精品解析：四川省内江市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

内江一中高2027届高一下半期考试试题 数学 1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3、考试结束后，监考人将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案． 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，若与共线，则（ ） A. 9 B. 4 C. D. 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知的顶点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，是关于的方程，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于Q，作于R，记，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 是定值 D. 是定值1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为钝角 D. 向量在上的投影向量为 10. 已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．则的解析式为________． 13. 已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为________． 14. 在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，与的夹角为， （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知，， （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，，， （1）求角； （2）以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积. 18. 已知函数的最大值为2， （1）求a的值，及的单调递增区间； （2）若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； （3）当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围． 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； （3）已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2027届高一下半期考试试题 数学 1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3、考试结束后，监考人将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案． 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D 2. 已知向量，若与共线，则（ ） A. 9 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若与共线，则，解得. 故选：C. 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，，由正弦定理得， . 故选：D 4. 如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中点向量公式求解即得. 【详解】在中，D为BC边的中点，E为AD的中点，. 故选：A 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】运用函数图像平移规律“左加右减”即可解决. 【详解】运用函数图像平移规律“左加右减”, 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可. 故选：D． 6. 已知的顶点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由 的三个顶点的坐标分别为， 可得，则且， 所以. 故选：C. 7. 在中，已知，是关于的方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用韦达定理，然后由诱导公式、两角和的正切公式计算． 【详解】由已知，， 因为是三角形内角， 则. 故选：A. 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于Q，作于R，记，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 是定值 D. 是定值1 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理列式，结合差角的余弦化简即得. 【详解】当点与点都不重合时，，当点与点之一重合，上式也成立， 在中，由余弦定理得 ， 因此，ABD错误，C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为钝角 D. 向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合各选项的条件逐一求解判断. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，又，则， 而，因此为锐角，C错误； 对于D，，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间. 【详解】函数，最小正周期，A选项正确； 由，解得函数的图象的对称轴方程为， 当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误； 时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确. 故选：AD 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D. 【详解】对A，由余弦定理知，， ， 上述三个等式相加得，A正确； 对B，因为， 所以，B正确； 对C，当时，式子左边，右边， 由得， 此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误； 对D，设，则， 则， 因为，所以， 即， 整理得，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，直接求出，进而可得，再利用图象过点，即可求解. 【详解】由表易知，，又，所以，解得， 又时，，所以，得到， 又，所以，则， 故答案为：. 13. 已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】由点P在线段AB上，，得， 设点，又，则， 于是，， 所以P的坐标为. 故选： 14. 在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解. 【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 依题意，，，， 在中， ， 由正弦定理得，即，解得， 所以我方军舰大约需要4小时到达C岛． 故答案为：4 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，与的夹角为， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）利用数量积的定义及运算律求解. 【小问1详解】 由，，与的夹角为，得， 所以. 【小问2详解】 由（1），得. 16. 已知，， （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式，结合同角公式求解即得. （2）由（1）的结论，利用同角公式的平方关系及和角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由，得， 由，得，即， 联立解得，， 所以. 【小问2详解】 由，得， 由（1）得，， 所以 . 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，，， （1）求角； （2）以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由边化角，再结合，即可求解； （2）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 可得：， ， ， 又，， 所以，即. 【小问2详解】 由题意得， ，， 则，即， 由余弦定理得，所以， 由，得，则. 18. 已知函数的最大值为2， （1）求a的值，及的单调递增区间； （2）若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； （3）当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，利用给定的最大值求出，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）求出相位所在区间，再利用正弦函数单调性列出m的不等式求解. （3）方程有两个不相等的实数根，转化为函数与函数的图象有两个交点，结合图象求解即可. 【小问1详解】 函数，则， 因此，，由， 得，所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 由在区间上单调递减，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 令，由，得， 由方程有两个不相等的实数根，得直线与函数的图象有两个交点， 作出函数在的图象，如图， 观察图象得，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； （3）已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果. （2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果. （3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合三角函数性质即可得结果. 【小问1详解】 ， 所以函数的相伴向量. 【小问2详解】 依题意，，由，得， 又，即，则， 又，由正弦定理，得，， 即， 由，得，则，的取值范围为， 所以有最大值. 【小问3详解】 由（2）知， 则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $