6.1 反比例关系与反比例函数（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第6章 反比例函数 6.1 反比例关系与反比例函数 学 习 目 标 1 2 3 理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式;能准确判断一个函数是否为反比例函数;明确反比例函数自变量的取值范围;会用待定系数法求解反比例函数解析式. 经历“实际情境-列关系式-观察特征-归纳定义-应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数，培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. 感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用函数知识解决实际问题的意识. “中国铁路之父”詹天佑（1861—1919）主持设计的京-- 张铁路是中国人自主勘测、设计修建的第一条干线铁路，自1909年10月2日通车到2019年12月30日京张高铁正式开通运营，列车时速已由最初的35千米提升至现在的350千米。 章引言 这不仅见证了中国铁路的发展，也见证了中国综合国力的飞 跃。如今我国已建成世界最大的高速铁路网，以最直观的方 式向世界展示了“中国速度”。 章引言 从北京到张家口，列车在铁路上行驶完全程所需要的时间与平均速度有怎样的关系？相邻两个车次的平均时间间隔与每日开通的车次数量有怎样的关系？要回答以上问题，需要用到反比例函数的有关知识。 本章中，我们将类比一次函数、二次函数的研究方法， 在理解反比例函数定义的基础上，探究反比例函数的图象 与性质，并运用反比例函数的知识解决一些简单的实际问题。 章引言 1.想一想：什么是函数？你学过哪些函数？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，y是x的函数. 一次函数和二次函数； 知识回顾 2.学习函数的思路是什么？ 列出实际问题中的关系式 学习函数的思路： 总结 特征 概念 画出函数图像 解决实际问题 总结出性质 观察位置与变化趋势 知识回顾 你还记的两个量“成正比”的含义吗？ 下面我们用类比的思想学习新函数--- 反比例函数 生活中,我们还经常听到两个量 “成反比”的说法,这又是什么意思呢? 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化； 如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 知识回顾 列等式表示下列关系: (1)矩形的面积为10,它的宽y与长x的关系; 列出的等式:xy=10, (2)将500cm3 的水全部倒入圆柱形杯子中,杯子中水面的 高度h(单位:cm)与杯子的底面积S(单位:cm2)的关系; 列出的等式:Sh=500 (3)高速列车行驶的距离L(单位:km)一定时,行驶的时间t(单位:h)与行驶的平均速度v(单位:km/h)的关系。 列出的等式:vt=L 这就是反比例关系的定义。 观察得到的关系式：xy=10,Sh=500，vt=L有什么特征？ 像这样，如果两个量发生变化时,它们的乘积始终保持不变, 两个量发生变化时,它们的乘积始终保持不变。 我们就称这两个量成反比,这两个量的关系叫作反比例关系。 1.判断下列问题中的两个量是否成反比例关系。 (1)三角形的面积一定时,一边与这条边上的高的数量关系; (2)总工作量一定时,所需工作天数与平均每天的工作量的关系; (3)商品的单价一定时,商品的总价与商品的数量的关系。 方法总结： 判断成反比例关系的依据---乘积不变. 跟踪练习 1.在上面的问题中,一个变量是另一个变量的函数吗? 如果是,写出函数的表达式。 在(1)中,y是x的函数,y = ; 在(2)中,h是S的函数,h=; 在(3)中,t是v的函数,t=,其中L为常数。 2.想一想：y =,h= ,t= ,其中L为常数，这些函数 表达式有什么共同特点? 共同特点：等号的左边都是常数除以自变量的形式即分式形式。 3.你能类比学过的正比例函数解析式的特点，说一说上 述函数的特点吗? 这些函数表达式都具有y=的形式，其中k为不等于0的常数。 一般地，形如y= (k是常数,k≠0)的函数, 叫作反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数。 反比例函数的定义： 在函数y =,h=,t=,（其中L为常数）中的k分别是什么？ 对于反比例函数的形式，还有哪些形式呢? y= (k是常数,k≠0)。 反比例函数有三种表达形式。 xy=k(k为常数,k≠0)。 y=kx-1(k为常数,k≠0). 你能说说对于自变量x的取值有没有限制条件?为什么? 函数y的取值范围又是什么? 自变量的取值范围是x≠0的一切实数。 因为反比例函数的解析式是个分式形式， 所以自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 因为反比例函数y=中要求x≠0，所以y也不等于0。 例1、用函数表达式表示下列问题中变量间的对应关系,并判断它们是否为反比例函数。如果是,写出相应的k的值。 (1)某新能源电动车的电池容量为60kW·h,最大行驶距离 s(单位:km)随平均耗电量x(单位:kW·h/km)的变化而变化; 解:(1)函数表达式为s=,s是x的反比例函数,k=60。 典例讲解 (2)实数y是实数x(x≠0)的倒数的相反数,y随x的变化而变化; (3)一本书共500页,未读页数n随已读页数m 的变化而变化。 解：(2)函数表达式为y=-,y是x的反比例函数,k=-1。 (3)函数表达式为n=500-m,n不是m 的反比例函数。 典例讲解 2.分别写出下列函数的表达式。如果是反比例函数,写出相应的k的值。 (1)当电压U=220V时,电流I(单位:A)随电阻R(单位:Ω)的变化而变化; (2)将质量为5kg的酒精平均分装在n个桶中,每桶中的酒精质量y(单 位:kg) 随n的变化而变化; (3)圆柱的体积为π,圆柱的高h随底面半径r的变化而变化。 解:(1)函数表达式为I=, I是R的反比例函数,k=220。 (2)函数表达式为y=, y是x的反比例函数,k=5。 (3)函数表达式为h== , h不是r的反比例函数。 跟踪练习 例2、已知函数y=(m-1)xm2+2m-4 是反比例函数， 求m的值. 解：∵y=(m-1)xm2+2m-4 是反比例函数， m2+2m-4=-1 m-1≠0 ∴ ∴m=-3. ∴m的值是-3. 指数为 -1 系数不为0 典例讲解 3.（1） 当m= 时，y=2x|m|-2是反比例函数. （2）已知函数y=是反比例函数，则k必须 满足 . ±1 k≠2 且 k≠－1 跟踪练习 例3、已知y是x的反比例函数,并且当x=4时,y=-3。 求y关于x的函数表达式。 解:设函数表达式为y=(k≠0)。 因为当x=4时,y=-3 所以-3=。 解得k=-12。 所以函数表达式为y=-。 典例讲解 4.已知y是x的反比例函数,下表给出了y与x的一些值。 (1)写出y关于x的函数表达式; (2)根据函数表达式完成上表。 解:（1）设函数表达式为y=， 把x=-2,y=4代入得 4=， 解得k=-8。 所以函数表达式为y=-。 -1 -16 -8 2 4 跟踪练习 例4、已知y与x2 成反比。当x=2时,y=3。 (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=时,求y的值; (3)当y=2时,求x的值。 解:（1）∵y与x2的反比例关系， ∴设y=,把x=2,y=3代入得 3=， 解得k=12。 所以函数表达式为y=。 拓展延申 (2)当x=时, y= =4 (3)当y=2时, 2= x=或x=- 拓展延申 例5、(1)如果y是z的反比例函数,z是x的反比例函数, 那么y与x之间具有怎样的函数关系? (2)如果y是z的反比例函数,z是x的正比例函数,且x≠0, 那么y与x 之间具有怎样的函数关系? 解:（1）∵y是z的反比例函数，z是x的反比例函数， ∴设y= ,z= ,a≠0,b≠0. ∴y= = x . ∴y是x的正比例函数。 拓展延申 (2)∵y是z的反比例函数,z是x的正比例函数,且x≠0, ∴设y= ,z=bx ,a≠0,b≠0. ∴y= . ∴y是x的反比例函数。 拓展延申 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( ) A. y=- B.y=- C. y= D.y=1- A 当堂检测 2. 填空 (1) 若y=是反比例函数，则m的取值范围是 . (2) 若y=是反比例函数，则m的取值范围是 . (3) 若y=(m-1)xm2-2是反比例函数，则m的值是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ -2 -1 当堂检测 3. 已知变量y与x成反比例，且当x=3时，y=-4. (1) 写出y关于x的函数解析式； (2) 当y=6时，求x的值. 解:（1）设函数表达式为y=， 把x=3,y=-4代入得 -4=， 解得k=-12。 所以函数表达式为y=-。 (2) 当y=6时， x=-2 当堂检测 反比例函数 定义： 一般地，形如y= (k是常数,k≠0)的函数,叫作反比例函数. 三种形式： y= , xy=k, y=kx-1. 待定系数法求解析式： 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $