精品解析：云南省临沧地区中学2025届高三下学期适应性月考卷（二）数学试题

临沧地区中学2025届高三适应性月考卷（二）数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于复数（i为虚数单位）的说法错误的是（ ） A. z的共轭复数为 B. C. z的虚部为 D. 2. 已知集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，记为等比数列的前项和.设命题；命题，则命题是命题的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，且向量在向量上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 45 C. D. 7. 已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图象的一条对称轴是直线 D. 函数在上有4个零点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是（ ） A. 在直线上取不同于的点，若，则的面积为1 B. 若直线的斜率存在，则斜率范围为 C. 当直线的斜率为时，的面积为 D. 为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为H，K，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项，则数列的通项公式为________________． 13. 在中，，是所在平面内一点，且，若存在点，使，则最大值为____________． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有________对；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 16. 如图，三棱柱中，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，，直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率； （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 18. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.已知点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，按照上述方法构造点. （1）求曲线的方程； （2）证明为等差数列，并求出的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 19. 若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． （1）验证1是否为和在上的同步斜率； （2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； （3）证明：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沧地区中学2025届高三适应性月考卷（二）数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于复数（i为虚数单位）的说法错误的是（ ） A. z的共轭复数为 B. C. z的虚部为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法运算法则计算；B选项，根据复数乘方运算法则计算；C选项，根据虚部的定义判断；D选项，根据模的公式计算. 【详解】，故A错； ，故B正确； 的虚部为，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 2. 已知集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合一元一次不等式及对数不等式可得，，再由集合交集运算即可得解. 【详解】，， ，， ，即． 故选：B 3. 已知，记为等比数列的前项和.设命题；命题，则命题是命题的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先说明充分性，由，得到，分，，和等情况说明，充分性成立；再用同样的方法说明必要性成立，得到答案. 【详解】设的公比为，则， 若，则必有， 当时，当时，，故； 当时，， 若，则，故， 若，则，故， 若，，故， 综上，充分性成立， 若，当时，，故， 当时，， 由于或或时，的正负均相同，故， 所以，则， 综上，必要性成立， 所以命题是命题的充要条件. 故选：A 4. 已知，，且向量在向量上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影的数量列式求得，然后结合数量积的运算律利用模的运算法则求解即可. 【详解】由题意得，得， 所以． 故选：A 5. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“最美三角形”的概念可知，，利用建立的关系，即可求解. 【详解】由题意，，，、， 且， 所以，即， 所以，即， 所以. 故选：B 6. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 45 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 7. 已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对分类讨论，分离参数求出的范围，最后去并集即可求解. 【详解】当时，若，显然，否则若，就有，矛盾， 所以，而函数的值域为， 所以若方程有解，则的范围为， 当时，若，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，，当时，， 而， 从而的值域为， 而至少有一个零点，所以所求范围即为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由函数的零点、图象的交点求参数的值（或取值范围）问题，往往需要对参数分类讨论，如何划分讨论的区间是思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号是确定的. 8. 在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度. 【详解】 如图，在棱长为1的正方体中，， 因为、为线段上的两个三等分点， 所以， 易知，平面，平面， 所以平面，则， 同理可证，又平面，平面，， 则平面， 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 则， 所以在平面内， 则， 所以， 所以平面内点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 如图，在正三角形中，为中心，圆的半径为，即， ， 所以在直角三角形中， 则， 所以三个虚线弧圆心角弧度数为， 则三个实线弧圆心角弧度数为， 所以点的轨迹长度为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可判断A；根据正态曲线的性质即可判断C；根据回归方程的性质即可判断B；根据的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，数据按照从小到大的顺序排列为， 因为，所以数据第35百分位数是从小到大的第4个数，故A错误； 对于B，数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，则， 去除一个异常点后，其中，则，得到新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以对称轴为，则函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，， 若每一个数据均变为原来的3倍，则，则变为原来的3倍，故D正确. 故选：BCD. 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图象的一条对称轴是直线 D. 函数在上有4个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数周期性的定义结合图象可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项． 【详解】对于A选项，易知函数的定义域为， 因为 ，作出函数的图象如下图所示： 所以，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B选项，当时，，则， 此时，， 因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，故B正确； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的一条对称轴为直线，故C正确； 对于D选项，由，解得， 当时，，可得， 解得，所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：BCD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是（ ） A. 在直线上取不同于的点，若，则的面积为1 B. 若直线的斜率存在，则斜率范围为 C. 当直线的斜率为时，的面积为 D. 为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为H，K，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据，可得是直角三角形，利用勾股定理和双曲线定义可得的面积，判断A；设的方程为：，联立方程组，由方程有两个不互为相反数的异号根得解，判断B；设直线的方程为，联立方程组，由求解判断C；设，，则，先求出的范围即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 即，所以是直角三角形，则， 又因为，所以， 解得的面积为，故A正确； 对于B，因为，直线的斜率存在且不为0，设的方程为：， 联立方程得：， 因为直线交的右支于，两点，故， 解得：， 所以斜率的范围为，或，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，故直线的方程为， 设，， 由B可知，联立方程得：， 故，， ，故C正确； 对于D，设，，则， 因为 ， 令，则， 设，则， 因为对称轴为， 故，则， 所以，故的最小值在时取得，最小值为，故D错误． 故选BD． 【点睛】关键点点睛：对于D，设，，则，先求出的范围即可判断D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项，则数列的通项公式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式列方程组解得首项与公比，根据单调性进行取舍，最后代入即得结果. 【详解】因为是，的等差中项，所以， 所以或， 因为数列单调递增，所以，所以数列的通项公式为． 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本求解能力. 13. 在中，，是所在平面内一点，且，若存在点，使，则最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据判断出点的轨迹，再结合建立合适的坐标系，求出的最大值. 【详解】已知，变形可得，即. 根据向量共线定理可知，与共线，所以点在直线上.  以在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系. 设，，. 因为，根据两点间距离公式可得：， 两边同时平方展开并化简得：， 配方可得：， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  因为存在点，使，所以为点到直线的距离的最小值. 由点的轨迹可知，圆心到直线（轴）的距离为，圆的半径为，所以的最大值为圆的半径.  故答案为：. 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有________对；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为________． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】第一空：由异面直线的概念逐个判断即可，第二空：分别取，的中点，，将刍甍被分为四棱锥和三棱柱．进而可求解. 【详解】由异面直线的判定定理易知： 与成异面直线， 与成异面直线， 与成异面直线， 与成异面直线， 成异面直线，成异面直线， 共12对； 在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为， 则，取的中点，则， ，所以． 分别取，的中点，， 则刍甍被分为四棱锥和三棱柱． 又因为， ， 又因为 所以， 所以该刍甍的体积为． 故答案为：12； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解； （2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 ①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 16. 如图，三棱柱中，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，，直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，． 连接，，取中点， 因为， 所以，，，平面， 所以平面，平面，所以． 又，，所以为的中点，所以平面为矩形，所以， 又，，平面． 所以平面，在平面内，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直，再根据线面垂直得出线线垂直； （2）先计算线面角正弦值得出边长，再建立空间直角坐标系分别求出法向量，最后计算面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得与平面所成的角为， 故，则，则． 以所在直线为轴．所在直线为轴，过作垂直于于点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，则， 设平面与平面的夹角为， 则． 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率； （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3） X 2 4 5 6 P 【解析】 【分析】（1）分析小明两次获奖的情况有两种求得到结果； （2）根据题意分程序运行2次，小明获奖，程序运行4次，小明获奖，共有五种情况求和计算求解； （3）根据，结合（1）（2）问分析，得到多种情况，分别求出概率得出X的分布列，再求数学期望. 【小问1详解】 程序运行2次小明获奖的情况有，这两种， 其概率. 【小问2详解】 当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖. 程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种， 其概率， 故当时，小明获奖的概率. 【小问3详解】 当时，的所有可能取值为2，4，5，6. 由（1）可知，由（2）可知， 当时，包含，，，这四种情况， 其概率， . 故X的分布列为 X 2 4 5 6 P 故. 18. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.已知点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，按照上述方法构造点. （1）求曲线的方程； （2）证明为等差数列，并求出的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）由题可知，， 可设直线的方程为. 将它与方程联立得， 所以，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. 故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义即可得到结果； （2）联立直线方程和抛物线方程，用韦达定理即可证明为等差数列，进而求出的通项公式； （3）对n为奇数或者偶数分情况讨论，利用分组求和，即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 因为动圆经过定点，且与直线相切， 即动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等. 又点不在直线上，由抛物线的定义可知， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动圆圆心的轨迹方程，即曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知，故， 则. 当为偶数时，令，则 . 当为奇数时，. 故. 19. 若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． （1）验证1是否为和在上的同步斜率； （2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； （3）证明：当且时，． 【答案】（1）是 （2） （3） 令，由（2）知在区间上恒成立， 当且时，，令，得． 所以 即当且时，． 【解析】 【分析】（1）由题意知，只需证时，，然后分别构造函数，，利用导数判断其单调性，从而可证得结论； （2）由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，对函数求导后，分和两种情况分析函数的单调性求解即可； （3）由（2）知在区间上恒成立，令，得，然后利用累加法可证得结论. 【小问1详解】 1是和在上的同步斜率， 证明如下： 由题意知，只需证时，． 令，则， 所以时，，在上单调递增， 又因为，所以时，，即在上恒成立． 令，则恒成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以时，， 即1是和在上的同步斜率． 【小问2详解】 解：由题意知恒成立， 令，则在区间上恒成立， ， 当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，，符合条件； 当，即时，时，， 在区间上单调递减， 所以存在，使，不符合条件． 综上，a的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $