第1部分 第3单元 第12讲 二次函数的图象和性质（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

数与代数 第一部分 第三单元　函数 第12讲　二次函数的图象和性质 返回目录 指点中考　数学 基础知识梳理 考点素养精讲 分层特训　第12讲 基础知识梳理 知识点1　二次函数的定义及解析式 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 y＝ax2＋bx＋c y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点2　二次函数的图象和性质 －1 －1 返回目录 指点中考　数学 a>0 a<0 向上 向下 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 减小 增大 增大 减小 返回目录 指点中考　数学 小 大 大 小 返回目录 指点中考　数学 向上 向上 左侧 右侧 y 正半轴上 负半轴上 原点 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点3　二次函数与方程(组)、不等式的关系 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 上方 下方 返回目录 指点中考　数学 考点1　二次函数的图象和性质 考点素养精讲 D 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 > 返回目录 指点中考　数学 考点2　二次函数图象的平移 (1,2) ＜ 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 考点3　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与字母系数的 关系 C 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 C 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 考点4　用待定系数法求二次函数的解析式 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　第12讲 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 1．(人教九上教材P41T6)先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： (1)y＝－3x2＋12x－3； (2)y＝4x2－24x＋26； (3)y＝2x2＋8x－6； (4)y＝x2－2x－1. 解：(描点画图略)． (1)抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴是x＝2，顶点是(2,9)． (2)抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴是x＝3，顶点是(3，－10)． (3)抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴是x＝－2，顶点是(－2，－14)． (4)抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴是x＝2，顶点是(2，－3)． 2．(人教九上教材P47T4)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1,0)，(3,0)，求这条抛物线的对称轴． 解：＝1，∴这条抛物线的对称轴是x＝1. 1．二次函数的概念：一般地，形如_______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 2．二次函数的解析式 (1)一般式：_______________(a≠0)； (2)顶点式：______________(a≠0)，其中抛物线的顶点坐标为(h，k)； (3)交点式：__________________(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 3．用待定系数法求二次函数解析式的常见形式 已知条件 设解析式 对称轴 求解 图象上的三点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c x＝－ 代入对应条件所给的点坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 顶点＋另一点坐标 顶点式：y＝a(x－h)2＋k x＝h 已知条件 设解析式 对称轴 求解 与x轴的两个交点＋另一点坐标(不在x轴上) 交点式：y＝a(x－x1)·(x－x2) x＝ 代入对应条件所给的点坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 顶点是原点＋另一点坐标 y＝ax2 y轴 对称轴为y轴(顶点在y轴上)＋另两点坐标 y＝ax2＋c y轴 已知条件 设解析式 对称轴 求解 顶点在x轴上＋另两点坐标 y＝a(x－h)2 x＝h 代入对应条件所给的点坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 原点＋另外两点 坐标 y＝ax2＋bx x＝－ 3．(人教九上教材P41T7)填空： (1)已知函数y＝2(x＋1)2＋1，当x<______时，y随x的增大而减小，当x>______时，y随x的增大而增大； (2)已知函数y＝－2x2＋x－4，当x<___时，y随x的增大而增大，当x>___时，y随x的增大而减小． 1．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 大致图象 a的符号 _____ _____ 开口方向 _____ _____ 对称轴 直线___________或直线x＝(x1，x2为抛物线上y值相等的两点的横坐标) 顶点坐标 ________________ x＝－ 增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而______；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而______，简记为“左减右增” 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而______；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而______，简记为“左增右减” 最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最___值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最___值，y最大值＝ 二次项系数a的特性 |a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越___，抛物线的开口越小；|a|越___，抛物线的开口越大 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图象与字母系数的关系 (1)a的符号决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口______；当a＜0时，开口______. (2)当a，b同号时，对称轴在y轴______；当a，b异号时，对称轴在y轴______；当b＝0时，对称轴是___轴． (3)c的符号确定抛物线与y轴的交点位置．当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的____________；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的____________；当c＝0时，抛物线经过______. 3．二次函数图象的平移 平移方向 一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式y＝ a(x－h)2＋k 口诀 向左平移m 个单位长度 y＝a(x＋m)2＋ b(x＋m)＋c y＝a(x－h＋m)2＋k 左加右减 自变量(x) 向右平移m 个单位长度 y＝a(x－m)2＋ b(x－m)＋c y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m 个单位长度 y＝ax2＋ bx＋c＋m y＝a(x－h)2＋k＋m 上加下减 常数项 向下平移m 个单位长度 y＝ax2＋ bx＋c－m y＝a(x－h)2＋k－m 4．(人教九上教材P47T5)画出函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象回答： (1)方程x2－2x－3＝0的解是什么； (2)x取什么值时，函数值大于0； (3)x取什么值时，函数值小于0. 解：图略． (1)x1＝－1，x2＝3 (2)x<－1或x>3 (3)－1<x<3 1．二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根. b2－4ac的符号 b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0 与x轴 交点的 个数 两个交点 一个交点 无交点 实数根 的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 2．二次函数与一元二次不等式的关系 (1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)在x轴______的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有取值就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集； (2)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)在x轴______的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有取值就是不等式ax2＋bx＋c<0的解集． (1)(2024凉山)抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2 (2)(2024广州)函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．－1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1 (3)(2024眉山)定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)×(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为(　　) A．－21 B．－9 C．－7 D．－5 1．(2024贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1,4)，则下列说法正确的(　　) A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐 标是2 C．当x<－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴交点的纵坐标是3 2．(2024成都)在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上三点．若0<x1<1，x2>4，则y1___y2(填“>”或“<”)；若对于m<x1<m＋1，m＋1<x2<m＋ 2，m＋2<x3<m＋3，存在y1<y3<y2，则m的取值范围是_______. －<m<1 (1)(2024滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____. (2)(2024内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位长度得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1___y2(填“＞”或“＜”)． 3．(2024包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2 (1)(2024湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是(　　) A．a＜0 B．c＜0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 (2)(2024达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(　　) A．b＋c>1 B．b＝2 C．b2＋4c<0 D．c<0 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a<0)经过点A(2,0)，抛物线的对称轴为x＝－1，点B(m，n)是抛物线上任意一点，有下列结论：①c<0；②a＋b＋c>0；③一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为和－；④若－3≤m≤0，则－5a≤n≤－9a.其中正确结论的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(2024湖北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数图象上的两点，下列结论正确的是(　　) A．a＋b＋c<0 B．b＋2a＝0 C．x1>x2，则y1>y2 D．若y1＝y2，则x1＋x2＝1 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是(　　) A．当b2－4ac>0时，ax2＋bx＋c>0 B．若m为任意实数，则a＋b>am2＋bm C．a－b＋c>0 D．若ax＋bx1＝ax＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝2 (2024苏州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为______. － (2024福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2,0)，C(0，－2)． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 解：(1)将A(－2,0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. (2)设P(m，n)，因为点P在第二象限，所以m<0，n>0.依题意，得＝2，即＝2，所以＝2. 由已知，得CO＝2，所以n＝2CO＝4. 由m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，所以点P的坐标为(－3,4)． 6．(2024扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(1,0)两点． (1)求b，c的值； (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(1,0)两点， ∴解得 (2)由(1)可知二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2，∵A(－2,0)，B(1,0)， ∴AB＝1－(－2)＝3. 设P(m，n)，∴S△PAB＝AB·|n|＝6， ∴|n|＝4，∴n＝±4， ∴当－m2－m＋2＝4时，Δ＝1－8＝－7<0， 无解，不符合题意，舍去； 当－m2－m＋2＝－4时，解得m1＝－3，m2＝2. ∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4)． $$