精品解析：北京市第六十五中学2024-2025学年高二下学期期中达标测试数学试卷

北京市第六十五中学2024-2025学年度第二学期期中达标测试题 高二数学试卷 考试时间 120分钟 满分 150分 一、本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项，并填涂在答题卡相应位置. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数是（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出所有的组合数，然后列举验证即可. 【详解】从4张人民币中任选2张，有种选法， 所有选法的组合及对应的币值分别为： 壹元伍元6元；壹元拾元11元；壹元贰拾元21元； 伍元拾元15元；伍元贰拾元25元；拾元贰拾元30元； 所有组合的总和均不重复， 所以不同的币值有6种. 故选：A 3. 甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出总事件数，再求出符合条件的事件数，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有种情况， 符合条件的有，共种， 且设概率为，则，故B正确. 故选：B 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式中含的项为， 所以的系数为， 故选：D 5. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（ ） A. 在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B. 在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C. 甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D. 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 6. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 7. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法， 再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法. 故选：B 8. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数在内有零点列式求解. 【详解】由，求导得，而函数在区间上不单调， 则在内有解，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 9. 某款游戏推出新一期的开胶囊活动，玩家打开一枚胶囊会随机掉落皮肤、武器或技能，其掉落的概率分别为50%，30%，20%.小明对可能从胶囊中掉落的5%的皮肤、40%的武器和80%的技能感兴趣.若小明随机打开一枚胶囊，则他能收获自己感兴趣的游戏物品的概率是（ ） A. 0.295 B. 0.305 C. 0.405 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由概率乘法公式结合题意可得答案. 【详解】由题，相关概率为：. 故选：B 10. 数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值. 过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值； 过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系. 给出以下结论: ①切线的方程为； ②； ③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据切线的几何意义，写出切线方程即可；对于②，根据题意求出，，再推理得即可；对于③，设，则是的正根，，再根据②中结论，推理的2次近似值即可. 【详解】对于①，根据题意，知切线的切点为，则斜率，所以切线方程为，故①正确； 对于②，由①可知：， 令，得，故②正确； 对于③，设，则是的正根，， 所以， 时，，，故③正确. 综上，正确结论的个数为个. 故选：. 二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应的位置上） 11. 计算：______ 【答案】9 【解析】 【分析】根据排列组合公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：9 12. 某省中学生足球赛预选赛每组有7支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为______ 【答案】42 【解析】 【分析】根据题意结合分步乘法原理求解即可. 【详解】先从7支队中选1支为主队，有7种选法，然后从剩下的6支队中选1支为客队，有6种选法， 则由分步乘法原理可得每组进行的比赛场数为. 故答案为：42 13. 已知，则当时的导数值=______. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 14. 一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为______；（2）两次取出的都是红球的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出第一次取出的球是红球，然后放回并放入2个红球后，袋中球的总数及红球个数，最后利用古典概型的概率公式可求得结果，（2）求出第一次取出红球的概率和第二次取出红球的概率，再根据全概率公式可求得结果. 【详解】（1）当第一次取出红球后，放回并放入2个红球，此时袋中有4个红球，3个黑球，总球数为7个， 所以第2次取出红球的概率为； （2）由题意可知第一次取出红球的概率为，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率为， 所以两次取出的都是红球的概率为. 故答案为：； 15. 已知函数，则下面四个结论中： ①函数在上单调递减； ②当或时，有一个零点； ③函数存在最小值； ④当时，恒成立. 其中所有正确的结论序号为________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对求导，利用导数分析其单调性和最值，进而可得的图象，结合图象分析判断①②③；根据的图象，利用切线法分析恒成立问题，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，故①正确； 且， 当x趋近于时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于， 可得的图象，如图所示： 由图象可知：当或时，有一个零点，故②错误； 且函数存在最小值为，故③正确； 因为表示斜率为，且过定点的直线， 若，由图象可知， 当直线与曲线相切时， 设切点坐标，则切线斜率为， 则，解得或， 则切线方程为， 代入可得，整理得， 构建， 当时，则， 可知无解，不合题意； 当时，则， 则在内单调递增，且， 对于，可得， 且，结合图象可得：当时，恒成立，故④正确； 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：．两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 三、解答题（共6小题，共85分，把必要的解题过程书写在答题纸相应位置） 16. 已知集合，. （1）当时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合A，B，然后由并集及补集知识可得答案； （2）由题分，，三种情况结合题意可得答案. 【小问1详解】 由， 即所以 当时，由，即. 所以； 【小问2详解】 因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值； （3）若对恒成立，直接写出实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）由（1）可得在上的单调性，求出函数的极值与端点处的函数值，即可得解； （3）结合（2）只需，即可. 【小问1详解】 因为， 则， 当或时，当时， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 且，，， 故当时，，. 【小问3详解】 因为对恒成立，则， 因此，实数的取值范围是. 18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.求下列问题： （1）从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率； （2）从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求解； （2）先计算从袋中每次取一个球，其为黑球的概率，再利用二项分布公式即可求其概率. 【小问1详解】 从袋中随机不放回地取出3个球，其中恰好有两个黑球的概率为. 【小问2详解】 从袋中每次取一个球，其为黑球的概率为， 则随机有放回地依次取球，每次取一个球，共取三次， 根据二项分布的公式可知：恰有两次取得黑球的概率为. 19. 已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64. （1）求的值； （2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）6 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）应用各项二项式系数和列式求参； （2）应用赋值法计算系数和； （3）应用二项式系数性质计算求解. 【小问1详解】 由题意可得解得 【小问2详解】 取，故展开式中所有项的系数和， 【小问3详解】 由于，故展开式中二项式系数最大为， 故二项式系数最大的项为 ． 20. 不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【小问1详解】 由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 P 所以； 【小问3详解】 同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ， 所以. 21. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若和有相同的最小值，求的值. 【答案】（1） （2） 当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． 【小问2详解】 函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第六十五中学2024-2025学年度第二学期期中达标测试题 高二数学试卷 考试时间 120分钟 满分 150分 一、本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项，并填涂在答题卡相应位置. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数是（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 3. 甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 5. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（ ） A. 在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B. 在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C. 甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D. 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 8. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 某款游戏推出新一期的开胶囊活动，玩家打开一枚胶囊会随机掉落皮肤、武器或技能，其掉落的概率分别为50%，30%，20%.小明对可能从胶囊中掉落的5%的皮肤、40%的武器和80%的技能感兴趣.若小明随机打开一枚胶囊，则他能收获自己感兴趣的游戏物品的概率是（ ） A. 0.295 B. 0.305 C. 0.405 D. 1 10. 数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值. 过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值； 过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系. 给出以下结论: ①切线的方程为； ②； ③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应的位置上） 11. 计算：______ 12. 某省中学生足球赛预选赛每组有7支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为______ 13. 已知，则当时的导数值=______. 14. 一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为______；（2）两次取出的都是红球的概率为______. 15. 已知函数，则下面四个结论中： ①函数在上单调递减； ②当或时，有一个零点； ③函数存在最小值； ④当时，恒成立. 其中所有正确的结论序号为________． 三、解答题（共6小题，共85分，把必要的解题过程书写在答题纸相应位置） 16. 已知集合，. （1）当时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值； （3）若对恒成立，直接写出实数的取值范围. 18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.求下列问题： （1）从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率； （2）从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率. 19. 已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64. （1）求的值； （2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 20. 不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 21. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若和有相同的最小值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $