四川省江油中学2024-2025学年高三上学期（补习分部）9月月考数学试题

试卷第 1页，共 4页 ⊕⋯ѣᆜ  㓝࠼䜞ㅢжᆜᴾ㘹䈋ᮦᆜ䈋从 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知集合 ，则集合 的真子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．命题“ ， ”的否定是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．已知函数 ，则 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．函数 ， 分别由下表给出，且 ， ，则 （ ） A．0 B．2 C．4 D．8 5．已知条件 ，条件 ，且 q是 p的充分不必要条件，则 a的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 6．已知偶函数 对于任意 都有 ，且 在区间 上单调递增， 则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．设函数 ， ，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （ ） A． B． C．1 D．2 8．已知函数 ，对于任意两个不相等的实数 ，都有 不等式 成立，则实数 a取值范围为（ ） A． B． C． D． { }1 3,A x x x= - < < ÎN A Nm$ Î 2 1 Nm + Î Nm" Î 2 1 Nm + Î Nm" Ï 2 1 Nm + Ï Nm$ Î 2 1 Nm + Ï Nm" Î 2 1 Nm + Ï ( ) ( )2 2 , 0 3 4, 0 f x x f x x x x ì + £ = í - + >î f −6( ) = ( )f x ( )g x ( )( ) 16f f a = ( )( ) 2f g b = 2a b- = x a b c ( )f x c 2log ( )a b- 2a b+ ( )g x c b- b a : 2 1p x¬ - < < :q x a¬ > 1a > 1a £ 2a < - 2a £ - ( )f x RxÎ ( 2) ( )f x f x+ = ( )f x [ ]0,1 ( 6.5), ( 1), (0)f f f- - ( 1) (0) ( 6.5)f f f- < < - (0) ( 6.5) ( 1)f f f< - < - ( 1) ( 6.5) (0)f f f- < - < ( 6.5) (0) ( 1)f f f- < < - f (x) = a(x +1)2 −1 ( ) cos 2g x x ax= + ( 1,1)xÎ - ( )y f x= ( )y g x= a = 1- 1 2 f (x) = x2 + 3x − 4 ,x ≤ a ax − 22,x > a ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 1 2 Rx x Î， (x1 − x2 ) f (x1)− f (x2 )⎡⎣ ⎤⎦ < 0 ( ], 4¥- - [ ]6, 4- - [ )4,0- ( ], 6¥- - 试卷第 2页，共 4页 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。每小题给出的四个选项中，有一多 项符合题目要求。全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。 9．设 ， ， ， 为实数，且 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知 ， ， ，则（ ） A． 且 B． C． D． 11．已知函数 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 时， ，则下列说法中正确的有（ ） A．函数 的图象关于直线 对称 B．𝑓(2023) + 𝑓(2024) = 0 C． 是函数 的一个周期 D．方程𝑓(𝑥) = |ln𝑥|恰有 4个不同的根 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．幂函数的图像经过点 ，则该幂函数的定义域为 ． 13．已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 . 14．某公司生产某种仪器的固定成本为 300万元，每生产 台仪器需增加投入 万元， 且 ，每台仪器的售价为 200万元.通过市场分析，该 公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题 13分)新冠疫情发生后，某生物疫苗研究所加紫对新冠疫苗进行实验，并将某 一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床 实验，得到统计数据如右表所示： 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射 疫苗”小白鼠的概率为0.35． (1)求2 × 2列联表中的𝑝, 𝑞, 𝑥, 𝑦的值； (2)依据小概率值𝛼 = 0.001的独立性检验，分析注射此种疫苗对预防新型冠状病毒是否 有效？ 附: 𝜒! = "($%&'() ! ($*')($*()((*%)('*%) , 𝑛 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑. 