22 一战成名优质原创卷(五)-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 85　 　 22 一战成名优质原创卷(五) (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 下列各式的值为负数的是 ( D ) A. | -2 | B. ( -2) 2 C. -( -2) D. -( +2) 2. a 的算术平方根是 0. 04,则 a 用科学记数法可以表示为 ( C ) A. 4×10-2 B. 8×10-3 C. 1. 6×10-3 D. 16×10-4 3. 下列图形中,表示南偏东 30°的是 ( B ) 4. 在计算 99. 7×100. 3 时,一种解法为:99. 7 × 100. 3 = (100 - 0. 3) ×(100 + 0. 3) = 1002 - 0. 32 = 10 000 - 0. 09 = 9 999. 91. 以上过程中,没有用到的数学知识是 ( B ) A. 平方差公式 B. 完全平方公式 C. 平方运算 D. 有理数减法 5. 根据幂的乘方运算法则“底数不变,指数相乘,(am) n = amn(a≠0,m,n 为整数)”,可知 233 与 322 的大小 关系是 ( A ) A. 233 <322 B. 233 = 322 C. 233 >322 D. 无法确定 6. 如图,是 10 个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形. 根据图中各点的位置,可判断出下列三 角形中,外心为点 O 的是 ( D ) A. △ABD B. △BCD C. △ADE D. △ACD 　 　 　 　 　 图① 　 　 　 图② 第 6 题图 第 7 题图 7. 由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体,拿掉 2 个后,得到如图①所示的几何体,图②是原几何体的三 视图. 则拿掉的两个正方体原来放在 ( B ) A. 1 的前后 B. 2 的前后 C. 3 的前后 D. 4 的左右 8. 若 x+y= 2z,且 x≠y≠z,则 x x-z + z y-z 的值为 ( A ) A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定 9. 如图,已知锐角△ABC(AC<AB<BC),用尺规在 AB 上确定一点 P,使得∠BPC 与∠A 互补,则符合要求 的作图痕迹是 ( D ) 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 下面两个统计图反映的是甲、乙两所学校三个年级的学生在 各校学生总人数中的占比情况,下列说法错误的是 ( D ) A. 甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多 B. 乙校中七年级学生人数最多 C. 乙校中八年级学生比九年级学生人数少 D. 甲、乙两校的九年级学生人数一样多 11. 如图,在△ABC 中,AB= 8,AC= 5,BC= 10. 如果动点 D 以每秒 2 个单位长度的速度,从 B 点出发沿 BA 边向点 A 运动,直线 DE∥BC,交 AC 边于点 E. 记 x 秒时 DE 的长度为 y,则表示 y 与 x 的函数图象大致 是 ( A ) 第 11 题图 　 　 　 12. 在平面上,边长为 2 的正方形和短边长为 1 的矩形几何中心重合. 如图①,当正方形和矩形都水平放 置时,很容易求出重叠面积 S= 2×1 = 2. 甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式: 图① 　 　 图② 　 　 图③ 　 　 图④ 　 　 图⑤ 第 12 题图 甲:矩形绕着几何中心旋转,从图②到图③的过程中,重叠面积 S 大小不变. 乙:如图④,矩形绕着几何中心继续旋转,矩形的两条长边与正方形的一条对角线平行时,此时的重叠 面积大于图③时的重叠面积. 丙:如图⑤,将图④中的矩形向左上方平移(始终和正方形的一条对角线平行),使矩形的一条长边恰 好经过正方形的对角线,此时的重叠面积是 5 个图形中最小的. 下列说法正确的是 ( C ) A. 甲、乙、丙都对 B. 只有乙对 C. 只有甲不对 D. 甲、乙、丙都不对 二、填空题(本大题有 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 15、16 小题第一问 1 分,第二问 2 分) 13. -0. 1 的倒数是 . 14. 已知 a,b,c 分别为 Rt△ABC(∠C= 90°)的三边的长,则关于 x 的一元二次方程(c+a)x2 +2bx+(c-a)= 0 根的情况是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 86　 15. 如图,已知 AB∥CD,解答下列问题: (1)图①中,∠1+∠2+∠3 = ; (2)图②中,∠1+∠2+∠3+∠4 = . 图① 　 　 　 　 图② 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 第 15 题图 16. 如图是函数 y = 1 x (x>0), - 1 x (x<0) ì î í ï ïï ï ïï 的图象,两横两纵四个轴中间形成矩形 MNQP,其中 MN = PQ = 3,PM = QN= 2. (1)上述函数所在坐标系的原点是点 P,M,N 中的 ; (2)已知二次函数 y=ax2 的图象先向右平移 h 个单位,再向上平移 k 个单位得到新的函数图象,新的 函数表达式为 y=a(x-h) 2 +k. 类比二次函数图象的平移,若以点 Q 为坐标原点,则图中图象的函 数表达式为 . 三、解答题(本大题有 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分) 如图,将数轴在原点 O 和点 B 处各折一下,得到“折线数轴”,其中点 A 表示-10,点 B 表示 10,点 C 表 示 18. P 从点 A 出发,以 2 个单位长度 /秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动;同时,Q 从点 C 出 发,以 1 个单位长度 /秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动. 当 P 到达点 C 时,两点都停止运动,设 运动时间为 t 秒. 第 17 题图 (1)若 P 在 OB 段速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速,则 P 从 点 A 运动到点 C 需要 秒; (2)当 P,O 的距离等于 Q,B 的距离时,求 t 的值. 18. (本小题满分 8 分) 如图是一个 6×6 的正方形网格,格点 A,B,C 均在 ABC ( 上,请按要求画图: 第 18 题图 ①仅用无刻度的直尺,且不能用直尺的直角; ②保留必要的画图痕迹,不写作法; ③标注相关字母. (1)在图中画出 ABC ( 所在圆的直径 BD; (2)在图中作∠CAE= 67. 5°,且点 E 在 ABC ( 上. 19. (本小题满分 8 分) 发现　 任意三个连续偶数的平方和是 4 的倍数. 验证　 (1)22 +42 +62 的结果是 4 的几倍? (2)设三个连续偶数中间的数为 2n,写出它们的平方和,并说明是 4 的倍数. 延伸　 (3)设三个连续奇数中间的数为 2n+1,写出它们的平方和,平方和是 12 的倍数吗? 若是,说明 理由,若不是,写出被 12 除余数是多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 87　 　 20. (本小题满分 8 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D,E 分别是 AB,AC 的中点,过 C 作 CF∥AB 交 DE 延长线于点 F,连接 AF,DC. (1)求证:DE=FE; (2)求证:四边形 ADCF 是菱形; (3)连接 BF,设∠ADF=α,当△AFB 为直角三角形时,直接 ∙∙ 写出 α 的值. 第 20 题图 21. (本小题满分 9 分) 某校组织了一次体能测试,项目有 A “立定跳远”,B “掷实心球”,C “仰卧起坐”,D “ 100 米跑”, E“800 米跑” . 规定:每名学生测试三项,其中 A,B 为必测项目,第三项从 C,D,E 中随机抽取一项,每 项满分 10 分(成绩均为整数且不低于 0 分) . (1)完成 A,B 必测项目后,用列表法求甲和乙第三项抽取不同项目的概率; 　 　 甲 乙　 　 　 　 　 　 第 21 题图 (2)某班有 6 名男生抽到了 E“800 米跑”项目,他们的成绩(单位:分)分别为:x,6,7,8,8,9. ①已知这组成绩的平均数和中位数相等,且 x 不是这组成绩中最高的,则 x= ; ②在①的条件下,该班学生丙因病错过了测试,补测也抽到了 E“800 米跑”,加上丙同学的成绩 后,发现这组成绩的众数与中位数相等,但平均数比原来的平均数小,则丙同学“800 米跑”的成 绩为多少? 22. (本小题满分 9 分) 如图①,某款线上教学设备由底座,支撑臂 AB,连杆 BC,悬臂 CD 和安装在 D 处的摄像头组成. 如图② 是该款设备放置在水平桌面上的示意图. 已知支撑臂 AB⊥l,AB = 18 cm,BC = 40 cm,CD= 44 cm,固定 ∠ABC= 148°,可通过调试悬臂 CD 与连杆 BC 的夹角提高拍摄效果. (1)当悬臂 CD 与桌面 l 平行时,∠BCD= °; (2)问悬臂端点 C 到桌面 l 的距离约为多少? (3)已知摄像头点 D 到桌面 l 的距离为 30 cm 时拍摄效果较好,那么此时悬臂 CD 与连杆 BC 的夹角 ∠BCD 的度数约为多少? (参考数据:sin58°≈0. 85,cos58°≈0. 53,tan58°≈1. 60) 图① 　 　 图② 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 88　 23. (本小题满分 10 分) 公司用 160 万元作为研发费用,成功研制出一种市场急需的产品,已于当年投入生产并进行销售. 已 知生产这种产品的成本为 4 元 /件,在销售过程中发现:年销售量 y(万件)与销售价格 x(元 / 件)的关系如 图所示,其中 AB 为反比例函数图象的一部分.设公司销售这种产品的年利润为W(万元). (注:盈利不计入 下一年的年利润,亏损记作下一年的成本) (1)请求出 y 与 x 的函数关系式; (2)求第一年该产品的年利润 W 与 x 的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值; (3)假设该产品第一年恰好按年利润 W 取得最大值时进行销售,根据第一年的盈亏情况,决定第二年 该产品每件的销售价格 x 定在 8 元以上. 当第二年年利润不低于 103 万元时,求 x 的取值范围. 第 23 题图 24. (本小题满分 12 分) 如图①,正方形 ABCD 内有一图形,是由☉O 的优弧和弦 MN 组成的封闭图形,我们称它为圆缺 O,其 中正方形 ABCD 的边长为 10,圆缺 O 的半径为 4,∠MON= 120°. 发现:S△OMN = ; 思考:当圆缺 O 与正方形 ABCD 的两条边相切时,两切点之间的弧长是定值,则这个定值是 ; 探究:(1)当圆缺 O 在正方形内部自由运动到如图②所示的位置时,求阴影部分(左下角)的面积; (2)当 OM 与 AB 垂直时,圆缺 O (填“有可能”或“不可能”)与正方形的边切于点 N; ①当圆缺 O 与 AB 相切于点 M 时,求点 C 和点 N 之间的最小距离; ②当点 M 在 AB 上,点 N 在 BC 上(M,N 均不与点 B 重合)时,设弦 MN 的中点为 G,求线段 DG 的 最小值. 图① 　 　 　 图② 　 　 　 备用图 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 22.一战成名优质原创卷(五) 1. D　 2. C　 3. B　 4. B　 5. A　 6. D　 7. B　 8. A　 9. D 10. D　 11. A 12. C　 【解析】题图②与题图③的重叠部分都为平行四 边形,题图②的倾斜度比题图③的倾斜度小,∴ 题图 ②的底比题图③的底小,两图为等高不等底,∴ 题图 ②重叠部分的面积小于题图③重叠部分的面积,题图 ③中,设重叠部分平行四边形的较短边为 x,则较长边 为 4+(2-x) 2 ,S正方形 = 4 = 1 × 4+(2-x) 2 + 2 × 1 2 × 2(2-x),可求得 x= 2 7 -2 3 ,∴ S = 2 7 -2 3 ×2 = 4 7 -4 3 ≈ 2. 2;如解图①,重叠部分的两头为全等的等腰直角三 角形,斜边长为 1,∴ 直角边长为 2 2 ,正方形不重叠的 两部分也为全等的等腰直角三角形,直角边长为 2- 2 2 ,∴ S= 22 -(2- 2 2 ) 2 = 2 2 - 1 2 ≈2. 3;如解图②,重 叠部分由两个全等的等腰直角三角形和一个矩形构 成,等腰直角三角形的直角边长为 1, ∴ 斜边长为 2 ,正方形的左上角也是等腰直角三角形,∴ S = 1 2 × 22 - 1 2 (2- 2 )×(2- 2 )= 2 2 -1≈1. 8. 图① 　 　 　 图② 第 12 题解图 13. -10　 14. 方程有两个相等的实数根　 15. 360°;540° 16. (1)M;(2)y= 1 x+3 -2(x>-3), - 1 x+3 -2(x<-3) ì î í ï ï ï ï 17.解:(1)19;【解法提示】由题图可知,P 从点 A 运动到 点 C 可分成三段,分别为 AO 段,OB 段,BC 段,AO 段 所需时间为 10 2 = 5 ( 秒), OB 段所需时间为 10 1 = 10(秒),BC 段所需时间为 8 2 = 4(秒),∴ P 从点 A 运 动到点 C 需要 19 秒. (2)当点 P 在 AO 上,点 Q 在 BC 上时, 10-2t= 8-t,解得 t= 2; 当 P 在 OB 上,Q 在 BC 上时, 2( t-5)= 8-t,解得 t= 6; 当 P,Q 两点都在 OB 上时, 2( t-5)= t-8,解得 t= 2, 此种情况不存在; 当 P 在 BC 上,Q 在 OB 上时, 此种情况不存在; ∴ P,O 的距离等于 Q,B 的距离时,t 的值为 2 或 6. 18.解:(1)如解图①,线段 BD 即为所求; 图① 　 　 图② 第 18 题解图 (2 ) 如 解 图 ②, ∠CAE 即 为 所 求. 【解法提示 】 ∵ ∠ABC= 90°, ∴ AC 是圆的直径, ∴ ∠AEC = 90°. ∵ ∠ACE= 1 2 ∠AOE= 22. 5°,∴ ∠CAE = 90°-∠ACE = 67. 5°. 19.解:(1)∵ 22 +42 +62 = 4+16+36 = 56 = 4×14, ∴ 22 +42 +62 的结果是 4 的 14 倍; (2)设三个连续偶数分别为 2n-2,2n,2n+2(其中 n 是 整数), 则(2n-2) 2 +(2n) 2 +(2n+ 2) 2 = 4n2 - 8n+ 4+ 4n2 + 4n2 + 8n+4 = 12n2 +8 = 4(3n2 +2), ∴ 三个连续偶数的平方和是 4 的倍数; (3)设三个连续奇数分别为 2n-1,2n+1,2n+3(其中 n 是整数), 则(2n-1) 2 +(2n+1) 2 +(2n+3) 2 = 4n2 -4n+1+4n2 +4n+ 1+4n2 +12n+9 = 12n2 +12n+11 = 12(n2 +n)+11, ∴ 三个连续奇数的平方和不能被 12 整除,被 12 除余 数是 11. 20. (1)证明:∵ CF∥AB,∴ ∠DAC= ∠ACF, 又∵ AE=EC,∠AED= ∠CEF, ∴ △AED≌△CEF, ∴ DE=FE; (2)证明:∵ ∠ACB= 90°,D 是 AB 的中点, ∴ CD=AD. ∵ DE=EF,AE=EC, ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形. 又∵ AD=CD, ∴ 四边形 ADCF 是菱形; (3)解:α 的值为 45°或 60°. 【解法提示】如解图①和 解图②所示. 图① 　 　 　 图② 第 20 题解图 21.解:(1)列表如下, 　 　 甲 乙　 　 C D E C (C,C) (C,D) (C,E) D (D,C) (D,D) (D,E) E (E,C) (E,D) (E,E) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 由表格可知共有 9 种等可能的结果,其中甲,乙第三 项抽取不同项目的结果有 6 种, 则 P(甲,乙第三项抽取不同项目)= 6 9 = 2 3 ; (2)①7;【解法提示】当 0<x≤7 时, 1 6 (x+6+7+8+8+ 9)= 7 +8 2 ,解得 x= 7;当 8≤x≤10 时, 1 6 (x+6+7+8+8+ 9)= 8 +8 2 ,解得 x= 10(舍去) . ②设丙同学“ 800 米跑” 的成绩为 y,则这组成绩为 6,7,7,y,8,8,9, ∵ 这组成绩的众数与中位数相等, ∴ y= 7 或 y= 8, ∵ 平均数比原来的平均数小, ∴ y= 7,即丙同学“800 米跑”的成绩为 7 分. 22.解:(1) 58°;【解法提示】如解图①,过点 B 作直线 MN∥ l, ∵ CD∥ l, AB ⊥ l, ∴ AB ⊥ MN, MN ∥CD, ∴ ∠ABN= 90°,∠BCD= ∠CBN= 148°-90° = 58°. 图① 　 图② 第 22 题解图 (2)如解图②,过点 C 作 CF⊥ l,垂足为 F,过点 B 作 BN⊥CF,垂足为 N, 则 FN=AB= 18 cm,易得∠ABN= 90°, ∵ ∠ABC= 148°, ∴ ∠CBN= ∠ABC-∠ABN= 148°-90° = 58°, 在 Rt△CBN 中,BC= 40 cm, ∴ CN= 40·sin58°≈40×0. 85 = 34(cm), ∴ CF=CN+NF= 34+18 = 52(cm), ∴ 悬臂端点 C 到桌面 l 的距离约为 52 cm. (3)如解图②,过点 D 作 DM⊥CF,垂足为 M, ∵ CF⊥l, ∴ DM∥l, ∵ 摄像头点 D 到桌面 l 的距离为 30 cm, ∴ MF= 30 cm, ∴ CM=CF-MF= 52-30 = 22 cm, 在 Rt△CDM 中,CD= 44 cm,CM= 22 cm, ∴ sin∠CDM=CM CD = 1 2 , ∴ ∠CDM= 30°,∠DCM= 60°, 在 Rt△CBN 中,∠CBN= 58°, ∴ ∠BCN= 32°, ∴ ∠BCD= ∠DCM-∠BCN= 60°-32° = 28°. 23.解:(1)当 4≤x<8 时,设 y= k x , 将 A(4,40)代入得 k= 4×40 = 160, ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= 160 x ; 当 8≤x≤28 时,设 y=k′x+b,将 B(8,20),C(28,0)代入, 得 8k′+b= 20, 28k′+b= 0,{ 解得 k′= -1, b= 28,{ ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= -x+28; 综上所述,y= 160 x (4≤x≤8), -x+28(8<x≤28); { (2)当 4≤x≤8 时,W = (x- 4) y- 160 = (x- 4) ·160 x - 160 = -640 x , ∵ 当 4≤x≤8 时,W 随着 x 的增大而增大, ∴ 当 x= 8 时,W 取得最大值,W最大 = - 640 8 = -80; 当 8<x≤28 时,W = (x- 4) y- 160 = ( x- 4) ( -x+ 28) - 160 = -(x-16) 2 -16, ∴ 当 x= 16 时,W 取得最大值,W最大 = -16; ∵ -16>-80, ∴ 第一年年利润的最大值为-16 万元; (3)∵ 第一年的年利润为-16 万元, ∴ 16 万元应作为第二年的成本, 又∵ x>8, ∴ 第二年的年利润 W = ( x- 4) ( - x+ 28) - 16 = - x2 + 32x-128, 第 23 题解图 令 W= 103, 则 103 = -x2 +32x-128, 解得 x1 = 11,x2 = 21, 在平面直角坐标系中,画出 W 关于 x 的函数图象,如解图, 观察图象可知, 当 W≥103 时,11≤x≤21, ∴ 当 11≤x≤21 时,第二年的年 利润W不低于 103 万元. 24.解:发现:4 3 ; 【解法提示】∵ OM = ON = 4,∠MON = 120°,如解图① 所示,过点 O 作 OH 垂直 MN 于点 H, 则 ∠MOH = ∠NOH= 60°,∴ MH=NH =OM·sin60° = 2 3 ,∴ MN = 4 3 ,OH=OM·cos60° = 2,∴ S△OMN = 4 3 . 图① 　 　 　 图② 第 24 题解图 思考:2π; 【解法提示】如解图②所示,∵ P,Q 为☉O 的切点,连 接 OQ,OP, ∴ ∠OQA = 90°, ∠OPA = 90°, ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A = 90°,∴ 四边形 OPAQ 为矩 形,∠QOP= 90°,∵ OP = OQ,∴ 四边形 OPAQ 为正方 形,∴ PQ ( = 90×π×4 180 = 2π; 探究:(1)如解图③所示,连接 OQ,过点 O 作 OP 垂直 MN 于点 P, 第 24 题解图③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 参考答案与重难题解析·河北数学 第 四 部 分 ∵ Q 为☉O 的切点,∴ ∠OQB= 90°, ∵ ∠B= ∠OPB= 90°, ∴ 四边形 OQBP 为矩形,∴ ∠QOP= 90°, 由(1)得 OP= 2,OQ= 4,∴ S矩形OQBP = 8, ∵ PM= 2 3 ,∴ S△OPM = 2 3 , ∵ ∠MOP= 60°,∴ ∠QOM= 30°, ∴ S扇形QOM = 30×π×42 360 = 4π 3 ,∴ S阴影 = 8-2 3 - 4π 3 ; (2)不可能; 【解法提示】 如解图 ④ 所示, 当 OM 垂直 AB 时, ∵ ∠OMB= 90°,∠B = 90°,∠MON = 120°,∴ ∠ONB = 60°,∴ 不可能以 N 为切点;①如解图④所示,当点 N 落在 BC 边上时,CN 最小,易得 BM = 4,MN = 4 3 , ∴ BN= 4 2 , ∴ CN = 10 - 4 2 ; ② 如解图 ⑤ 所示, ∵ MN= 4 3 ,G 为 MN 的中点,∴ BG = 2 3 ,∴ 点 G 在 以 B 为圆心,2 3 长为半径的圆上运动,当 B,G,D 三 点共线时,DG 最短,易得 BD = 10 2 ,∴ DG最小 = 10 2 - 2 3 . 图④ 　 　 　 图⑤ 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四部分　 河北优质模拟卷解答 17-22 题精选改编 2024 年石家庄市藁城区中考数学二模试卷 节选改编 17.解:观察数轴可知 a<b<0<c, | a | > | b | > | c | , ∴ a+b<0,b+c<0,a-c<0, ∴ (a+b) 2 - | b+c | - (a-c) 2 - a2 = -a-b-(-b-c)-(-a+c)-(-a) = -a-b+b+c+a-c+a =a. 18.解:(1)1; (2)如解图①,CP、AG 即为所求;【解法提示】在 CP 的 延长线上确定一点 Q, 使得 PQ = BP, 则 ∠QPA = 90°,连接 AQ,与 CB 的延长线交于点 G,易得∠PCB = ∠PAQ,∴ ∠ABG + ∠PAQ = 90°, ∴ ∠AGB = 90°, 即 AG⊥BG,故 AG 是△ABC 边 BC 上的高. 图① 　 图② 第 18 题解图 (3) 如解图②,点 M 和点 M′即为所求. 【解法提示】 ∵ AC= 22 +22 = 2 2 ,S△AMC = 1 2 ·AC·CM,∴ 1 2 × 2 2 ·CM= 2,解得 CM= 2 . 19. (1)解:15;【解法提示】 (6+ 3) 2 - 62 = 81- 36 = 45 = 3× 15,∴ (6+3) 2 -62 的结果是 3 的 15 倍. (2) 证明:由题意得偶数为 2n,比偶数大 3 的数为 2n+3, (2n+3)2-(2n)2 =(2n+3+2n)(2n+3-2n)= 3(4n+3), ∵ 4n+3 为整数, ∴ 3(4n+3)能被 3 整除; (3)解:余数为 3,理由如下: 设这个数为 n,比 n 大 3 的数为 n+3, (n+3) 2 -n2 = (n+3+n)(n+3-n)= 6n+9 = 6(n+1)+3, ∴ 6(n+1)+3 被 6 除的余数为 3. 20.解:(1)画树状图如解图所示,由图知共有 12 种等可 能结果; 第 20 题解图 (2)方程 x2 -5x+6 = 0 的解为 x1 = 2,x2 = 3,则由(1)知 m,n 都是方程的解有 4 种可能,都不是的有 2 种 可能, ∴ P(小明获胜)= 4 12 = 1 3 , P(小刚获胜)= 2 12 = 1 6 , ∵ 1 3 > 1 6 , ∴ 此游戏规则不公平. 21.解:(1)如解图,作 CM⊥AB 于点 M,BN⊥CD 于点 N, 第 21 题解图 ∵ CD∥AB, ∴ 四边形 MBNC 是矩形, ∴ CM=BN,CN=MB, ∵ ∠DBN= 60°, ∴ BN= 1 2 BD= 1 2 ×400 = 200(米), ∵ tan∠NBD=DN BN = 3 , ∴ DN= 200 3米, ∵ ∠CAM= 45°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55