精品解析：辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷）高三数学试题（五）

辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷） 数学（五） 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 以上说法均错误 2. 已知为纯虚数，记构成的集合为，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设点为圆上一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 6. 某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. “早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（ ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A. B. C. 该轮船9点可以进出港口 D. 该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 11. 平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C. 的最大值为 D. 在第一象限对应的双曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为__________（用数字作答）. 13. 设是等差数列的前项和，成等比数列，等比数列的首项为，公比为正整数，均不是常数列，若是整数，则__________. 14. 如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求证：； （2）若，求面积的最大值. 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 17. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）. （1）已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离； （2）若平面与平面的夹角为，求. 18. 已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点. （1）求的方程； （2）为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程； （3）若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围. 19. 随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）； （2）2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元. （i）求的分布列及数学期望； （ii）求的数学期望取最大值时正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷） 数学（五） 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 以上说法均错误 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】的否定为：， 故选：B 2. 已知为纯虚数，记构成的集合为，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由复数为纯虚数，设，根据复数的运算即可求解. 【详解】由复数为纯虚数，设，则有，，，所以. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出、，结合的范围，再由 可得答案. 【详解】，① 由， 得，代入①， 解得，所以， 又因为，所以， 所以， 因为， 所有. 故选：A. 4. 如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征有、，若正八面体的棱长为2，应用空间向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角余弦值. 【详解】由正八面体结构特征知，， 若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形， 所以 ， ， 同理得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5. 设点为圆上一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值. 【详解】由，则，如下图示， 令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 6. 某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需要计算在3名学生均获奖的情况下，既有物理组合又有历史组合的学生的概率，利用全概率公式和条件概率公式即可求解. 【详解】令事件表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件表示“获奖”，则有， 根据全概率公式有， 令事件表示“3人均获奖”，则， 令事件表示“这3人全是物理”，则， 令事件表示“这3人全是历史”，则， 令事件表示“这3人既有物理又有历史”，则， 根据条件概率公式有. 故选：B. 7. 已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合椭圆结构性质求出，进而求出点P，再代入椭圆方程结合离心率定义即可计算求解. 【详解】由题意可得， 因为和是全等的三角形，所以，即， 又由椭圆结构性质可知，所以， 所以，， 则，所以由， 令，则或（舍去）. 所以的离心率的平方为. 故选：A 8. 当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，构造函数，利用导数判断出的单调性，可得在时恒成立，令，利用导数求出的最大值可得答案. 【详解】由得， 即， 令，则， 所以在上单调递增， 由， 可得，，即在时恒成立， 令，则，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先由对数函数的单调性得，利用作差法即可判断AB，构造函数即可判断C，构造函数，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】因为在为增函数，由有， 对于A：由，因为，所以，故A正确； 对于B：由，当时，，即，故B错误； 对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确； 对于D：令，则，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，故D错误. 故选：AC. 10. “早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（ ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A. B. C. 该轮船9点可以进出港口 D. 该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC 【解析】 【分析】根据表中数据求出可判断A B C；求出时，轮船从0点到12点在港口可停留的时间，结合的单调性可判断时停留的时间比时停留的时间长可判断D. 【详解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由表格数据可得，解得，， 所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得， 由得， 即，当时，，， 因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误. 故选：BC. 11. 平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C. 的最大值为 D. 在第一象限对应的双曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知有，整理得，进而研究曲线的相关性质判断各项的正误. 【详解】由题意，则，整理得， 当时，有，则， 当，则，当，则，结合题图知，A对； 由方程，显然都在曲线上，至少有4个格点，B错； 要使最大，则必在第一象限，此时， 所以，令，则， 所以，故， 所以，故的最大值为， （注意，则不成立），C对； 在第一象限对应的双曲线为，即， 所以，是由平移得到，而轴为双曲线的渐近线，则为实轴，为虚轴， 所以对应的标准双曲线的渐近线为，即，故离心率，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由，只需求展开式中的的系数即可. 【详解】由，所以， 只需求展开式中的的系数， 即 . 故答案为：. 13. 设是等差数列的前项和，成等比数列，等比数列的首项为，公比为正整数，均不是常数列，若是整数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意成等比数列，由等差数列的通项公式可得：，解可得，即可得数列的通项公式，进而可得，又由等比数列的通项公式可得：，进而可得，结合为正整数，且均不是常数列，分析可得的值，即可得答案. 【详解】根据题意，等差数列中，成等比数列， 则有，即， 则，则， 等比数列中，首项为，公比为正整数， 则， 又是整数，则是整数， 又由为正整数，则的值为. 且不是常数列 则的值为. 故答案为： 14. 如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设、分别为、的中点，则，由三点共线可得，此时点与点重合，最小，做直线与平行，且与半圆相切，由三点共线知点在直线上时，最大，设直线与的延长线相交于点， 设，求出，可得答案. 【详解】设为的中点，连接， 设为的中点，即点为以为直径的半圆的圆心， 则， 当点在上时，由三点共线可得，此时点与点重合， 最小，即， 做直线与平行，且与半圆相切，连接点与切点，此时最大， 即由三点共线知点在直线上时， 最大， 设直线与的延长线相交于点， 连接，则，延长与相交于点， 因为，所以为半圆的一条切线，所以， 由得， 可得为等边三角形，，所以， 由得，又，所以四边形为平行四边形， 所以，， 设，则， 由得，， 可得，， 所以， 因为三点共线，所以，可得， 所以的最大值为， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求证：； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） 证明：因为，所以即， 则由余弦定理得， 整理得即. （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦倍角公式化简题设条件，再结合余弦定理角化边化简即可得解； （2）先由基本不等式得到，接着由余弦定理得，再由平方和公式和面积公式即可计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则由（1）得，当且仅当时等号成立， 又由余弦定理得， 所以面积为 ，当且仅当时等号成立， 所以面积的最大值为. 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设依次求得、和，进而结合等比数列定义求出和，从而得解； （2）分奇数项和偶数项再结合错位相减法即可求解. 【小问1详解】 ， 所以当时，， 且， ， 所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 所以 则， 所以 ， ， 所以，， 所以. 17. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）. （1）已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离； （2）若平面与平面的夹角为，求. 【答案】（1）P为中点；； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点为P，证明平面平面即可得平面，接着建立空间直角坐标系，求出向量和平面的一个法向量为，再由距离公式即可求直线与平面的距离； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用二面角向量法求解公式计算求出即可求解的长. 【小问1详解】 取中点为P，连接，则由题意可得， 由题意可知且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面，平面，又， 所以平面平面， 又平面，所以平面，所以P为中点； 由上可知直线与平面的距离即为点O到平面的距离，设为， 由题意圆台母线长为，， 如图，取中点D，以O为原点，分别为建立如图所示空间直角坐标系， 则此时， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 即，取，则， 所以. 【小问2详解】 空间直角坐标系中，， 设，且或， 则由圆台结构性质可知是平面的一个法向量，， 设平面的一个法向量为，所以， 所以，取，则， 则，化简得， 所以，解得， 所以，所以. 18. 已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点. （1）求的方程； （2）为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程； （3）若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线所过的点及离心率求双曲线参数，即可得方程； （2）若且，根据已知得且，联立直线与双曲线并应用韦达定理，列方程求，即可得直线方程； （3）设双曲线的切线为，联立双曲线并应用判别式为0得，再由在切线上，代入切线方程整理得，令为过点的两条切线的斜率，则，结合点的存在性求的范围. 【小问1详解】 由题设且，，则，所以； 【小问2详解】 由恒过，即，若且，故， 又，所以，则， 联立与，则， 所以，，则，且， 所以，且，可得，则（负值舍）， 综上，直线，即； 【小问3详解】 由题设，易知两条切线的斜率一定存在，设切线为， 联立，可得，所以， 则，得，则切线为， 而在切线上，则， 所以，则， 若为过点的两条切线的斜率，根据垂直关系有， 所以，根据点的存在性知， 解得，满足，可得. 19. 随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）； （2）2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元. （i）求的分布列及数学期望； （ii）求的数学期望取最大值时正整数的值. 【答案】（1）样本平均数为千元，中位数为千元，总销售额为千元 （2）（i）， ； （ii） 【解析】 【分析】(1)利用频率分布直方图结合组中值求解中位数和平均数以及总销售额. (2)（i）结合题意求出甲在商品页面抢到红包的概率，甲在商品页面抢到红包的概率，结合独立事件求出的分布列及数学期望. （ii）根据随机变量和随机变量的关系，求出的数学期望，并结合导数求解出取最大值时正整数的值. 【小问1详解】 平均数 设中位数为则在 中， 则 总销售额为 （千元） 【小问2详解】 (i)可取0,1,2 所以的分布列为 ， ， (ii) 可取 且 则 令 当 时, 单调递增 当 时, 单调递减 即 时, 取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $