精品解析：浙江省浙里特色联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高二数学学科 试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 角终边上一点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且函数在处有极值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知是递增的等比数列．若，当取得最小值时，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．） 9. 已知函数，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在区间上为增函数； B. 函数值域为； C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 10. 若正项数列满足，，设，，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 对任意的正整数，恒有 B. 对任意的正整数，恒有 C. 对任意的正整数，恒有 D. 对任意的正整数，恒有 11. 如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（ ） A. 曲线上的点的横坐标取值范围是 B. 曲线上的点到原点的距离最大值为 C. 曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D. 曲线所围成的“心形”区域面积大于3 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分．） 12. 已知，，若，则________． 13. 已知圆，点，为圆上动点，为轴上的动点，则的最小值为________． 14. 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：面面； （2）若直线与平面所成角正切值为，求二面角的余弦值． 17. 已知双曲线的右焦点为且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）已知点，不过点的直线与双曲线交于，两点，且，，的斜率依次成等比数列，求点到直线距离的取值范围． 18. 已知函数，其中 （1）当时，求的值； （2）当时，讨论函数单调性； （3）若函数存在两个极值点，，且，证明：． 19. 设有穷数列的项数，若正整数满足，则称为数列的“低洼点”． （1）若，求数列的“低洼点”； （2）已知有穷等比数列公比为，前项和为，若数列存在“低洼点”，求正数的取值范围； （3）若，数列的“低洼点”的个数为，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高二数学学科 试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用和的单调性解出两个不等式和，得到集合，注意集合中这个条件，再根据交集的定义求即可. 【详解】，又在上单调递增， ，即，. ， 又在上单调递增，， 又，，. . 故选：D 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得，利用几何意义得其对应点为，即可求解. 【详解】因为，其对应点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第三象限， 故选：C. 3. 若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，结合该双曲线的焦距求出的值，可得出、的值，由此可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】双曲线的标准方程为，则，， 因为该双曲线的焦距为，则，解得，故， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：A. 4. 角终边上一点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义求出，，在利用两角差的正弦公式去计算即可. 【详解】因为角终边上一点的坐标为，则， 根据三角函数的定义可知：，， 利用两角差的正弦公式可知：. 故选：D 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，可得出的值，再利用等差数列求和公式结合等差中项的性质可求得的值. 【详解】设等差数列公差为， 则，解得， 故， 因此，. 故选：B. 6. 若，，且函数在处有极值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，得到，根据条件有，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 由题有，得到，所以， 得到，当且仅当时，取等号， 故选：D. 7. 动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线平行的切线方程，再将的最小值转化为两平行直线的距离，即可得到结果. 【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行， 则，所以，解得或（舍）， 即，则切点为， 切线方程为，化简可得， 则的最小值即为切线与直线的距离， 所以. 故选：C 8. 已知是递增的等比数列．若，当取得最小值时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由题意可知，由已知得出，进而得出，利用导数求出函数在上取最小值时对应的的值，即可得出的值，进而可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可知且， 则，故， 因为是递增的等比数列，则，所以， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在时取得最小值， 故当取最小值时，，则，解得. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．） 9. 已知函数，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在区间上为增函数； B. 函数的值域为； C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得函数在区间上的单调性，以及的值，即可判断ABD；再由题意可得且，结合导数的几何意义即可判断C. 【详解】由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 对于A中，当时，，单调递增，所以A正确； 对于B中，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，有极小值，且， 又由，所以函数在区间上的最大值为， 最小值为，其值域为，所以B错误； 对于C中，由，可得且， 所以函数在点处的切线方程为， 即，所以C正确； 对于D中，由在递减，在上递增，且， 要使得方程在区间上有两解，则，所以D正确. 故选：ACD 10. 若正项数列满足，，设，，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 对任意的正整数，恒有 B. 对任意的正整数，恒有 C. 对任意的正整数，恒有 D. 对任意的正整数，恒有 【答案】AD 【解析】 【分析】构造，求导后得到单调性和极值，最值情况，故而得到，即可判断A；结合A及递推公式判断B，举出反例可判断C；得到，累加法得到，从而得到，即可判断D. 【详解】对于A：设函数，则， 则当时，当时， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故. 又，则，故A正确； 对于B：因为，所以， 所以，故B错误； 对于C：因为，即，故C错误； 对于D：因为，即， 所以 ，得， 显然，所以，故D正确； 故选：AD. 11. 如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（ ） A. 曲线上的点的横坐标取值范围是 B. 曲线上的点到原点的距离最大值为 C. 曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D. 曲线所围成的“心形”区域面积大于3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由判别式的计算即可判断，对于B，借助基本不等式即可判断，对于C，计算出所有整点即可判断，对于D，借助割补法计算即可判断. 【详解】对于A，根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 移项可得， 关于的一元二次方程的判别式， 解得，又因为，所以， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 所以曲线上的点的横坐标取值范围是，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 曲线上的点到原点的距离最大值为，故B正确； 对于C，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，C正确； 对于D，因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，D正确； 故选：BCD 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分．） 12. 已知，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算，得，再利用垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得， 故答案为：. 13. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，最小值为. 故答案为：. 14. 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域为，将恒成立，转化为在上恒成立，即.构造函数，，利用导数求出两函数的最值，只须，从而得到关于的不等式，再求解即可. 【详解】函数的定义域为， 若存在实数使得恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即， 设， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，即， 所以若存在实数，使得在上恒成立， 只须，即，两边取对数后解得， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差、等比数列公比，由已知条件列出方程组，求解即得通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法及等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，数列的等比为， 依题意，，，，， 即且，解得，， 所以和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，则，， 因此， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：面面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，又平面，即可证明； （2）方法一：取中点，连接，，可知即为直线与平面所成角，设，由余弦定理可得，可知，过点作垂线，垂足为，可求解，过点在平面内作的垂线，交于点，由余弦定理结合同角三角函数的基本关系可得，根据边角关系可得点是等腰直角三角形斜边上的中点，即二面角的平面角，即可求解；方法二：取中点，连接，，可知即为直线与平面所成角，设，取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，为轴，建系空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为，，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 方法一：（定义法） 因为为正三角形，取中点，连接，，则， 又平面平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 所以，设，则， 所以，， 又因为，所以， 因为，， 过点作的垂线，垂足为，则， ，， 过点在平面内作的垂线，交于点， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为且， 所以，即点是等腰直角三角形斜边上的中点， 所以，即二面角的平面角， ； 方法二：（向量法） 因为为正三角形，取中点，连接，，则， 又平面平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 所以，设，则， 取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，为轴，建系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，所以， 取，则， ，所以， 取，则， 由图可知二面角的平面角为锐角，设这个锐角为， 所以， 即二面角的余弦值为. 17. 已知双曲线的右焦点为且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）已知点，不过点的直线与双曲线交于，两点，且，，的斜率依次成等比数列，求点到直线距离的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消得，结合条件和韦达定理得到，且，利用点到直线的距离公式得，令，得，再利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，，， 联立，消得， 所以， 又因为，即，所以， 整理得到，又，∴ ∴，则， 所以点到直线的距离， 令，则， 又因为，整理得， 将代入得到，解得， ∴，， 则，当时，， 令，当，，，，又， 所以当时，恒成立， ∴在区间单调递增，又当时，，当，， ∴，即点到直线的距离的取值范围为. 18 已知函数，其中 （1）当时，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若函数存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （3）结合（2）中的结论可得，，然后构造函数，，利用导数即可得到，从而得证. 【小问1详解】 当时，，， ∴. 【小问2详解】 当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，，，，∴，， ∴， 构造函数，， ， 记，， 令，解得，（舍去）， 当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 又，，∴时，，即， ∴在上单调递减，∴，∴， 综上所述即证：. 19. 设有穷数列的项数，若正整数满足，则称为数列的“低洼点”． （1）若，求数列的“低洼点”； （2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为，若数列存在“低洼点”，求正数的取值范围； （3）若，数列的“低洼点”的个数为，证明： 【答案】（1）和 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）列举出数列各项，结合“低洼点”的定义可得答案； （2）求得，根据题意可知存在，使得，参变分离得出，求出数列的最大项的值以及，即可求出的取值范围； （3）分情况讨论：①，可得出，即可得出结论成立；②存在，使得，即数列存在“低洼点”，不妨设数列的“低洼点”由小到大依次为、、、，则是中第个小于的项，故，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 因为， 所以，，，， 所以数列的“低洼点”为和. 【小问2详解】 依题意，， 因为数列存在“低洼点”，所以存在，使得， 所以， 即，则， 因为单调递减，所以当时的最大值为，所以， 又因为，所以， 当时，有，所以数列存在“低洼点”， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 ①若，则数列不存在“低洼点”，即， 由，得，所以； ②若存在，使得，下面证数列有“低洼点”， 若，则是数列的“低洼点”， 若，因为存在，使得， 所以设数列中第个小于的项为，则， 所以是数列的第个“低洼点”， 综上，数列存在“低洼点”. 不妨设数列的“低洼点”由小到大依次为、、、， 则是中第个小于的项， 故， 因为，所以，所以，故， 所以 （个1）, 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$