精品解析：北京市第二十二中学2024-2025学年高二下学期期中调研数学试题

北京22中学2024-2025学年度第二学期期中试卷 高二年级 数学 学科 命题人：高二年级数学学科备课组 2025年4月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟.考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共56分，每小题4分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合数轴，根据集合并集的定义，即可求解. 【详解】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示， 则. 故选：D. 2. 设复数的共轭复数为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求得复数，进而利用复数的乘法运算可求. 【详解】因为复数，所以复数的共轭复数为， 所以. 故选：C. 3. 命题，都有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性判断即可. 【详解】，在区间上单调递减，A选项错误； ，在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误； ，在区间上单调递增，C选项正确； ，在区间上单调递减，D选项错误； 故选：C. 5. 若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的系数和为即可得到方程求解. 【详解】根据的二项式系数和为32， 结合所有二项式系数的和满足， 可知， 故选：A. 6. 要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列即可. 【详解】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法， 第二步：将剩余得4个节目全排列，共有种排法， 所以共有种， 故选： 7. 下列导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数求导法则运算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，故正确； 对于，，故正确； 对于，，故错误. 故选：. 8. 已知双曲线的右焦点为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】因为双曲线的右焦点为， 又，即，所以， 则双曲线方程为，则渐近线方程为. 故选：B. 9. “”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，此时当且仅当， 又因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10. 某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由次独立重复试验的概率计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是. 故选：D 11. 若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，将代入后，可得，将代入后可得，进而得到． 【详解】由得， 又曲线在点处的切线方程为， 故当时， 又点在上，则，故． 故选：A． 12. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出点M的横坐标，根据焦半径公式计算即可． 【详解】抛物线中，，点在抛物线上，则，， 所以到焦点的距离为， 故选：D． 13. 设随机变量的分布列为 则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算均值，再计算方差即可. 【详解】由分布列可得, 所以. 故选：B. 14. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题（共25分，每小题5分） 15. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可. 【详解】函数的定义域满足： 解得 所以函数的定义域为 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．． 16. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由已知，，则，所以，解得，故答案为. 考点：椭圆的性质. 17. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再由指定的幂指数求解得答案. 【详解】二项式的展开式通项公式， 由，得，因此， 所以的系数为10. 故答案为：10 18. 罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】将5根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）； 1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个； 2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个. 1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9， 所以能表示的数有个； 1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5， 所以能表示的数有个； 综上可知，可组成的三位数共有 个. 故答案为：. 19. 设，函数给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】把和代入解析式，分析单调性即可判断①②， 令，解出零点，判断零点是否在区间内，对含的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为恰有两个零点，解出零点，易得取时有3个零点，可判断④错误. 【详解】①当时，， 当时，，当时，，故，故①正确； ②当时，， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，故不是增函数，故②错误； ③当时，只有一个零点， 令函数，解得 当时，函数在上没有零点， 无意义，故函数在上有且只有一个零点为0，即有且只有一个零点，故不符合题意； 当时， 函数在上有1个零点为0， ，不在范围内， 当时，，故函数在上有一个零点，即有两个零点，符合题意， 当时，，故函数在上没有零点，即有且只有一个零点，故不符合题意； 综上所述：当时，有两个零点.故③正确； ④直线与曲线恰有2个交点， 可转化为恰有两个零点. 令函数，解得， 当时，，函数在上有3个零点， 令得，故函数在上没有零点， 即有3个零点，故④错误. 故答案为：①③. 三、解答题（共69分，第20、22、23、24题每题14分，第21题13分） 20. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，直接写出的取值范围（无需解答过程）. 【答案】（1） （2）最大值为11，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义求出，再进行检验即可. （2）根据导数的几何意义求出单调性，利用单调性求最值即可； （3）根据函数的单调性，结合方程的根与函数图象的关系列式即可求解. 【小问1详解】 ，所以， 由题意得，解得， 所以， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值.故. 【小问2详解】 由（1）得在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在区间上的最大值为11，最小值为. 【小问3详解】 方程有三个不同的实数根， 即与函数有3个不同交点， 由（1）（2）得在和上单调递增，在上单调递减， 且，所以的取值范围是. 21. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）. 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）利用超几何分步计算的分布列和数学期望可得结果. （3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果. 【小问1详解】 设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则， 则从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业的概率为. 【小问2详解】 样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. 【小问3详解】 由题意得，， ∴. 22. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率k不为0的直线l，直线l交椭圆E于C、D两点（点C、D与点B不重合），设直线BC、BD的斜率分别为，若，求的值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求解，即可求得答案； （2）设直线l方程为，联立椭圆方程，即可表示出的坐标，求出B点坐标，即可得的表达式，化简即可推出结论. 【小问1详解】 由为椭圆的右顶点，离心率为， 可得，解得，所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 直线l的斜率存在不为0，设， 设方程为，联立，则， 即，则，， 因为 ，故， 故 ， 由于，所以. 23. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2） 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 【解析】 【分析】（1）当时， ，，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调性. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【小问1详解】 当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. 【小问2详解】 由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出，则将原不等式等价转化为证明，再设新函数，利用导数求出其最值即可. 24. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 【答案】（1），；（2）4；（3），或. 【解析】 【分析】 （1）根据定义得到，，即可得到，的值； （2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况， 排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值； （3）假设，，根据定义可得或，进而得到A. 【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故， SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故. （2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ； （3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因， 故，所以， 设，则是的因数， 所以是的因数，且是的因数，因为， 所以，因为是的因数，所以， 因为是的因数，所以是的因数， 因为，所以，所以或， 故，或， 所以当取到最大值4时，故，或. 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京22中学2024-2025学年度第二学期期中试卷 高二年级 数学 学科 命题人：高二年级数学学科备课组 2025年4月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟.考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共56分，每小题4分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数的共轭复数为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 命题，都有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，都有 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 下列导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. “”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 12. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 13. 设随机变量的分布列为 则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 第Ⅱ卷 二、填空题（共25分，每小题5分） 15. 函数的定义域为________. 16. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则_________． 17. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 18. 罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 19. 设，函数给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题（共69分，第20、22、23、24题每题14分，第21题13分） 20. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，直接写出的取值范围（无需解答过程）. 21. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）. 22. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率k不为0的直线l，直线l交椭圆E于C、D两点（点C、D与点B不重合），设直线BC、BD的斜率分别为，若，求的值. 23. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 24. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $