21 一战成名优质原创卷(四)-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 81　 　 21 一战成名优质原创卷(四) (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 下列图形中,内角和等于外角和的是 ( B ) 2. 下列式子中值最小的是 ( D ) A. -1×2 020 B. -1÷2 020 C. -1+2 020 D. -1-2 020 3. 如图是 4×4 的网格图,将图中①,②,③,④处的一个小正方形涂灰,与现有的灰色小正方形构成中心对 称图形,则涂灰的小正方形是 ( C ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,矩形 ABCD 的边 AD= 2,AB= 1,点 A 在数轴上对应的数是-1,以点 A 为圆心,对角线 AC 长为半径 画弧,交数轴于点 E,则点 E 在数轴上对应的实数是 ( C ) A. 5 +1 B. 5 C. 5 -1 D. 1- 5 5. 鸡兔同笼问题出自我国古代数学名著《孙子算经》,原文为:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四 足,问雉兔各几何? 佳佳根据原题编写了以下三道题目: ①今有雉兔同笼,上有三十头,下有五十二足,问雉兔各几何? ②今有雉兔同笼,上有三十头,下有八十一足,问雉兔各几何? ③今有雉兔同笼,上有三十四头,下有九十足,问雉兔各几何? 其中可以求出雉兔只数的是 ( C ) A. ①②③ B. ②③ C. ③ D. 无正确答案 6. 求证:两直线平行,同位角相等. 如图①,若 AB∥CD,且 AB、CD 被 EF 所截,求证:∠EOB= ∠EO′D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图① 　 　 图② 第 6 题图 以下是打乱的用反证法证明的过程: ①如图②,过点 O 作直线 A′B′,使∠EOB′= ∠EO′D;②依据基本事实 1,可得 A′B′∥CD;③假设∠EOB≠ ∠EO′D;④∴ ∠EOB= ∠EO′D;⑤与基本事实 2 矛盾,∴ 假设不成立, 证明步骤的正确顺序是 ( D ) A. ①②③④⑤ B. ①③②⑤④ C. ③①④②⑤ D. ③①②⑤④ 7. 下列四个命题中,真命题是 ( A ) A. 若 x2 +ax+b 可分解为(x+1)(x-2),则 a-b= 1 B. 方程 x2 +x+1 = 0 有实数根 C. 若 | a | = | b | 且 ab= 1,则 a= b= 1 D. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 8. 如图,快艇从 A 地出发,要到距离 A 地 10 海里的 C 地去,先沿北偏东 70°方向走了 8 海里到达 B 地,然 后再从 B 地走了 6 海里到达 C 地,此时快艇位于 B 地的 ( B ) A. 北偏东 20°方向上 B. 北偏西 20°方向上 C. 北偏西 30°方向上 D. 北偏西 40°方向上 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 已知 y= 1- 1 z ,z= 1- 1 x ,则用含 x 的代数式表示 y 为 ( A ) A. y= 1 1-x B. x= y -1 y C. y= x x-1 D. y= 1 -x x 10. 如图,在正方形草坪上修建两条宽度均为 1 的小路,其中横向路是矩形,纵向路是平行四边形,设横向 路的面积为 S1,纵向路的面积为 S2,则 S1 与 S2 的关系是 ( C ) A. S1 >S2 B. S1 <S2 C. S1 =S2 D. 无法确定 11. 若 2a = 3,2b = 6,2c = 12,则下列关系式不正确 ∙∙∙ 的是 ( D ) A. c=a+2 B. c-b= 1 C. a+c= 2b D. a+b= c+1 12. 如图,甲,乙,丙,丁四位同学分别从四块相同的等腰直角三角形纸板上裁下不同的纸板(阴影部 分),具体裁法如图. 第 12 题图 甲同学:如图①所示裁下一个正方形,周长记为 L1; 乙同学:如图②所示裁下一个正方形,周长记为 L2; 丙同学:如图③所示裁下一个半圆,使半圆的直径在等腰直角三角形的直角边上,周长记为 L3; 丁同学:如图④所示裁下一个内切圆,周长记为 L4 . 下列结论正确的是 ( 　 ) A. L2 最小 B. L3 最大 C. L1 =L2 D. L3 =L4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 82　 二、填空题(本大题有 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中 15、16 小题第一问 1 分,第二问 2 分) 13. 计算: 6 3 = . 14. 一个整数 8 150…0 用科学记数法表示为 8. 15×1010,则原数中“0”的个数为 . 15. 如图是三角形数阵,图①中可得 8 = 2×3+2,图②中可得 15 = 3×4+3,已知图③与图①,图②中的算法一 致. (1)若 x,y 互为相反数,用含 x 的式子表示 M= ; (2)在(1)的条件下,若 M= -2,则 x 的值为 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 第 16 题图 16.研究发现:对于任意一个正 n 边形(n≥3),绕其一个顶点,每次旋转一个内角的度数,经过一定次数 的旋转后,一定可以回到起始位置. 如图,例如正三角形,不妨绕其右下角的顶点,按顺时针方向每次旋转 60°,经过 6 次旋转恰好回到起 始位置. (1)对于正 n 边形(n≥3),当 n 为奇数时,按如上操作,旋转 次(用含 n 的代数式表示),恰好 回到起始位置; (2)对于正 n 边形(n≥3),按如上操作,恰好回到起始位置,则旋转次数最少为 . 三、解答题(本大题有 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分) 嘉淇同学在化简(a+b) 2 -(a+b)(a-b) -2b2 时,具体步骤如下. (1)嘉淇的解答在第 步开始出现错误,错误的原因是 　 ; (2)请写出正确的解题过程,并求出当 a,b 互为倒数时原代数式的值. 18. (本小题满分 8 分) 为了解九年级学生的名著阅读情况,某校随机抽取了九年级部分学生进行调查,统计了每人的名著阅 读本数. 设每名学生的名著阅读本数为 n,分为以下四档:当 n<3 时,为“偏少”;当 3≤n<5 时,为“一 般”;当 5≤n<8 时,为“良好”;当 n≥8 时,为“优秀” . 将调查结果绘制成不完整的统计图(表)如下: 名著阅读本数 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 1 2 6 7 12 x 7 y 1 　 　 　 　 第 18 题图 (1)分别求出统计表中的 x,y 的值; (2)求扇形统计图中“优秀”类所在扇形的圆心角的度数; (3)若随机去掉一个学生的名著阅读本数,众数发生了变化,求众数发生变化的概率,并说明去掉的 是哪个数据? 解:(1)由表格可知被调查学生中“一般”档次的有 13 人,所占比例是 26%, ∴共调查的学生数是 13÷26% =50, ∵12+x+7=50×60%,∴ x=11, ∵ y+1=50-(1+2)-(6+7)-(12+11+7),∴ y=3; (2)扇形统计图中“优秀”类所在扇形的圆心角的度数为 360°× 4 50 =28. 8°; (3)由表格可知,原来的众数是 5, ∴只有去掉一个数据 5,众数才会变为 5 和 6,∴P(众数发生变化)= 12 50 = 6 25 ,去掉的数据是 5. 19. (本小题满分 8 分) 设 a1 = 32 -12,a2 = 52 -32,a3 = 72 -52,…,容易知道 a1 = 8,a2 = 16,a3 = 24,如果一个数能表示为 8 的倍 数,就说它能被 8 整除,∴ a1,a2,a3 都能被 8 整除. (1)试探究 an 是否能被 8 整除,并说明理由; (2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”,试找出 a1,a2,a3,…,an 这一 系列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数,并说出当 n 满足什么条件时,an 为完全平方数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 83　 　 20. (本小题满分 8 分) 李明到离家 2. 1 千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始 还有 42 分钟,于是他立即步行(匀速)回家,在家拿道具用了 1 分钟,然后骑自行车(匀速)返回学 校,已知李明骑自行车的速度是步行速度的 3 倍,李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了 20 分钟. (1)李明步行的速度是多少米 /分? (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校? 解:(1)设李明步行的速度是 x 米 /分,根据题意得2 100 x -2 100 3x =20, 解得 x=70,经检验 x=70 是原方程的解,且符合题意; 答:李明步行的速度是 70 米 /分; (2)∵2 100 70 +2 100 3×70 +1=41<42,∴李明能在联欢会开始前赶到学校. 21. (本小题满分 9 分) 如图,△ABC 中,AC=BC,∠ACB= 90°,点 D 是 AB 上一点(不与点 A、B 重合),连接 CD,将线段 CD 绕 点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE,连接 DE、AE. (1)求证:△ACE≌△BCD; (2)若 AE= 1,CE= 2 ,求 AB 的长; (3)若 BD= x,BC= 2,且△ADE 的外心在△ACD 的内部,直接 ∙∙ 写出 x 的取值范围. 第 21 题图 22. (本小题满分 9 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数 y= kx 与一次函数 y = -x+b 的图象交于点 A(8,6),过点 P(2,0)作 x 轴的垂线,分别交两个函数的图象于点 B,点 C,连接 OC. (1)求两个函数的解析式; (2)求△OBC 的面积; (3)在坐标轴的正半轴上是否存在点 M,使得△AOM 是以 OA 为腰的等腰三角形? 若不存在,请说明 理由;若存在,请求出点 M 的坐标. 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 84　 23. (本小题满分 11 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°,BC= 3,点 P 在 AB 上,AP= 2,点 E,F 同时从点 P 出发,分别 沿 PA,PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A,B 运动,以 EF 为直径的圆记为☉O,设点 E 运动的时间 为 t 秒. (1)当 t= 1 时,求证:☉O 与 AC 边相切; (2)若点 F 运动到点 B 停止,点 E 到达点 A 后立刻以原速度返回沿 AB 向终点 B 运动. ①当 t>2 时,求☉O 与△ABC 的边相切时 t 的值; ②当 t= 5 时,求☉O 与△ABC 重合部分面积的大小. 第 23 题图 24. (本小题满分 11 分) 在 A,B 两个实验室进行空调制冷后舒适度测试,同时在两个实验室启动空调 1 小时后,开始记录数 据. 经过数据分析,A 实验室空调的舒适指数 WA 与空调启动时间 x(x≥1)成反比例函数关系,B 实验 室空调的舒适指数 WB 与空调启动时间 x(x≥1)的函数关系式为 WB = -2(x-h) 2 +k,两函数图象如图 所示,且在启动空调 2 小时时,B 实验室空调的舒适指数达到最大. (1)求 m,k 的值; (2)当 WB = 19 2 时,求 WB-WA 的较大值; (3)若规定实验室空调舒适指数小于 1 时,不适合人居住,求至少启动空调多少小时后,两个实验室 都不适合 ∙∙∙ 人居住. 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 当激光束经过点 N 时,延长 MN 交 AB 于点 K,如解 图⑩, 第 24 题解图⑩ ∵ △O′AE∽△O′KN, ∴ AE KN =O′A O′K = 40 100 , ∵ NK=MK-MN= (60-a) cm, ∴ AE= t= 2 5 (60-a) cm, 同理光点 E 移动的时间 t = 2 5 ( 60 - a ) + ( 40 - 120+2a 5 )= 40-4a 5 , 综上所述,当光点 P 落在 BC 上时,光点 E 移动的时间 t= 40-4a 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21.一战成名优质原创卷(四) 1. B　 2. D　 3. C　 4. C　 5. C　 6. D　 7. A　 8. B　 9. A 10. C　 11. D　 12. B　 13. 2 　 14. 8 15. (1)-x2 +x;(2)-1 或 2 16. (1)2n;(2)3　 【解析】(1)对于正 n 边形(n≥3),其每 个内角的度数为 (n-2)·180° n ,不妨设其旋转 m 次 第 16 题解图 后,恰好回到起始位置,则有 m× (n -2)·180° n = k· 360°, 整理可得 m(n-2)= 2nk,∵ n 是奇数,∴ n-2 是奇数,2n 是 偶数,∴ 当 m = 2n 时,k = n- 2,验证如下:n = 3 时,旋转 6 次回到起始位置,此时 m = 6 = 2 × 3, k = 1 = 3 - 2; n = 5 时,旋转 10 次回到起始位置,此时 m= 10 = 2×5,k= 3 = 5-2,前面结论正确;(2)如解图,正六边形只需旋转 3 次即可回到起始位置,旋转次数最少. 17.解:(1)一, 完全平方式展开时,丢掉了两个字母乘积 的 2 倍; (2)原式=a2 +b2 +2ab-(a2 -b2 )-2b2 =a2 +b2 +2ab-a2 +b2 -2b2 = 2ab, ∵ a、b 互为倒数,即 ab= 1, ∴ 原式= 2ab= 2×1 = 2. 18.解:(1)由表格可知被调查学生中“一般”档次的有 13 人,所占比例是 26%, ∴ 共调查的学生数是 13÷26% = 50, ∵ 12+x+7 = 50×60%,∴ x= 11, ∵ y+1 = 50-(1+2)-(6+7)-(12+11+7), ∴ y= 3; (2)扇形统计图中“优秀”类所在扇形的圆心角的度 数为 360°× 4 50 = 28. 8°; (3)由表格可知,原来的众数是 5, ∴ 只有去掉一个数据 5,众数才会变为 5 和 6, ∴ P(众数发生变化)= 12 50 = 6 25 ,去掉的数据是 5. 19.解:(1)an 能被 8 整除,理由如下: 由题意得 an =(2n+1) 2-(2n-1)2 =4n2+4n+1-(4n2-4n+1)= 8n, ∴ an 能被 8 整除; (2)由(1)知 an = 8n, 当 n= 2 时,2×12 = 2,a2 = 16 = 4 2 ,是完全平方数; 当 n= 8 时,2×22 = 8,a8 = 64 = 8 2 ,是完全平方数; 当 n= 18 时,2×32 = 18,a18 = 144 = 12 2 ,是完全平方数; 当 n= 32 时,2×42 = 32,a32 = 256 = 16 2 ,是完全平方数; 这一系列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数依 次为 16,64,144,256; 设 m2 表示完全平方数, 由 a2 ,a8 ,a18 ,a32 这 4 个完全平方数可知 n= 2m 2 , ∴ n 为一个完全平方数的两倍时,an 是完全平方数. 20.解:(1)设李明步行的速度是 x 米 /分,根据题意得 2 100 x -2 100 3x = 20, 解得 x= 70, 经检验 x= 70 是原方程的解,且符合题意. 答:李明步行的速度是 70 米 /分; (2)∵ 2 100 70 +2 100 3×70 +1 = 41<42, ∴ 李明能在联欢会开始前赶到学校. 21. (1)证明:∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线 段 CE, ∴ CE=CD,∠DCE= 90°, ∵ ∠BCA= 90°,∴ ∠BCD+∠ACD= ∠ACD+∠ACE, ∴ ∠ACE= ∠BCD, ∵ AC=BC,∴ △ACE≌△BCD(SAS); (2)解:∵ △ACE≌△BCD, ∴ BD=AE= 1,∠CAE= ∠B, ∵ ∠B+∠CAB= 90°,∴ ∠CAB+∠CAE= ∠DAE= 90°, ∴ △ADE 为直角三角形, 由题意可知△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形, 在等腰 Rt△CDE 中,DE= 2CE= 2, 在 Rt△ADE 中,AD= 22 -12 = 3 , ∴ AB=AD+BD= 3 +1; (3)解:0<x< 2 . 【解法提示】在 Rt △ABC 中, ∵ BC = AC = 2, ∴ AB = 2 2 ,由 ( 2 ) 知 △ADE 是直角三角形, 且 ∠DAE = 90°,∴ △ADE 的外心为线段 DE 的中点,如解图,设 DE 的中点为 O,连接 OA、OC,则 OA = OC,∴ 点 O 在 AC 的垂直平分线上,∴ 当点 O 为 AC 的中点时,DE 垂 直平分 AC,此时点 D 为 AB 的中点,即 BD = 2 ,∴ 当 点 O 在△ACD 内部时,x 的取值范围是 0<x< 2 . 第 21 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 22.解:(1)∵ 正比例函数 y= kx 与一次函数 y = -x+b 的图 象交于点 A(8,6), ∴ 6 = 8k,6 = -8+b, ∴ k= 3 4 ,b= 14, ∴ 正比例函数解析式为 y= 3 4 x, 一次函数解析式为 y= -x+14; (2)∵ PC⊥x 轴,P(2,0), ∴ 对于 y= 3 4 x,当 x= 2 时,y= 3 4 ×2 = 3 2 , 对于 y= -x+14,当 x= 2 时,y= -2+14 = 12, ∴ 点 B(2, 3 2 ),点 C(2,12), ∴ BC= 12- 3 2 = 21 2 , ∴ S△OBC = 1 2 ×2×21 2 = 21 2 ; (3)存在,当点 M 在 x 轴正半轴上时,设点 M 的坐标 为(m,0),m>0;当点 M 在 y 轴正半轴上时,设点 M 的 坐标为(0,n),n>0. ∵ △AOM 是以 OA 为腰的等腰三角形, ∴ 分 AO=OM 及 AO=AM 两种情况考虑. ① 当 AO = OM 时, 有 (8-0) 2 +(6-0) 2 = m 或 (8-0) 2 +(6-0) 2 =n, 解得 m= 10,n= 10, ∴ 点 M 的坐标为(10,0)或(0,10); ②当 AO=AM 时, 有 (8-0) 2 +(6-0) 2 = (m-8) 2 +(0-6) 2 或 (8-0) 2 +(6-0) 2 = (n-6) 2 +(0-8) 2 , 解得 m= 16,n= 12, ∴ 点 M 的坐标为(16,0)或(0,12) . 综上所述,点 M 的坐标为(10,0)或(0,10)或(16,0) 或(0,12) . 23. (1)证明:当 t= 1 时,☉O 的半径为 1, 如解图①,过点 P 作 PH⊥AC 于点 H, 图① 图② 第 23 题解图 ∵ ∠A= 30°,∴ HP= 1 2 AP= 1, ∴ ☉O 与 AC 边相切; (2)解:∵ ∠C = 90°,∠A = 30°,BC = 3,∴ AB = 6. ①当 2<t≤4 时,EF 之间的距离为 4,则☉O 的半径为 2, 情况一:当半径为 2 的☉O 同 BC 相切时,如解图②, 设切 点 为 M, 连 接 OM, 则 ∠MOB = 30°, OB = OM cos30° = 4 3 3 , 则 FB=OB-OF= 4 3 3 -2, 则 t=AB -AP-BF 1 = 18-4 3 3 ; 情况二:当半径为 2 的☉O 同 AC 相切时,如解图③, 由情况一同理可得 t= 4; 当 4<t≤6 时,☉O 的半径在减小,不可能和三角形的 边相切; ∴ ☉O 与△ABC 的边相切时 t 的值为18 -4 3 3 或 4; 图③ 图④ 第 23 题解图 ②当 t= 5 时,点 F 与点 B 重合,EF= 3, 如解图④,此时☉O 与△ABC 的重合部分是边长为 3 2 的等边三角形 OBG 和圆心角为 120°的扇形 EOG, 则重合部分的面积 = 3 4 × ( 3 2 ) 2 + 120×π×( 3 2 ) 2 360 = 9 3 16 +3π 4 . 24.解:(1)设 WA 与 x 的关系式为 WA = n x (x≥1) . ∵ 点(1,m+4),(2,m)在同一支双曲线 WA 上, ∴ m+4 = 2m,解得 m= 4,∴ n= 8,∴ WA = 8 x (x≥1),m+ 4 = 8, ∵ 点(1,8)在抛物线上,且在启动空调 2 小时时,B 实 验室空调的舒适指数达到最大, ∴ 8 = -2×(1-2) 2 +k, 解得 k= 10; (2)当 WB = 19 2 时,有19 2 = -2(x-2) 2 +10, 解得 x1 = 5 2 ,x2 = 3 2 , 当 x= 5 2 时,WA = 8 x = 16 5 , 当 x= 3 2 时,WA = 8 x = 16 3 , ∴ WB-WA = 19 2 -16 5 = 63 10 或 WB-WA = 19 2 -16 3 = 25 6 , ∵ 63 10 >25 6 , ∴ WB-WA 的较大值为 63 10 ; (3)令 1 = -2(x-2) 2 +10, 解得 x1 = 3 2 2 +2,x2 = - 3 2 2 +2(舍去), 令 1 = 8 x ,解得 x= 8, ∴ 两个实验室空调舒适指数小于 1 时,有 x≥8, x≥ 3 2 2 +2,{ 该不等式组的解集为 x≥8, ∴ 至少启动空调 8 小时后,两个实验室都不适合人居住. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25