x＋2＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－4，常数项是2.
2．(人教九上教材P17T3节选)用配方法解下列方程：
(1)x2＋10x＋16＝0； (2)x2－x－
＝0.
解：(1)移项得x2＋10x＝－16，配方得x2＋10x＋52＝－16＋52，即(x＋5)2＝9，开平方得x＋5＝±3，即x＋5＝3或x＋5＝－3，所以x1＝－2，x2＝－8.
(2)移项得x2－x＝，配方得x2－x＋
2＝＋2，即
2＝1，
学科网（北京）股份有限公司
开平方得x－
＝±1，即x－＝1或x－＝－1，所以x1＝
，x2＝－.
3．(人教九上教材P17T5节选)用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0； (2)x2－
x－
＝0.
解：(1)a＝1，b＝1，c＝－12，
∴b2－4ac＝12－4×1×(－12)＝49，
∴x＝
＝
＝
，
∴x1＝3，x2＝－4.
(2)a＝1，b＝－，c＝－，
∴b2－4ac＝(－)2－4×1×
＝2＋1＝3，
∴x＝＝
＝
，
∴x1＝
，x2＝
.
4．(人教九上教材P17T6节选)用因式分解法解下列方程：
(1)3x2－12x＝－12； (2)4x2－144＝0.
解：(1)方程整理为x2－4x＋4＝0，
即(x－2)2＝0，得x－2＝0，解得x＝2，
∴原方程的解为x1＝x2＝2.
(2)方程整理为x2－36＝0，即(x＋6)(x－6)＝0，得x＋6＝0或x－6＝0，解得x＝－6或x＝6，
∴原方程的解为x1＝－6，x2＝6.
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)，其中二次项系数是
学科网（北京）股份有限公司
a，一次项系数是b，常数项是c.
[注意](1)a≠0；(2)各项都包括前面的符号．
3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
4．一元二次方程的解法
解法 | 形式 | 方程的解 | 适用情况 |
直接 开平 方法 | ax2＋c＝0(a≠0，ac<0) | x1＝ x2＝－ | 方程缺少一次项时 |
(mx＋n)2＝p(m≠0， p≥0) | x1＝ x2＝ | 可化成(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)形式的方程 | |
配方法 | 可化为 (x－m)2＝ n(n≥0) | x1＝ x2＝－ | 适用于所有一元二次方程，将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，优先考虑使用配方法 |
公 式 法 | ax2＋bx＋c＝0(a≠0 且Δ＝b2－4ac≥0) | x＝
| 适用于所有的一元二次方程 |
因式 分解 法 | x(ax＋b)＝ 0(a≠0) | x1＝0，x2＝－ | 适用于化成一般形式后，方程左边可因式分解的一元二次方程 |
(ax＋b)(cx＋d)＝0 (ac≠0) | x1＝－ x2＝－ |
学科网（北京）股份有限公司