专题二 与圆有关的证明与计算-【中考宝典】2025年中考数学（深圳专用版）

口中考宝典·数学（深圳专用版） 专题二与圆有关的证明与计算 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上，∠PBC=∠C. (1)求证：CB∥PD: (2)若BC=12,BE=8,求⊙O的半径 2.(2024·盐田二模)如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，AO=AP,OP绕点P逆时针旋转 60°，点O旋转到点C,连接CO交⊙O于点D,连接DP. (1)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB=2,求阴影部分的面积. 256 第四部分题型专题突破口 3.(2024·光明二模)如图，过圆外一点P作⊙O的切线，切点为A,AB是⊙O的直径.连接PO,过点A 作PO的垂线，垂足为D,同时交⊙O于点C,连接BC,PC (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若BC=2,OB=√10OD,则切线PA的长为 4.(2024·龙华二模)如图，以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E. (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件，使直线DE为⊙O的切线，并说明理由； (2)在I)的条件下，若DE=6,tan∠ADE=号，求⊙0的半径。 257 口中考宝典·数学（深圳专用版】 5.(2024·南山二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90,点D是AB上一点，且∠BCD=号∠A,点O在 BC上，以点O为圆心的圆经过C,D两点 (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若imB=号，⊙0的半径为3，则AC= 6.(2024·福田三模)如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为AC的中点，连接AD,CD,过点 C作CE∥AD交AB于点E,连接DE,DB. (1)证明：DC=DE: (2)如图2，过点D作⊙O的切线交EC的延长线于点F,若AD=√2，且AC=BC,求EF的长， 图2 258新爆标中考宠典盐学（深胡专用版） 解得h=250(√3一1)≈183(m), .∠AOD=∠COD, ,h>180,∴.MN不穿过文物保护区 在△PAO和△PCO中， 2,解：如答图所示，过点E作EH⊥AG于H,则四边形CDHE OA=OC, 是矩形， ∠AOD=∠COD, OP=OP, '.△PAO≌△PCO(SAS), 答图 .∠PCO=∠PAO=90°， 4232° A D H F G :OC是⊙O的半径，∴.直线PC为⊙O的切线， 答图 (2)3,/10 ..DH=CE=1 m,EH=CD=1.8 m, 4.解：(1)增加条件：AB=AC 在Rt△CDF中，∠CDF=90°，∠CFD=42, 证明：连接OD,AD,如答图， tan∠CFD=DF, CD :AB为⊙O的直径，∠ADB=90, .AB=AC,/ADB=90,..BD=CD, .DF= CD tnCED=82≈8=2(m) AO=BO,BD=CD,.OD∥AC, 9 10 又'DE⊥AC,∴.∠ODE=∠DEC= 答图 在Rt△EHG中，∠EHG=90°，∠EGH=32°， 90°，即OD⊥DE, EH OD为⊙O的半径，.DE为⊙O的切线： tan∠EGH= HG ∴.HG= EH (2)在R△ADE中，DE-6,a∠ADE-号， t万=92=≈=2.88(m), 5 8 AE=-DBa∠ADE=6X号=4， ∴.FG=DH+GH-DF=1+2.88-2=1.88(m), :∠ADB=∠ADC=90°，∠ADE+∠EDC=90, 答：调整后的滑梯会多占长1.88m的一段地面。 DE⊥AC,∴.∠DEC=90°，∴∠EDC+∠C=90°， 专题二与圆有关的证明与计算 ∴∠C=∠ADE, 1,(1)证明：：∠P=∠C,∠PBC=∠C, DE 6 ..EC= DE -=9, ∴∠P=∠PBC,∴CB∥PD: tan∠C tan∠ADE= 2 (2)解：如答图所示，连接CO, ,.AC=AE+EC=4十9=13， 设OC=OB=x, 则OE=OB-BE=(x一8)， 由1)知AB=AC=13,A0=0B= 2， 在Rt△COE中，由勾股定理得 CE=CO-OE, 即⊙0的半径为号 在Rt△CBE中，由勾股定理得 答图 5.(1)证明：如答图，连接OD,则∠BOD=2∠BCD, CE=BC-BE ∴x2-(x一8)2=122-82，解得x=9,∴⊙0的半径为9. “ZBCD=名∠A, 2.解：(1)PD是⊙0的切线，理由如下： 即2∠BCD=∠A,∴∠BOD=∠A, 连接AD,如答图所示， ∠ACB=90°， 根据题意得∠OPC=60°，PO= .∠B+∠BOD=∠B+∠A= PC,∴△OCP是等边三角形， 90°，∠ODB=90°， 答困 ∠AOD=60, .OD⊥AB, ,AO=OD,∴.△AOD是等边三角形， OD为⊙O的半径，∴直线AB是⊙O的切线. ∴.∠DAO=∠ADO=60°，AO=AD: (2)6 .AO=AP,..AP=AD, 答图 6,(1)证明：设CE,BD交于点G,如答图所示， .∠APD=∠ADP, AB为⊙O的直径，∠ADB=90°， ∠DAO=∠APD+∠ADP,∴∠ADP=30°， ,CE∥AD,∴.∠EGB=∠ADB=90°， ∴∠PDO=∠ADP+∠ADO=90°，∴PD⊥OD, ∴.∠EGB=∠CGB=90°， :OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线： :点D为C的中点，∴AD=CD,∠EBG=∠CBG, (2).AB=2,∴.AO=D0=1,.OP=2AO=2, 又：BG=BG,∴.△CBG≌△EBG(ASA),∴.EG=CG, ∴.DP=√OP-OD=√2-下=3， 又'DG=DG,∠DGE=∠DGC, .△DGEa△DGC(SAS), Sam=DP0D-号×X1-g. ∴.DE=DC: S50D-60,xX1 360 =， (2)解：如答图所示，连接OD交EC于点H,连接OC, :C=C,∠AOC=90°， :阴影部分的面积=Sam一S0心-号-音 又D为AC的中点， .∠AOD=∠COD=45° 3.(1)证明：连接OC,如答图，，PA为⊙O的切线，A为切点 .OD=OA, ∠PAO=90, OA=OC,PO⊥CA, ∠AD0=∠DA0-180,45=67.5. 2 22 参考著来 同理可得，∠0DC=∠0CD=180°一45= .二次函数的表达式为y=一x2十2x十3： 2 (2)如答图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q, 67.5, 设P(x,-x+2z+3),设直线BC的函数关系式为y= :EC∥AD,·∠DHF=∠ADO= mx十n, 67.5°： DF是⊙O的切线，.OD⊥DF, 则/3m+n=0, n=3, ∠ODF=90, ∴.∠FDC=∠ODF-∠ODC=22.5°， 答图 解得/m=一1， 1n=3, ∠F=90°-∠DHF=22.5, ∴.DC=CF,∠DCE=45°： 得直线BC的解析式为y一十3，A0 则Q(x,一x十3)， 由(1)知，DC=DE,.∠DEC=∠DCE=45°， ∴△DCE是等腰直角三角形， San=Sae+Saow=专QP 答图1 :AD=D,AD=2,.DE=DC=CF=AD=√2： 0=是×(-+3a)x3=-2(e-昌)广+器， 在等腰直角△DCE中，EC=√DC+DE=2, ∴.EF=EC+CF=2+2 当x=号时，△BPC的面积最大，此时，点P的坐标 题型四满分解答突破 为（受） 专题一 函数探究与综合应用 一、 △BPC的面积的最大值为？， 1.解：0y=-子+4 (3)存在点P,使四边形POPC为菱形， 如答图2，设P(x,一x十2x十3)， (2)"四边形LFGT,四边形SMNR均为正方形，FL=NR= 连接PP交CO于点E, 0.75 m,FG-MN-FL-NR-0.75 m. 若四边形POPC是菱形，则 如答图，延长LF交BC于点H,延长RN交BC于点J,则 PC=PO,PE⊥CO, 四边形FHJN,四边形ABHF均为矩形， ..FH=AB=3 m,FN=HJ, OE=CE=是 0 ∴.HL=HF+FL=3.75m, “y-2+4,当y-35时， -+2x+3=2 答图2 35=一十4，解得x=士1， 解得玉-2汁0 2 ∴.H(-1,0),J(1,0), 答图 5-2-西 2 ..FN=HJ=2 m,:.GM=FN-FG-MN=0.5 m; (3):BC=4m,OE垂直平分BC,∴OB=OC=2m, 六点P的坐标为（牛，是）成(2厘，) .B(-2,0),C(2,0),且A(-2,3), 二、 设直线AC的解析式为y=kx十6，则(2+6=0， 1.解：(1)不存在 -2k+b=3, (2)①存在 3 「k= ②设新矩形的长和宽为x,y,则依题意x十y=?xy=3, 解得 3 ∴y= 3 4x+2 5 b=2' 联立+2得-名x+3=0, :太阳光为平行光，设过点K平行于AC的光线的解析式 xy=3, 为y=-是m 因为△<0，此方程无解 故这样的新矩形不存在： 由盟意，得y=一是x十m与抛物线相切，联立 如答图，从图象来看，y=一x十 -2+4， 和y一子在第一象限无交点，故 整理得x2一3x十4m一16=0， y--rtm. 不存在. @>器 答困 则4=(-3)-44m-16)=0,解得m-得 y=-是+得当y=0时-设K(得0 2.解：1y= 描点，连线，函数图象如答图 y B(-2,0.4BK-2+7径-0m 所示； 2.解：(1)把点B,点C的坐标代人解析式，得 (20(侵m,n）9 9+36+6=0解得2： 1c=3, 1c=3, ①(h+zmk+n）@架 23 0123456789x 答图