第12课时 二次函数的图象和性质-【中考宝典】2025年中考数学（深圳专用版）

第二部分考点基础过关 第12课时二次函数的图象和性质 考点分析 深圳近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 二次函数的图象及性质 题20,8分 题19,12分 待定系数法求二 题21(1)，1分 次函数的解析式 a,b,c,b2-4ac 题11,3分 题9,3分 符号的确定 二次函数图象的 平移规律 二次函数与一次、 二次方程的关系 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与 图象形状和对称轴的关系 新课标要求 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的 实际问题 4,知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二 次方程的近似解 课前小测 1.下列函数中，是二次函数的是 Ay=-2 B.y=-x C.y=2x+1 D.y=-2x2+1 2.(改编)二次函数y=3x2+7x一5的一次项系数是 A.3 B.-7 C.7 D.-5 3.(改编)二次函数y=3(x一1)2一2图象的顶点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(改编)用配方法将二次函数y=x2一6x十10化为y=a(x一h)2十k的形式为 A.y=(x-3)2+1B.y=(x+3)2+1 C.y=(x-3)2-1 D.y=(x+3)2-10 5.(改编)将抛物线y=一8x2先向右平移5个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 81 口中考宝典·数学（深圳专用版） 考点知识梳理 考点1二次函数的定义 r核心笔记 场【跟踪训练】 一般地，形如y=ax2十bx十c1.(改编)下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做 A.y=x-3 B.y=ax2+bx+c 二次函数. w特别提醒：当b=0或c=0或b, C.y=2x2 D=- c同时为0时，也是二次函数 考点2二次函数的图象及性质 审核心笔记 抛物线 y=ax2 y=ax'+cy=a(z-h)* y=a(x-h)+k y=ax'+bx+c y=a(x+za） +4ac-6 Aa 当a>0时，开口向上，并向上无限延仲 开口方向 当a<0时，开口向下，并向下无限延伸 顶点坐标 (0,0) (0,c) (h,0) (h,k) b 4ac-b 2a'1 4a 对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h 直线x= b 2a x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， a>0 I=- 最 yain=0 yai=c ymin=0 )min =k 时y=如 2a 4a 值 x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， a<0 时，y= Aac-b2 ymx=0 ymax=c yaax=0 ymax=k 2a Aa 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 增 a>0 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 减 性 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 a<0 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 审【跟踪训练】 2.(改编)如图，二次函数y=a(x十4)2十k的图象与x轴交于A(一6,0)，B两点， 则下列说法正确的是 ( A.a<0 B.点B的坐标为（一4,0） C.当x>一4时，y随x的增大而增大 D.图象的对称轴为直线x 考点3待定系数法求二次函数的解析式 审核心笔记 已知条件 设解析式的形式 待定系数法求解析式 已知顶点(h,k)十其他点坐标 顶点式：y=a(x一h)2十k 已知与x轴的两个交点(x1,0), 联立方程，得出站采，再代回所 (x,0)十其他点坐标 交点式：y=a(x一x)(x一x) 设解析式 已知任意三个点坐标 般式：y=ax2十bx十c 82 第二部分考点基础过关门 审【跟踪训练】 3.一个二次函数，当x=0时，y=一5；当x=一1时，y=一4；当x=一2时，y=5,则这个二次函数的 关系式是 A.y=4x2+3.x-5 B.y=2x2+x+5 C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5 4.若二次函数图象的顶点坐标为(2，一1)，且过点(0,3)，则该二次函数的解析式为 Ay-2(x-2)-1By=(c+2-1 C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1 考点4a,b,c,b一4ac符号的确定 事核心笔记 抛物线y=a.x2十bx十c. 1,a决定抛物线的开口方向和开口大小 (1)a相同曰抛物线的形状相同) 上正 (2)a>0台抛物线的开口向上 下负 (3)a<0曰抛物线的开口向下 w特别提醒：a还决定开口大小，即a越大，开口越小. 2.a,b决定对称轴的位置 抛物线y=ax2十bx十c的对称轴为直线x= 2a' (1)a与b同号台对称轴在y物的左侧 左同 (2)a与b异号曰对称轴在y物的右侧 右异 (3)b=0曰对称轴就是y轴 3.c决定抛物线与y轴的交点位置 抛物线y=a.x2十bx十c,当x=0时，y=c,即抛物线与y轴的交点为(0，c). (1)>0曰抛物线与y轴相交于正半轴) 上正 (2)c=0白抛物线与y轴相交于原点 「下负 (3)c<0曰抛物线与y轴相交于负半轴 4.一4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数. (1)6-4ac>0曰抛物线与x轴有2个交，点； (2)b一4ac=0台抛物线与x轴有1个交点： (3)6-4ac<0曰抛物线与x轴没有交，点. 审【跟踪训练】 5.已知二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示，则a,b,c满足 A.a<0,b<0,c<0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c>0 83 口中考宝典·数学（深圳专用版） 考点⑤二次函数图象的平移规律 w核心知识 平移前的解析式 移动方向(m>0) 平移后的解析式 简记 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)'+k 左“十” 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)*+k 右“一” y=a(x-h)2+k 向上平移m个单往 y=a(x-h)*+k+m 上“+” 向下平移m个单位 y=a(x-h)2+k-m 下“” 【跟踪训练】 6.(2023秋·河北张家口九年级统考期末)将抛物线y=2(x一1)2十3的图象向左平移1个单位，再 向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为 A.y=2x2 B.y=2x2+6 C.y=2(x-2)2 D.y=2(x-2)2+6 考点6二次函数与一元二次方程的关系 【核心知识】 【跟踪训练】 抛物线y=ax2+br十 一元二次方程ax2十 7.(改编)抛物线y=(x一3)2一4与x轴的交点个 △=B-4ac c与x轴的交，点个数 bx十c=0的根 数是 B.1个 8-4ac>0 A.2个 C.0个 D.不能确定 两个 两个不相等的实数根 8.(玫编)已知抛物线y=x2一2x十1与x轴的交点 8-4ac=0 一个 两个相等的实数根 坐标是(1,0)，则一元二次方程x2一2x十1=0的 B-4ac<0 无 无实数根 解是 例题精进 考点①二次函数的平移规律 例1(2023秋·浙江)将二次函数y=5x2的图 变1（改编）将抛物线C1(y=ax2十bx十c)向左平 象先向右平移3个单位，再向下平移2个 移2个单位得到抛物线C2(y=x2一2x十3)， 单位，得到的函数图象的解析式为( 则抛物线C与y轴的交点坐标是 A.y=5(x+3)2+2B.y=5(x-3)2+2 C.y-5(x十3)2-2D.y=5(x-3)2-2 考点2二次函数的图象和性质 常考题型：(1)根据二次函数的性质判定对错：(2)求二次函数的最值， 84 第二部分考点基础过关门 例2(2023·枣庄)二次函数y=ax2+bx十c(a≠ 变2（改编）已知抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为 0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下 常数，a≠0)的顶点坐标为（一2,5），与y轴 列结论：①abc<0:②方程a.x2十bx十c=0 的交点在x轴上方，结论正确的是( (a≠0)必有一个根大于2且小于3：③若 A.抛物线开口向下 B.c<0 0,,(受)是抛物线上的两点，那么0< C.与x轴只有一个交点D.4a一2b十c=5 ;④11a+2c>0;⑤对于任意实数m,都有 m(am十b)≥a十b,其中正确结论y 的个数是 ( A.5 B.4 C.3 D.2 考点③待定系数法求二次函数解析式 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：已知抛物线y=ax2十x十c(a≠0)经过 解：将A(-1,0),B(2,0)代入y=a.x2十x十c(a≠0)得 A(-1,0),B(2,0)两点，与y轴相交于 a-1十c=0, 点C,该抛物线的顶点为点M.求该抛物 4a+2+c=0,1c=2, 线的解析式及点M的坐标. 故抛物线的解析式为y=一x2十x十2…3分 解： =-++2=-+是 故顶点M合是) …6分 满分：6分 实得： 例3(2023·大庆节选)如图所示，在平面直角 变3 (2022·广州二模节选)如图，抛物线y=ax2十 坐标系中，抛物线与x轴分别交于A(3,0), b.x十c经过点A(一2,5)，与x轴相交于 C(一1,0)两点，抛物线与y轴的交点为 B(一1,0)，C(3,0)两点.求抛物线的函数解 B(0,-3). 析式. 求抛物线的解析式。 85 口中考宝典·数学（深圳专用版） 中考演练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/5】 1.(2024·广东)若点(0，y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上，则 A.ys>y:>y B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y% D.y3>y1>y% 2.(2020·广东)把函数y=(x一1)2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 3.若二次函数y=mx2十x十m(m一2)的图象经过原点，则m的值为 A.2 B.0 C.2或0 D.1 4.(2019·深圳)已知y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图，则y=ax+b和y=S的图象为 5.(2021·广东)把抛物线y=2x2十1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线 的解析式为 (二)能九提升 【建议用时：10分钟 正确率：/3】 1.(2020·深圳)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的顶点坐标为（一1，n),其部分图象如图所示.以下结 论错误的是 A.abc0 B.4ac-b2<0 C.3a+c>0 D.关于x的方程ax2十bx十c=n十1无实数根 2.(2021·深圳)二次函数y=ax2十b.x十1的图象与一次函数y=2ax十b在同一平面直角坐标系中的 图象可能是 86 第二部分 考点基础过关口 3.(202·深圳)二次函数y=,先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面 直角坐标系上 (1)m的值为； (2②)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=一+5与y一女的交点坐标： (3)点P(x1,y),Q(x2,y2)在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若y>y2,试比较 x1和x2的大小. y= y= 2(x-3)2+6 (0,0) (3,m) 1) ) (2,2) (5,8) （1) (-2,2) (1,8) 87 口中考宝典·数学（深圳专用版） (三)综合应用 【建议用时：15分钟正确率：/1】 1.(2020·深圳)如图1，抛物线y=ax2十bx十3(a≠0)与x轴的交点分别为A(一3,0)和B(1,0),与 y轴交于点C,顶点为D. (1)该抛物线的解析式为 (2)连接AD,DC,CB,将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△OB'C',点O, B,C的对应点分别为点O',B',C,设平移时间为t秒，当点O与点A重合时停止移动.记△OB C与四边形AOCD重合部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式： (3)如图2，过该抛物线上任意一点Mm,m)向直线1：y=号作垂线，垂足为E,试问在该抛物线的对称轴 上是否存在一点F,使得ME-MF=寻？若存在，请直接写出F的坐标；若不存在，请说明理由。 (四)命题新方向 1.【跨学科】(2023·大同)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在 最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性。 现已知某种酵的活性值（单位：心）与温度x(单位：℃)的关系可以近似用二次函数y=一女+14x+ 142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 IU. 88null