第20课时 解直角三角形的实际应用-【中考宝典】2025年中考数学（深圳专用版）

口中考宝典·数学（深圳专用版） 第20课时 解直角三角形的实际应用 考点分析 深圳近五年真题分析 命题点 2020 2021 2022 2023 2024 仰角与俯角 题8,3分 坡角、坡度（坡比）》 题9,3分 方位角 题10,3分 解直角三角形 题8,3分 题21(2)，3分 题8,3分 的实际应用 新课标要求 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题 课前小测 1.(2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部 点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50m,则 这栋楼的高度为 m(结果保留根号). 2.(2024·松原模拟预测)木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图1），被称为“亚洲第 一灯塔”，如图2，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于 它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继 续向北航行至直线AO上的点D处 (1)∠BOC=度，∠D=度； (2)求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，√3≈1.73.结果 精确到小数点后一位) 图1 图2 136 第二部分考点基础过关 考点知识梳理 考点仰角与俯角 核心笔记 【跟踪训练】 视线 铅 1.(2024·南通三模)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆 仰角 直 水平线 俯角 PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°，测得杆底端点Q的仰角是30°， 视线 PQ-9m则点A到山坡底部点C的距离为 m.(结果 1.抬头时，视线与水平线的夹角叫 仰角 保留根号) 2.低头时，视线与水平线的夹角叫 俯角· 考点2坡角、坡度（坡比） 审核心笔记 审【跟踪训练】 i=1:m 2.(2024·自贡三模)如图，是水库大坝横断面的部分，坝高h=6m, 迎水斜坡AB=10m,斜坡的坡角为a,则该大坝的坡度为 1.坡面与水平面的夹角α叫城角 2.坡面的铅垂高度h与水平宽度1 的比叫坡度（坡比），记为i,i A号 ,坡度通常写成1：m的 4 形式 考点3方位角 审核心笔记 【跟踪训练】 方位角一般指以观测者的位置为 3.(2024·济宁一模)如图，一艘船由A港沿北偏东50°方向航行 中心，将正北或正南方向作为起始 100km至C港，然后再沿北偏西25°方向航行至B港，B港在A 方向，旋转到目标方向所形成的角 (一般指锐角) 港北偏东20°方向，则A,B两港之间的距离为 北30 A.(50√3+50)km B.(50√5-50)km 北偏东30° 西 南偏西45 0东 C.50√3km D.50 km 45 考点④解三角形的实际应用 类型一背靠背型： 1.模型分析：如图，两个直角三角形有一条公共边，互相靠着，我们称之为“背靠背 型”，把图形经过平移和旋转还可以得到“背靠背型”的相关变式图形. B 2.“背靠背型”特点：如图，通过在三角形内作高AD可将原来的斜三角形化为两个直角三角形来求 解.公共边AD关联两个直角三角形，往往是解题的关键，等量关系：BD十CD=BC, 137 口中考宝典·数学（深圳专用版） 审【跟踪训练】 4.(2024·甘肃)习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中 和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中， “风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度” 的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD,EF在AH两侧，CD=EF= 1.6m,点C与点E相距182m(点C,H,E在同一条直线上)，在D处测得简尖顶点A的仰角为45°， 在F处测得简尖顶点A的仰角为53.求风电塔筒AH的高度.（参考数据：血53≈号c0s53≈号， a53) D 45 539.6 类型二母子型： 变式1 玲子型 变式2 AC 转 1.模型分析：如图，“母子型”是指大的“母直角三角形ACD”中有一个小的“子直角三角形ABD”.它 们有公共直角∠D,且均位于直角边AD的同一侧. 2.“母子型”特点：通过在斜三角形ABC外部作高AD将原来的斜三角形化为两个直角三角形求解， 公共高AD关联两个直角三角形，往往是解题的关键，等量关系：BD十BC=CD 138 第二部分 考点基础过关口 审【跟踪训练】 5.(2024·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）.某 学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,EC⊥AB,垂足为 C.在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA)为6°，又在E处 测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB)为31°.（参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1） (1)求线段CD的长（结果取整数）： (2)求桥塔AB的高度（结果取整数）. 图① 图② 类型三其他类型： 1.不管是否符合模型，关键在于通过添加辅助线构造直角三角形，常见的辅助线是作边上的高. 2.在直角三角形中至少已知一边一角才能求其他边，若只有已知角没有已知边时，常常要设未知数， 用方程思想求解 【跟踪训练】 6.(2023·安徽)如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A点到R 点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求 无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m).(参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈ 0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) 36.99 A3242 40m R 139 口中考宝典·数学（深圳专用版） 例题精讲 考点1仰角与俯角 例1 (2023秋·河南省校联考期末)如图，小诚 变1 (2024·道里区模拟)如图，某数学兴趣小组测量 在距离旗杆底部B点5m的A处测得旗 一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角 杆顶部C的仰角为60°，则旗杆BC的 为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A, 高为 ( ) B,D三点在同一直线上，若 A.10m B.5√5m AB=(8√3+8)米，则这棵树 C.5m D.√3m CD的高度是 米 459 考点②坡角、坡度（坡比】 常考题型：(1)已知坡度求水平距离或铅直高度：(2)已知坡角求水平距离或铅直高度， 例2如果在高为2米，坡度为1：2的楼梯上铺地 变2如图，某登山队在攀登一座坡角为35°的山，每 毯，那么地毯长度至少需要 爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相 A.2米 B.6米 邻两根标杆之间的水平距离为 C.25米 D.2+5米 80米，那么这两根标杆在坡面上 的距离AB为 359 考点3解三角形的实际应用 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 图(1)是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由 解：(1)如答图，设EF所在直线交GH于点M, 手机夹架、多节套管和支架脚连接而成.使用时 GH∥BC,EF⊥BC,∴.FM⊥GH, 通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度.(2)是其 ,FG=FH=13cm,∠GFH=120°， ∠GFM=∠HFM=60,… ……2分 简化示意图，手机ABCD(为矩形)与其下方套 FM=FH·cos60=13X =6.5(cm), 管EF连接于点E,E为BC的中点，EF= .EF=26 cm, 26cm,支架脚FG=FH=13cm,BC与地面 .点E到地面的高度EM=EF+FM=32.5(cm).…4分 GH平行，EF⊥BC (2)如答图，延长AB与GF交于点N, ,∠FGH=40°，FG=13cm, (1)当∠GFH=120°时，求点E到地面的高度： ∴.GM=FGXcos40≈13×0.77=10.01(cm), (2)若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH=40, :E为BC的中点，BC=16cm,.BE=8cm,…6分 BC=16cm求点G到直线AB与GF交点的距 如答图，过，点N作NP⊥EM,垂足为P,且NP=BE=8cm, 离.（参考数据：sin40°0.64， 号得△FNPAFGM,-部中宽02O 8 cos40≈0.77，tan40°≈ ∴，FN≈10.39cm, 点G到直线AB与GF交点的距离GN=GF-FN=13 0.84,W3≈1.73.结果精确 10.39≈2.6(cm).……8分 到0.1cm) 图(1】 图(2 解： 满分：8分 实得： 140 第二部分考点基础过关口 例3(2024·辽宁)如图1，在水平地面上，一辆 变3 (2024·永城市三模)鹤壁市玄天洞石塔，原 小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直 名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南 向上提起，起始位置示意图如图2，此时测 省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地 得点A到BC所在直线的距离AC=3m, 区保存最完整的大型青石塔.此塔坐东朝 ∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时 西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身 测得∠CDB=37(点C,A,D在同一直线上， 自下而上逐层收敛.某数学社团打算运用 且直线CD与平面平行，图3中所有点在同 “解直角三角形”的知识来计算玲珑塔的高 一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程 度AB.如图，先将无人机竖直上升至30m 中绳子总长不变.（参考数据：sin37°≈0.60， 高的点P处，在点P处测得玲珑塔顶端A的 cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√/3≈1.73) 俯角为25°，将无人机沿水平方向继续飞行 7.5m到达点Q,在点Q处测得塔底端B的俯 角为45°，求玲珑塔的高度AB.(结果保留一 -4 位小数，参考数据：√2≈1.41，sin25≈0.42， 图1 图2 图3 cos25°≈0.91，tan25°≈0.47) (1)求AB的长； P O (2)求物体上升的高度CE(结果精确到 259 0.1m). 141 口中考宝典·数学（深圳专用版） 中考演练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/5】 1.(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面的夹角为a,则每爬1m耗能(1.025一cosa)J,若某人爬了1000m, 该坡角为30°（如图），则他耗能（参考数据：3≈1.732,2≈1.414） () A.58J B.159J C.1025J D.1732J 60 32 30 第1题图 第2题国 第3题图 2.(2021·深圳)如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E,即EF=15 米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为 A.15sin32°米 B.15tan64°米 C.15sin64°米 D.15tan32°米 3.(2024·浙江杭州·三模)如图，点B位于点A的北偏东60°相距2km处，点D在点B的正北方向， 且在点A的东北方向，则点D到点A的距离为 km. 4.(2024·白城·模拟预测)桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1是我国古代农用工具，桔棉始见于《墨子· 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表 课题 古代典籍数学文化探究 工具 计算器、纸、笔等 示意图 N M 图1 图2 图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面MN的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且 说明 AB=4.2米，OA:OB=2:1.当点A位于最高点时，∠AOM=127°. 根据上述信息，求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米，参考数据：si37°≈0.6， c0s37°≈0.8). 142 第二部分考点基础过关口 5.(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面 坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长20米，∠C=18°，求斜坡 AB的长.（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） i=3:4 (二)能九提升 【建议用时：5分钟 正确率：/4】 1.(2024·长春·三模)如图，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB的夹角为21°，若AC的长为a米，则 窗角C到窗框AB的距离CD的大小为 ( A.asin21°米 B.acos21°米 C.a sin27米 D.cos2T米 DB 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2023·石景山区模拟)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为( A圣 R号 c号 n.号 3.(2021·乐山)如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角 为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，测得石碑顶A点的仰角为60°，则石碑的高度AB= 米.（结果保留根号） 143 口中考宝典·数学（深圳专用版）】 4.(2019·深圳)如图所示，某施工队要测量隧道的长度BC,AD=600米，AD⊥BC,施工队站在点D处 看向B,测得仰角45°，再由D走到E处测量，测得仰角为53°，DE∥AC,DE=500米，求隧道BC B 长.(in53≈号cos53≈g,an53≈) 53 45 D (三)综合应用 【建议用时：15分钟正确率：/1】 1.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型做出了巨大贡献.为满足新能源 汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其 中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽，所 有车位的长宽相同，按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题：（结果粉确到0.1，参考数据 √3≈1.73) (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，则PN的长为 m. (四)命题新方向 1.【数学文化】(2024)如图，左图为《天工开物》记载的用于春(chōng)捣谷物的工具一“谁(dui)”的结 构简图，右图为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B,AB与水平线1相交于点O,OE⊥1.若BC= 4分米，OB=12分米.∠BOE=60°，则点C到水平线1的距离CF为 分米.（结果用含 根号的式子表示) 144null