11.4 一元一次不等式组拓展提优2024-2025学年苏科版数学七年级下册

一元一次不等式组拓展练习 一．填空题 1．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　3　 个． 【解答】解：由题意得45， 解得：7≤x， 其整数解为7、8、9共3个． 故答案为：3． 2．已知关于x的不等式组的解集为x≥6，那么所有满足条件的正整数a的值之和是　15　 ． 【解答】解：由不等式组得：， ∵不等式组的解集为x≥6， ∴2a﹣5＜6， 解得：， ∵a是正整数， ∴a＝1，2，3，4，5 ∴所有满足条件的正整数a的值之和为：1+2+3+4+5＝15． 故答案为：15． 3．若关于x的不等式组的最小整数解是1，则实数a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞2+a， 解不等式②，得：x≤3， ∵关于x的不等式组的最小整数解是1， ∴0≤2+a＜1， 解得﹣2≤a＜﹣1， 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 4．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　﹣5≤m＜﹣4　 ． 【解答】解：， 解①得x， 解②得x＞m， 则不等式组的解集是m＜x． 不等式组有2个整数解，则整数解是﹣3，﹣4． 则﹣5≤m＜﹣4． 故答案为：﹣5≤m＜﹣4． 5．若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 　2＜m≤3　 ． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜m， 解不等式②得：x≥﹣3， ∵不等式组有三个非负整数解， ∴不等式组三个非负整数解是0，1，2， ∴2＜m≤3． 6．已知关于x的方程3x+2m＝10的解为非正数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为　18　 ． 【解答】解：解关于x的方程3x+2m＝10得x， 由题意得0， 解得m≥5， 解不等式组得y≤m﹣2， ∵不等式组有解且至多有三个整数解， ∴m﹣2＜6， 解得m＜8， 则5≤m＜8， ∴所有满足条件的整数m的和是：5+6+7＝18． 故答案为：18． 7．若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　7　 ． 【解答】解：， 由不等式①得：x≤8， 由不等式②得：x＞4， ∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， ∴2≤44， 解得：0＜a≤4， 由方程，解得y， ∵该方程的解为非负整数，a为整数， ∴a+2＝1，2，3，4，6，12， 则a＝﹣1，0，1，2，4，10， ∵0＜a≤4， ∴a＝1，2，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：1+2+4＝7． 故答案为：7． 8．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是 　﹣5≤m＜﹣4　 ． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤﹣2， 解不等式②得x＞m： ∴不等式组的解集为：m＜x≤﹣2， ∵不等式组的所有整数解的和为﹣9， ∴不等式组的整数解可以为﹣4、﹣3、﹣2， ∴﹣5≤m＜﹣4， 故答案为：﹣5≤m＜﹣4． 9．若关于x的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数a的值可以是　0（答案不唯一）　 ． 【解答】解：解不等式组得1＜x＜a， 由不等式组无解可得a≤1， 所以a的值可以是0． 故答案为：0（答案不唯一）． 10．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程x﹣1＝0就是不等式组的“有缘方程”．若关于x方程3x+2k＝5（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数k的值为 　2或3　 ． 【解答】解：解方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x方程3x+2k＝5（k为整数）是不等式组的一个有缘方程， ∴， 解得， ∵k是整数， ∴k的值为2或3． 故答案为：2或3． 二．解答题 11．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知T（1，﹣2）＝﹣1，T（﹣1，1）＝﹣2． （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式，恰好有3个整数解，求p的取值范围． 【解答】解：（1）∵T（1，﹣2）＝﹣1，T（﹣1，1）＝﹣2， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴a＝1，b＝﹣1； （2）∵a＝1，b＝﹣1， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由①得，m≤5， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴，即， 解得． 12．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜x＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程． （1）在方程①3x﹣3＝0，②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 　③　 （填序号）； （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m＝0，则常数m＝　4　 ； （3）①解两个方程：； ②是否存在整数m，使得方程都是关于x的不等式组的关联方程？若存在，请求出所有符合条件的整数m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）方程①3x﹣3＝0的解为x＝1；方程②x+1＝0的解为x；方程③x﹣（3x+1）＝﹣9的解为x＝4； 不等式组的解集为x， ∵4， ∴不等式组的关联方程是方程③x﹣（3x+1）＝﹣9， 故答案为：③； （2）不等式组的解集为x， ∵不等式组的一个关联方程x+m＝0的解是整数， ∴﹣m＝﹣2， 即m＝2， 故答案为：2； （3）①解方程1， 两边都乘以2得x+3＝2， 移项得x＝2﹣3， 合并同类项得x＝﹣1； 解方程1， 两边都乘以6得3（x+2）+6＝2（x+7）， 去括号得3x+6+6＝2x+14， 移项得3x﹣2x＝14﹣6﹣6， 合并同类项得x＝2； ②由于关于x的不等式组的解集为2﹣m＜x， ∵方程都是关于x的不等式组的关联方程， ∴2﹣m＜﹣1，且2， 解得3＜m＜6， ∴所有符合条件的整数m的值为4，5． 13．对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数m，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数m“互联”．例如：不等式x＞1和不等式x＜3关于整数2“互联”． （1）不等式x﹣1＜3和x﹣3≥0关于整数 　是　 “互联”； （2）若关于x的不等式x﹣2a＜0和关于整数m“互联”． ①直接写出m的值为 　1　 ； ②求a的最大值； （3）已知不等式x＞3﹣n和x＜n+3关于整数3“互联”，直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）是，理由如下： 解不等式得3≤x＜4， 满足条件的整数有且只有一个：3，所以这两个不等式是“互联”的； 故答案为：是． （2）①解不等式x﹣2a＜0，得x＜2a ∵关于x的不等式x﹣2a＜0和关于整数m“互联”， ∴m＝1， 故答案为：1． ②依题意，的整数解为x＝1， ∴2a≤2， 解得：a≤1， 故a的最大值为1； （3）若不等式x＞3﹣n和x＜n+3是关于整数3“互联”的， 则满足3﹣n＜x＜n+3的整数有且只有一个，为3， ∴， 解得：0＜n≤1． 14．若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣1＜x≤5， ①A的解集中点值为　5　 ． ②不等式组B对于不等式组A　是　 （填“是’或“不是”）中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围． 【解答】（1）①解不等式组A得，4＜x＜6， ∴不等式组A的解集中点值为， 故答案为：5； ②∵不等式组B：﹣1＜x≤5，不等式组A的解集中点值为5， ∴不等式组B对于不等式组A是中点包含， 故答案为：是； （2）解不等式组C得，m﹣3＜x＜m+5， ∴不等式组C的解集中点值为 解不等式组D得，﹣4＜x＜6， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴﹣4＜m+1＜6 解得﹣5＜m＜5； （3）解不等式组E得，2n＜x＜2m， ∴不等式组E的解集中点值为， 解不等式组F得，， ∴， 解得n＜m＜6， ∴m可取5、4、3、2或m可取5、4、3、2、1， ∴1≤n＜2或0≤n＜1， 即0≤n＜2． 15．若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当n＝0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式x+1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）x是 　0　 阶不等式；是 　1　 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜… 如果是（m﹣3）阶不等式组，且关于x的方程2x﹣m＝0的解是的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围． 【解答】解：（1）∵x没有正整数解， ∴x是0阶不等式； 由得1＜x＜3， ∴有1个正整数解， ∴是1阶不等式组， 故答案为：0，1； （2）解不等式组得：1≤x＜2a， 由题意得：x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴4＜2a≤5， 解得：2＜a≤2.5； （3）由题意得，m是正整数，且p≤x＜m有（m﹣3）个正整数解， ∴2＜p≤3，5， ∴m＝10． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次不等式组拓展提优 一．填空题 1．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　 　 个． 2．已知关于x的不等式组的解集为x≥6，那么所有满足条件的正整数a的值之和是　 　 ． 3．若关于x的不等式组的最小整数解是1，则实数a的取值范围是　 　 ． 4．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　 　 ． 5．若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 6．已知关于x的方程3x+2m＝10的解为非正数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为　 　 ． 7．若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　 ． 8．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是 　 　 ． 9．若关于x的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数a的值可以是　 　 ． 10．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程x﹣1＝0就是不等式组的“有缘方程”．若关于x方程3x+2k＝5（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数k的值为 　 　 ． 二．解答题 11．．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知T（1，﹣2）＝﹣1，T（﹣1，1）＝﹣2． （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式，恰好有3个整数解，求p的取值范围． 12．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜x＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程． （1）在方程①3x﹣3＝0，②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 　 　 （填序号）； （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m＝0，则常数m＝　 　 ； （3）①解两个方程：； ②是否存在整数m，使得方程都是关于x的不等式组的关联方程？若存在，请求出所有符合条件的整数m的值；若不存在，请说明理由． 13．对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数m，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数m“互联”．例如：不等式x＞1和不等式x＜3关于整数2“互联”． （1）不等式x﹣1＜3和x﹣3≥0关于整数 　 　 “互联”； （2）若关于x的不等式x﹣2a＜0和关于整数m“互联”． ①直接写出m的值为 　 　 ； ②求a的最大值； （3）已知不等式x＞3﹣n和x＜n+3关于整数3“互联”，直接写出n的取值范围． 14．若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣1＜x≤5， ①A的解集中点值为　 　 ． ②不等式组B对于不等式组A　 　 （填“是’或“不是”）中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围． 15．若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当n＝0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式x+1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）x是 　 　 阶不等式；是 　 　 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜… 如果是（m﹣3）阶不等式组，且关于x的方程2x﹣m＝0的解是的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$