𝛼 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 𝑥+ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 a b c d a > b > 0 > c > d ac < bc a − b < c − d ad > bc c a − d b > 0 0a > 0b > a b ab+ = a >1 b >1 ab ≥ 4 a + 4b ≤ 9 b a + 1 b >1 ( )f x R ( 1)f x + [0,1]xÎ 2( )f x x x= + ( )f x 1x = 8 ( )f x ( )16,4A ( )21 2 log 6y ax x= - + [ ]1,2 a x ( )C x ( ) 22 80 ,0 40, 3600201 2100, 40, x x x C x x x x ì + < £ ï= í + - >ïî 未感染病毒 感染病毒 合计 未注射疫苗 20 𝑥 𝑝 注射疫苗 30 𝑦 𝑞 合计 50 50 100 试卷第 3页，共 4页 16． (本小题15分)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求 A． （2）若 ， ，求 的周长． 17．(本小题 15分)已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于 0，求 a的取值范围． 18．(本小题 17分)已知二次函数 . (1)关于 的不等式 的解集为 . ①求实数 ， 的值； ②若对任意𝑥 ∈ 𝑅， 恒成立，求 的取值范围. (2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围. ABC! sin 3cos 2A A+ = 2a = 2bsinC = csin2B ABC! 3( ) exf x ax a= - - 1a = ( )y f x= ( )1, (1)f f (x) 2( )f x x ax c= - + x ( ) 1f x > ( , 1) (3, )-¥ - È +¥ a c 2 4 (2 )xm m f- < m 1 2, [ 1,5]x x Î - f (x1)− f (x2 ) ≤16 a 试卷第 4页，共 4页 19．(本小题 17分)在 平面上有一点列 ，对每个自然 数 ，点 均在函数 的图象上，且点 ，点 与点 构成 一个以 为顶点的等腰三角形． (1)求点 的纵坐标 的表达式； (2)若 ， ，求数列 的前 n项和 ； (3)若对每个自然数 ，以 ，𝑏"*,， 为边长能构成一个三角形，求 取值范围. xOy ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , , , , ,n n nP a b P a b P a b× × × × × × n nP y = a 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x (0 < a <10) nP ( ,0)n ( 1,0)n + nP nP nb a = 5 cn = log0.5 bn 1 cn ⋅cn+1 ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎭⎪ Sn n bn 2nb + a ⊕⋯ѣᆜ  㓝࠼䜞ㅢжᆜᴾ㘹䈋ᮦᆜ䈋从৸㘹ㆊṾ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D A C D B D B AD ABD ACD 12、 13、 14、1680 11、【详解】对于 A：令 ，则 是偶函数，即 ，即 ， 所以 关于 对称，故 A正确； 对于 C：因为 是定义在 上的奇函数，则 ， 因为 ，所以𝑓(2 + 𝑥) = 𝑓[1 − (1 + 𝑥)] = 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)， 即𝑓(𝑥 + 4) = −𝑓(𝑥 + 2) = −[−𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥)，所以 的周期 ， 显然𝑓(8 + 𝑥) = 𝑓(4 + 𝑥) = 𝑓(𝑥)，则 也是函数 的周期，故 C正确； 对于 B：因为 ， ， 所以𝑓(2023) = 𝑓(3) = 𝑓(−1) = −𝑓(1) = −2，𝑓(2024) = 𝑓(0) = 0， 所以𝑓(2023) + 𝑓(2024) = −2 ≠ 0，故 B错误； 对于 D：因为 ， ，且 关于直线 对称， 根据对称性可以作出 上的图象， 又𝑓(𝑥 + 4) = 𝑓(𝑥)=− 𝑓(−𝑥)，可知 关于点 对称，又可作出 上的图象， 又 的周期 ，作出 ， 的图象与 的图象， 又𝑓(9) = 𝑓(1) = 2，9 > e !，所以ln9 > lne ! = 2，即𝑓(9) < |ln9|， 如图所示：所以 与 有 4个交点，故 D正确， 故选：ACD． 14、【详解】由题意可得：当 时，利润为 ， 当 时， ， 故 ； 若 ， ， 由二次函数的性质可知， 在 上单调递增，在 , 上单调递减， [ )0,+¥ ( ], 2-¥ ( ) ( )1g x f x= + ( )g x ( ) ( )g x g x- = ( ) ( )1 1f x f x- = + ( )f x 1x = ( )f x R ( ) ( )f x f x- = - ( ) ( )1 1f x f x- = + ( )f x 4T = 8 ( )f x [ ]0,1xÎ ( ) 2f x x x= + [ ]0,1xÎ ( ) 2f x x x= + ( )f x 1x = [ ]1,2xÎ ( )f x ( )2,0 [ ]2,4xÎ ( )f x 4T = ( )y f x= [ )0,xÎ +¥ lny x= ( )f x lny x= 0 40x< £ 2 2( ) 200 (2 80 ) 300 2 120 300W x x x x x x= - + - = - + - 40 x< 3600 3600( ) 200 (201 2100) 300 ( ) 1800W x x x x x x = - + - - = - + + 22 120 300,0 40 ( ) 3600( ) 1800,40 x x x W x x x x ì- + - < £ ï= í - + + <ïî 0 40x< £ 2( ) 2( 30) 1500W x x= - - + ( )W x (0,30) (30 40] 所以当 时， 万元， ②若 ， 当且仅当 时，即 时， 万元． 所以该产品的年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润是 1680 万元． 15、(1)由已知条件可知， 𝑞 = 0.35 × 100 = 35， 𝑝 = 100 − 𝑞 = 65 𝑥 = 65 − 20 = 45， 𝑦 = 35 − 30 = 5． ·············8分 (2)设零假设为𝐻":注射此种疫苗对预防新型冠状病毒无效． ∵ 𝜒! = #""(!"×&'("×)&) ! &"×&"×+&×(& = !&"" ,# ≈ 27.473 > 10.828， ·············11 分 ∴依据小概率值𝛼 = 0.001的独立性检验应该否定𝐻"， 即注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效． ·············13 分 16、（1）由 可得 ， 即 ， ·············3分 由于 ，故 ，解得 ········6分 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又 ，则 ，进而 ，得到 ， ···········9分 于是 ， ，·······12 分 由正弦定理可得， ，即 ， 解得 ， 故 的周长为 ·············15 分 17、（1）当 时，则 ， ， ·············2分 可得 ， ， 即切点坐标为 ，切线斜率 ， ·············4分 所以切线方程为 ，即 .·············6分 （2）因为 的定义域为 ，且 ， 若 ，则 对任意 恒成立， 可知 在 上单调递增，无极值，不合题意； ·············8分 若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ； 可知 在 内单调递减，在 内单调递增， 30x = max( ) 1500W x = 3600 360040 , ( ) ( ) 1800 2 1800 120 1800 1680x W x x x x x < = - + + £ - × + = - + = 3600x x = 60x = max( ) 1680W x = sin 3cos 2A A+ = 1 3sin cos 1 2 2 A A+ = sin( ) 1π 3 A+ = π π 4π(0,π) ( , ) 3 3 3 A AÎ Þ + Î π π 3 2 A+ = π 6 A = 2 sin sin2 2sin sin 2sin sin cosb C c B B C C B B= Û = , (0,π)B CÎ sin sin 0B C ¹ 2cos 2 B = π 4 B = 7ππ 12 C A B= - - = 2 6sin sin(π ) sin( ) sin cos sin cos 4 C A B A B A B B A += - - = + = + = sin sin sin a b c A B C = = 2 π π 7πsin sin sin 6 4 12 b c = = 2 2, 6 2b c= = + ABC! 2 6 3 2+ + 1a = ( ) e 1xf x x= - - ( ) e 1xf x¢ = - (1) e 2f = - (1) e 1f ¢ = - ( )1,e 2- e 1k = - ( ) ( )( )e 2 e 1 1y x- - = - - ( )e 1 1 0x y- - - = ( )f x R ( ) e¢ = -xf x a 0a £ ( ) 0f x¢ ³ xÎR ( )f x R 0a > ( ) 0f x¢ > lnx a> ( ) 0f x¢ < lnx a< ( )f x ( ), ln a¥- ( )ln ,a ¥+ 则 有极小值 ，无极大值， ·············10 分 由题意可得： ，即 ， 构建 ，则 ， ·············12 分 可知 在 内单调递增，且 ， 不等式 等价于 ，解得 ， 所以 a的取值范围为 ； ·············15 分 18、（1）①不等式 ，即 ， 所以不等式 的解集为 ， 所以 与 为 的两个根， 由韦达定理可得： ， ， 所以 ， ； ·············4分 ②由①得 ， ， 又因为 ， 所以 ， 又对任意 ， 恒成立， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ； ·············9分 （2）设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ， 所以“对任意的 ，都有 等价于 ， 又 在 上单调递减，在 上单调递增， ①当 即 时， 在 上单调递增， 则 ， ， 即 ，解得 ，又 ， 即 ； ·············11 分 ②当 ，即 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 由 ，即 解得 ，又 ， 即 ； ·············13 分 ③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 由 .得 ，又 ， 即 ； ·············15 分 ( )f x ( ) 3ln lnf a a a a a= - - ( ) 3ln ln 0f a a a a a= - - < 2 ln 1 0a a+ - > ( ) 2 ln 1, 0g a a a a= + - > ( ) 12 0g a a a +¢ = > ( )g a ( )0, ¥+ ( )1 0g = 2 ln 1 0a a+ - > ( ) ( )1g a g> 1a > ( )1, ¥+ ( ) 1f x > x2 − ax + c −1> 0 ( ) 1f x > ( , 1) (3, )-¥ - È +¥ = 1x - 3x = 2 1 0x ax c- + - = 3 1 2a = - = 1 3c - = - 2a = 2c = - ( ) 2 2 2f x x x= - - 2 2(2 ) (2 ) 2 2 2 (2 1) 3x x x xf\ = - ´ - = - - 2 0x > ( )2 [ 3, )xf ¥Î - + RxÎ 2 4 (2 )xm m f- < 2 4 3m m- < - 2 4 3 0m m- + < 1 3m< < m (1,3) ( )f x [ 1,5]- M m 1 2, [ 1,5]x x Î - f (x1)− f (x2 ) ≤16 M −m ≤16 2 2( ) ( ) 2 4 a af x x c= - + - ( , )2 a -¥ ( , ) 2 a +¥ 1 2 a £ - 2a £ - ( )f x [ 1,5]- ( )5 25 5M f a c= = - + ( 1) 1m f a c= - = + + M −m = 24− 6a ≤16 a ≥ 4 3 2a £ - aÎ Æ 1 2 2 a - < < 2 4a- < < ( )f x 1, 2 aé ù-ê úë û ,5 2 aæ ù ç úè û (5) 25 5M f a c= = - + 2 ( ) 2 4 a am f c= = - M −m = 25−5a + c − (c − a 2 4 ) ≤16 a2 − 20a + 36 ≤ 0 2 ≤ a ≤18 2 4a- < < 2 ≤ a < 4 2 5 2 a £ £ 4 10a£ £ ( )f x 1, 2 aé ù-ê úë û ,5 2 aæ ù ç úè û ( 1) 1M f a c= - = + + 2 ( ) 2 4 a am f c= = - M −m = 1+ a + c − (c − a 2 4 ) = 1+ a + a 2 4 ≤16 −10 ≤ a ≤ 6 4 10a£ £ 4 ≤ a ≤ 6 ④当 ，即 时， 在 上单调递减， ， ， 由 ，得 ，又 ， 即 ， 综上所述， 的取值范围为 . ·············17 分 19、（1）由于三角形为等腰三角形， 所以点 在两点 与 连线的中垂线上， 从而 ， ·············2分 又因为点 在函数 的图象上， 所以 ； ·············4分 （2） ，则 ∴ ·············6分 ∴ ·······8分 所以 ············10 分 （3） ，所以 ，所以函数 在定义域上单调递减， 对每一个自然数 有 ， ··········12 分 又因为以 ，𝑏-.#， 为边长能构成一个三角形，所以 ，··········14 分 从而 ，即 ，解得 或 ， ， ； ············17 分 5 2 a > 10a > ( )f x [ 1,5]- ( 1) 1M f a c= - = + + (5) 25 5m f a c= = - + M −m = 1+ a + c − (25−5a + c) = 6a − 24 ≤16 a ≤ 20 3 10a > a∈∅ a [2,6] ( , )n n nP a b ( ,0)n ( 1,0)n + 1 2n a n= + ( , )n n nP a b y = ( a 10 )x (0 < a <10) bn = a 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n+1 2 a = 5 bn = 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n+1 2 cn = log0.5 bn = log0.5 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n+1 2 = n+ 1 2 1 cn ⋅cn+1 = 1 n+ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅ n+ 3 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 4 (2n+1) ⋅(2n+ 3) = 2 1 2n+1 − 1 2n+ 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Sn = c1 + c2 +!+ cn = 2 1 3 − 1 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 1 5 − 1 7 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +!+ 2 1 2n+1 − 1 2n+ 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 1 3 − 1 2n+ 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 4n 6n+ 9 ! 0 10a< < 0 1 10 a < < y = ( a 10 )x (0 < a <10) \ n 1 2n n nb b b+ +> > nb 2nb + 2 1n n nbb b+ ++ > a 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n+2+1 2 + a 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n+1+1 2 > a 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n+1 2 2 1 10 10 a aæ ö + >ç ÷ è ø ( )5 5 1a > - ( )5 5 5a < - + 0 10a< <! ( )5 5 1 10a\ - < <