第24课时 圆的有关概念和性质-【中考宝典】2025年中考数学（深圳专用版）

第二部分考点基础过关门 第六章【圆 第24课时 圆的有关概念和性质 考点分析 深圳近五年真题分析 命题点 2020 2021 2022 2023 2024 圆心角、圆周角定理 及推论 题20(2)，4分 题19,8分 题10,3分 题13,3分 垂径定理 题18(2)，5分 1,理解圆、孤、弦、圆心角、圈周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点 与圆的位置关系 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条孤 3.探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系，知道同弧（或等孤）所对的圆周角相 新课标要求 等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对孤上的圆心角的一 半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形 的对角互补 4.了解三角形的内心与外心 5.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 课前小测 1.(改编)在半径为6的圆中，弦AB的长度，不可能是 A.4 B.5 C.10 D.14 2.(改编)下列说法中，正确的是 A.同心圆的面积相等 B.周长相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心 3.(改编)如图，点A,B,C在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠AOB的度数为 A.40 B.50 C.60 D.80 D 菜3题图 第4题图 第5题图 4.(改编)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E,则下列结论不一定正确的是( A.CD=2ED B.AC-AD C.OE=BE D.OA=OB 163 口中考宝典·数学（深圳专用版） 5.(改编)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,若AD=DC=CB,则∠A的度数为 考点知识梳理 考点圆中的有关概念及性质 镭核心笔记 【跟踪训练】 1.圆：平面上到定点的距离等于 1.(改编)AB是⊙O最长的弦，若AB=8,则⊙O的半径长为( 定长的所有点组成的图形. A.8 B.7 C.6 D.4 2.弦：连接圆上任意两点间的线 段叫做弦，经过圆心的弦 2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E,BC=BD,∠CDB 叫做直径. =30°，AC=2√3，则OE的长为 ( 3.圆弧：圆上任意两点间的部分 叫做圆孤，简称孤.圆的任意一条 A.③ 2 B.3 C.1 D.2 直径的两个端，点把圆分成两条孤， 每一条孤都叫做半圆·大于 半國的弧叫做优孤：小于半 圆的孤叫做劣孤· 4.能够重合的两个圆叫做等圆 第2题图 第3题图 在同圆或等圆中，能够互相重合 3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°，则 的孤叫等孤。 BC的长为 特别提醒：孤长相等的孤不一定 是等弧 A.4√3 B.8 C.42 D.4 考点2弧、弦、圆心角的关系 球核心笔记 【跟踪训练】 1.定理：在同圆或等圈中，相等的圆心角所对的孤 4.如图，AB,CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧 相等，所对的弦相等，所对的弦心距（圆 心到弦的距离)相等· BC的中点，连接BC,DE.若∠ABC=22°，则 2.推论：在同圆或等圆中，一组量相等，那么其 ∠CDE的度数为 他各组量也分别相等。 A.22 B.32 审特别提醒：运用这个定理，一定要记住前提条件“在 C.34° D.44° 同圆或等圆中” 考点③垂径定理及其推论 审核心笔记 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤。 2.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分孩所对的两条孤 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤 平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤， 3.推论2：圆的两条平行弦所夹的孤相等 4.推论3：过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣孤、平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中任意两 项，则必具备另外三项。 球特别提醒：平分弦（这条弦不是直径）的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的两条孤， 64 第二部分考点基础过关门 【跟踪训练】 5.如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD,垂足为点E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为 A.365 B.24√5 C.183 D.723 6.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两 个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A,B,E三个接触点，该球 的大小就符合要求.图2是过球心及A,B,E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径， AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E,AC LCD,BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁 球的直径为 A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm 图2 考点④圆心角、圆周角之间的关系 核心笔记 梦【跟踪训练】 1.圆周角定理：一条孤所对的圆周角 7.如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则 等于它所对的圆心角的一半 ∠B= 2.推论1：同孤或等孤所对的圆周角 相等· 3.推论2：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径· A.70 B.60° C.50° D.40° 零特别提醒：同孤或等孤所对的圆 周角相等，而不是同弦或等弦。 考点⑤圆的内接四边形 审核心笔记 切【跟踪训练】 1.定义：如果一个多边形的所有顶 8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则 点都在同一个圆上，这个多 ∠ABC的度数是 边形叫做圆内接多边形，这个圆 叫做多边形的外接圆. 2.性质：圆内接四边形的对角互补 审特别提醒：圆内接四边形对角互 补且任意一个外角等于它的内 对角 A.80° B.100 C.140 D.160° 165 口中考宝典·数学（深圳专用版） 例题精讲 考点1圆内接多边形求度数 例1如图，∠DCE是⊙O内接四 变1 如图，正六边形ABCDEF和 H 边形ABCD的一个外角，若 正五边形AHIJK内接于 ∠DCE=72°，那么∠BOD ⊙O,且有公共顶点A,则 的度数为 ∠BOH的度数为 度 考点2求圆周角度数 常考题型：(1)利用圆周角定理求角；(2)利用圆周角定理推论求角. 例2(2022·阜新)如图，点A,B,C是⊙0上的三变2 如图，BD是⊙O的直径，点A,C在圆上， 点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是( ∠A=50°，∠DBC的度数是 A.35 B.55 A.50° B.45 C.60° D.70° C.40° D.35 考点③垂径定理结合勾股定理 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·安徽)已知四边形ABCD内接 (1)证明：OA⊥BD, 于⊙O,对角线BD是⊙O的直径， ∴AB=AD,∴∠ACB=∠ACD, (1)如图1，连接OA,CA,若OA⊥BD,求证：CA 即CA平分∠BCD; …2分 平分∠BCD: (2)解：延长AE交BC于点M,延长CE交AB于 (2)如图2，点E为⊙O内一点，满足AE⊥BC, 点N,如答图， CE⊥AB.若BD=33,AE=3,求弦BC ,AE⊥BC,CE⊥AB, 的长 ,'.∠AMB=∠CNB=90°， (1)证明： BD是⊙O的直径，∴.∠BAD=∠BCD=90°， (2)解： ∴∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB, ∴.AD∥NC,CD∥AM, 图2 .四边形AECD是平行四边形，…6分 ..AE=CD=3, .BC=√BD-CD=√(33)2-32=32.… …………8分 满分：8分 实得： 166 第二部分考点基础过关 例3(2024·扶沟县一模)京西某游乐园的摩天 变3(2024·天河区校级一模)如图，在平面直角 轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周 坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴交于 末休闲的好去处.如图，如果该摩天轮主视 A,B两点，弦CD⊥AB,AC与y轴相交于点 图的直径为88米，最高点A距地面100 P,若点A的坐标为(4a,0),且AP=2PC.则 米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟. CD的长为 但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距 A.4a 离不低于34米时为最 B.6a 佳观景期，那么摩天轮 运行一圈中最佳观景 0 C.23a 的时长为 分钟 D.43a 图1 图2 中考演练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率：/6】 1.(2023·广东)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为 A.20 B.40 C.50 D.80 第1题图 第2题图 第3题圈 2.(2021·广东)如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD= 1,则⊙0的直径为 A.√ B.23 C.1 D.2 3.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过 拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为 m 4.(改编)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12.若以点C为圆心，CA的长为半径的圆恰好经过AB的 中点D,则AB= 幕4题图 第5题图 第6题图 5.(2023·深圳)如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线与⊙O交于点D,若 ∠ADC=20°，则∠BAD= 6.(改编)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测 量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的直径为 167 口中考宝典·数学（深圳专用版） (二)能九提升 【建议用时：5分钟 正确率：/5】 1.(2024·青山区校级三模)如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=2√3，以AB为直径的⊙O分别交 AC,BC于点D,E,连接ED,则CD的长为 ( A.1 B. C.2 D. 第1题图 第2题图 3题图 第4题图 2.(2023·湖北)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若∠C=20°，∠BPC 70°，则∠ADC的度数为 ( A.70° B.60 C.50° D.40 3.(2023·山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°， 则∠DBC的度数为 A.40 B.50 C.60 D.70° 4.(2022·泰安)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙O的半径为( ) A.2√3 B.3√2 C.2√5 D.√5 5.(2024·深圳)如图，在△ABD中，AB=BD,⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连接DC并延长交BE于点E. (1)求证：DE⊥BE; (2)若AB=5√6，BE=5,求⊙O的半径 168 第二部分考点基础过关 00 (三)综合应用 【建议用时：10分钟正确率：/1】 1.(2022·深圳)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF,EF∥AB,CO⊥ AB,EF的中点为D,OA=4. 50 0 图1 图2 图3 (1)如图1，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度： (2)如图2，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为人射光线，NH为反射光线， ∠0HM=∠OHN=45°，tan∠COH=是，求ON的长度， (3)如图3，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°，HN为反射光线，交半圆O于点 N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长 169 口中考宝典·数学（深圳专用版） (四)命题新方向 1.【跨学科】综合与实践 问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎 (w)范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形.如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的 方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB=AC,在圆上标记A,B,C三点；将“矩”向右旋转， 使它左侧边落在A,B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距 离的A,B,C,D四点，连接AD,BC相交于点O,即O为圆心 图2 图3 图4 图5 问题解决：(1)请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3， 点A,B,C在⊙O上，AB⊥AC,且AB=AC,请作出圆心O:(保留作图痕迹，不写作法) 类比迁移：(2)小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现， 如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O.如图4，点A,B,C在⊙O上，AB⊥AC,请作出 圆心O:(保留作图痕迹，不写作法) 拓展探究：(3)小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规 作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5，点A,B,C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规 作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)请写出你确定圆心的理由： 170null