精品解析：四川省成都市玉林中学2024-2025学年高一下学期3月诊断性评价数学试题

成都市玉林中学高2024级高一下期3月诊断性评价试题 数学 命题人：高一年级备课组 审题人：高一年级备课组 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用和角正切公式求函数值即可. 【详解】由. 故选：A 3. 在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：根据向量的加法的三角形法则有，故B正确； 对于C：根据向量的减法有，故C错误， 对于D：，故D正确； 故选：C. 4. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的性质和特殊值可得. 【详解】的定义域为，， 则为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC， 又，排除B，只有D符合， 故选：D. 5. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可. 【详解】由题知，，是方程的两根， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 故选：B 6. 在中，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状. 【详解】由题设， 则，又， 所以，即一定是等腰三角形. 故选：C 7. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得且，结合余弦型函数的单调性、对称性判断函数值的大小即可. 【详解】由题设，则且， 所以与的单调性相同，而，且 所以，则，即， 所以，故. 故选：C 8. 设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及函数的对称中心得、，即可得解析式，再由余弦函数的区间值域，结合其图象得，即可得解. 【详解】由函数的图象关于点对称，则且， 所以，，则，即， 当，则，此时， 所以，结合余弦函数的图象知，可得. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值判断A；由和角正切公式得，即可求值判断B；由诱导公式、二倍角正弦公式化简求值判断C；二倍角余弦公式化简求值判断D. 【详解】A：，对； B：由，则， 所以，对； C：，错； D：，错. 故选：AB 11. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，判断下列说法中正确的有（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象向右平移个单位长度后与纯音的图象重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A；由正弦型函数区间上的单调性判断B；将代入解析式化简，与原函数图象是否重合判断C；根据图象平移求解析式判断D. 【详解】A：由 ，且定义域为R， 所以是奇函数，对； B：由，则，，， 所以在上都单调递增， 所以在区间上单调递增，对； C：由，显然与的图象不重合，即不是函数的一个周期，错； D：函数的图象向右平移个单位长度有，对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，都是锐角，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由，应用差角余弦公式展开，结合已知求得，即可求角的大小. 【详解】由， 又，都是锐角，则，又，，则， 所以，故. 故答案为： 13. 已知函数的部分图象如图所示，存在，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据图象得到，令，讨论、、，结合正弦函数的性质求对应，即可得最大值. 【详解】由图知，且， 所以，又，， 所以，故，由，则， 故在上存在，使， 由在上单调递增，在上单调递减，且上，上， 注意，，，讨论如下： 若时，即，则，则， 所以，则， 所以，故其最大值为； 若时，则，且， 所以，则，此时无最大值； 若时，则或， 所以或，则或； 综上，的最大值为. 故答案为： 14. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得且在上单调递增，进而得到，讨论即可得参数范围. 【详解】由题设，，则，则， 由都有，又， 所以在上单调递增，此时， 所以，可得， 当有，故当有， 当有，当有， 又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 【答案】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 16. 已知， （1）求的值. （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将已知条件两边平方，结合二倍角正弦公式化简整理，即可求值； （2）将目标式化为，根据已知及同角三角函数的平方关系求，即可得. 【小问1详解】 由题设，可得； 【小问2详解】 ， 由且，，则， 所以，可得或（舍）， 所以. 17. 设函数. （1）求证：. （2）若将函数的图象向右平移个单位长度得到的偶函数的图象，求的最小值. 【答案】（1） 由题设，则，得证； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，结合二倍角余弦公式即可证； （2）根据已知及三角恒等变换得，再由图象平移得的解析式，进而确定参数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则 ， 上述函数图象向右平移个单位长度得到的偶函数的图象， 所以，故， 则，，故最小. 18. 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转.若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为，. （1）求的函数解析式. （2）求的单调递增区间. （3）求的值. 【答案】（1）； （2）递增区间为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有且，即可求参数值，进而得到解析式； （2）利用余弦型函数的单调性求的单调递增区间； （3）利用余弦型函数的周期性求函数值即可. 【小问1详解】 由题设，且，， 所以，可得，取，故； 【小问2详解】 由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，可得， 即的递增区间为； 【小问3详解】 由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 19. ，且. （1）方程在有且仅有一个解，求的取值范围． （2）设，对，总，使成立，求的范围． （3）若与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，分析可知函数与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）求出函数在上的最小值，可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）利用函数的对称性可得出函数的解析式，由结合余弦函数的图象可得出，结合正弦函数基本性质可解此不等式. 【小问1详解】 解：因为， 则，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，， 当时，， 作出函数与函数在上的图象如下图所示： 由图可知当或时，即当时， 函数与函数在上的图象只有一个公共点， 所以，实数的取值范围是. 【小问2详解】 解：因为， 由题意，对，总，使，则， 当时，，则， 所以，，使得， 所以，， 因为，则， 令，函数在上单调递减， 所以，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：因为与的图象关于对称， 则 ， 因为，令， 则，即， 作出函数的图象如下图所示： 由可得， 即， 因为，故，可得， 解得或， 即， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市玉林中学高2024级高一下期3月诊断性评价试题 数学 命题人：高一年级备课组 审题人：高一年级备课组 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在中，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 7. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，判断下列说法中正确的有（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象向右平移个单位长度后与纯音的图象重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，都是锐角，，，则______. 13. 已知函数的部分图象如图所示，存在，则的最大值为______. 14. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 16. 已知， （1）求的值. （2）求的值. 17. 设函数. （1）求证：. （2）若将函数的图象向右平移个单位长度得到的偶函数的图象，求的最小值. 18. 如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转.若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为，. （1）求的函数解析式. （2）求的单调递增区间. （3）求的值. 19. ，且. （1）方程在有且仅有一个解，求的取值范围． （2）设，对，总，使成立，求的范围． （3）若与的图象关于对称，求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $