12 2024年秦皇岛市海港区中考一模数学试题改编-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 在 Rt△DPH 中,PD= 13 , PH2 +DH2 =PD2 , ∴ (1-x2 )+(3+x) 2 = ( 13 ) 2 , 解得 x= 1 2 ,∴ CH= 1 2 , ∴ cos∠PCH=CH CP = 1 2 , ∴ ∠PCH= 60°, ∴ ∠PCE= 180°-60° = 120°, ∴ 劣弧 EP 的长度为120π ×1 180 = 2π 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12. 2024 年秦皇岛市海港区中考一模数学试题改编 1. B　 2. D　 3. A　 4. B　 5. D　 6. B　 7. A　 8. B　 9. D　 10. D 11. C　 【解析】 方法一: 如解图 ①, ∵ AE 平分 ∠CAB, ∴ ∠CAE= ∠BAE, ∵ AD ⊥ BC, ∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°, ∴ ∠CAD + ∠C = 90°, ∠DAB + ∠B = 90°, ∵ ∠CAD= ∠CAE - ∠DAE, ∠DAB = ∠BAE + ∠DAE, ∴ ∠C = 90° - ∠CAE + ∠DAE, ∠B = 90° - ∠BAE - ∠DAE,∴ ∠B < ∠C; 方法二: 如解图 ②, 连接 CN, ∵ MN 垂直平分 BC, ∴ CN = BN, ∴ ∠B = ∠NCB, ∵ ∠ACB>∠NCB,∴ ∠ACB>∠B;综上所述,两种方法 都可行. 图① 　 　 图② 第 11 题解图 12. C　 【解析】∵ 抛物线 y=a(x-1)(x-3)(a≠0)与 x 轴 交于点 A,B(A 在 B 左侧),∴ A(1,0),B(3,0),∴ AB= 2,∵ y=a(x-1)(x-3)= a(x-2) 2 -a,∴ 当内心与外心 重合时,顶点 C(2,-a),∵ A、B 两点与抛物线的顶点 构成的三角形的内心与外心重合,∴ △ABC 是等边三 角形,∴ C 到 x 轴的距离为 22 -12 = 3 ,∵ 拋物线的 顶点到 x 轴的距离比点 C 到 x 轴的距离大,∴ | -a | > 3 ,解得 a> 3或 a<- 3 . 13. 2 2 (答案不唯一) 14. 30　 15. -a +1 a 16. ②③　 【解析】∵ ∠ADC = ∠B+∠BAD,∴ ∠ADC 的度 数大于∠BAD,由题图②可知,y 始终大于 x,∴ 纵轴 y 表示∠ADC 的度数,横轴 x 表示∠BAD 的度数,故① 错误;设函数解析式为 y = kx+ b( k≠0),将( 0,40), (a,120)代入解析式得 b = 40, ka+b= 120,{ 解得 b= 40, k= 80 a ,{ ∴ y = 80 a x+40,∵ ∠ADC= ∠B+∠BAD,∴ y = x+∠B,∴ ∠B = 40 度,k= 80 a = 1,故②正确;∴ a= 80,故③正确;综上所 述,正确的是②③. 17.解:(1)乘法的分配律; (2)一,去分母时常数项 1 没有乘以最小公倍数; (3)1-x +1 2 ≤x -1 3 , 去分母,得 6-3(x+1)≤2(x-1), 去括号,得 6-3x-3≤2x-2, 移项,得-3x-2x≤-2-6+3, 合并同类项,得-5x≤-5, 系数化为 1,得 x≥1. 18.解:(1)如解图,△AB1C1 即为所求; 第 18 题解图 (2)如解图,点 D 即为所求, C1D 的长为 6 5 5 . 【解法提示】取格点 M,N,使 B1M ∶ C1N= 3 ∶ 2,且 B1M∥C1N,连接 MN 交 B1C1 于点 D,此 时△B1MD∽△C1ND,则 B1D ∶ C1D =B1M ∶ C1N = 3 ∶ 2,则点 D 即为所求. 易知 B1C1 = 3 5 , ∵ B1D ∶ C1D= 3 ∶ 2,∴ C1D= 2 5 B1C1 = 6 5 5 . 19. (1)解:B; (2)解:a +m b+m > a b ; (3)证明:∵ b>a>0,m>0, ∴ a +m b+m - a b = b(a+m)-a(b+m) b(b+m) = m(b-a) b(b+m) >0, ∴ a +m b+m > a b . 20.解:(1)5(2x2 +5x-1)-(6x+5x2 +2) = 10x2 +25x-5-6x-5x2 -2 = 5x2 +19x-7; (2)嘉琪的说法正确; 证明:A = 2(2x2 +5x-1)-(6x+5x2 +2) = 4x2 +10x-2-6x-5x2 -2 = -x2 +4x-4 = -(x-2) 2 . ∵ 无论 x 取何值时,(x-2) 2 ≥0, ∴ -(x-2) 2 ≤0,即 A≤0, ∴ 无论 x 取何值时,A 总是非正数. 21.解:(1)完成表格如下; 组别 平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 6. 7 6 6 3. 41 90% 20% 乙 7. 1 7. 5 8 1. 69 80% 10% 【解法提示】根据题意,甲组,乙组都是 10 人,具体如 下:甲组:3 分 1 人,6 分 5 人,7 分 1 人,8 分 1 人,9 分 1 人,10 分 1 人,乙组: 5 分 2 人, 6 分 1 人, 7 分 2 人,8 分 4 人,9 分 1 人,甲组的中位数是6 +6 2 = 6(分); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 合格率为 5+1+1+1+1 10 ×100% = 90%;乙组的平均数是 2×5+1×6+2×7+4×8+1×9 10 =7. 1(分);众数为 8 分. (2)乙组学生成绩的平均数高于甲组,说明乙组学生 整体水平高于甲组; 乙组学生成绩的方差低于甲 组,说明乙组学生成绩比甲组稳定; (3)把甲组两名优秀学生记为 A,B,乙组优秀的学生 记为 C,列表如下, A B C A — (A,B) (A,C) B (B,A) — (B,C) C (C,A) (C,B) — 由表可知,一共有 6 种等可能的结果,两名都是甲组 学生的有 2 种, ∴ P(两名都是甲组学生)= 2 6 = 1 3 . 22.解:【建立模型】(1)在平面直角坐标系中描点如解图所示, 第 22 题解图 这些点分布在同一条直线上; (2)设 y 与 x 的函数关系式为 y= kx+b(k,b 为常数,且 k≠0) . 将点(1,5. 5),(2,7)代入 y= kx+b 中, 得 k+b= 5. 5, 2k+b= 7,{ 解得 k= 1. 5, b= 4,{ ∴ y= 1. 5x+4, 当 x= 12 时,y= 1. 5×12+4 = 22, ∴ y 与 x 的函数关系式为 y = 1. 5x+ 4,当碗的数量为 12 个时,这摞碗的总高度为 22 厘米; 【结论应用】若能将碗一次性放进柜子里,则 1. 5x+ 4≤35, 解得 x≤62 3 , ∵ x 为正整数, ∴ x 的最大值为 20, ∴ 一摞最多能叠放 20 个碗可以一次性放进柜子里. 23. (1)证明:根据题意得∠NAM= ∠BAC, ∴ ∠BAM+∠NAB= ∠BAM+∠MAC, ∴ ∠NAB= ∠MAC, 又∵ AB=AC,AN=AM, ∴ △ABN≌△ACM(SAS); (2)证明:如解图①,当点 M 与点 D 重合时, ∵ AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴ AM⊥BC,BM=MC, ∴ ∠AMB= ∠AMC= 90°, ∵ △ABN≌△ACM, ∴ ∠BNA= ∠CMA= 90°,BN=CM, ∴ BN=BM,即 BN 是☉B 的半径, ∴ AN 与☉B 相切; (3)解:22. 【解法提示】如解图②,连接 AD,∵ AB = AC= 5,BC= 8,D 为 BC 的中点,∴ AD⊥BC,BD = DC = 1 2 BC= 4, ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°, ∴ AD = AB2 -BD2 = 3,∴ sin∠ACB= AD AC = 3 5 ,过点 B 作 BP⊥ AC,交 CA 的延长线于点 P,则 BP=BC·sin∠ACB= 8× 3 5 = 24 5 ,延长 PB 交☉B 于点 Q,连接 AQ,CQ,根据直 径是圆中最长的弦,得到 QP 是△ACQ 中 CA 边上最 长的高, 当点 M 与点 Q 重合时, △ACM 的面积最 大,为△ACQ 的面积,∵ S△ACQ = 1 2 AC·QP = 1 2 × 5 × ( 24 5 +4)= 22,∴ △ACM 面积的最大值为 22. 图① 　 图② 第 23 题解图 24.解:(1)y= - 1 4 x2 + 2x+ 8 = - 1 4 ( x2 - 8x) + 8 = - 1 4 ( x- 4) 2 +12, ∴ 点 P 发出后达到最高点的坐标为(4,12), 又∵ 四边形 ABCD 是正方形,AB = 8,S 为 AD 的中 点,∴ 点 S 的坐标为(0,8),点 D 的坐标为(4,8), ∴ P,D,C 在同一直线上,∠PDS= 90°, 在 Rt△PSD 中,PD=SD= 4, ∴ PS= PD2 +SD2 = 4 2 ; (2)设 L2 的解析式为 y= - 1 4 (x-h) 2 +7, 在 y= - 1 4 x2 +2x+8 中,令 y = 3,则 x = 10 或 x = -2(舍 去), ∴ 点 P 落在矩形 EFGH 的边 EH 上的点的坐标为 (10,3), 把(10,3)代入 y = - 1 4 ( x-h) 2 + 7,得- 1 4 ( 10 -h) 2 + 7 = 3, 解得 h= 14 或 h= 6(舍去), ∴ L2 的解析式为 y= - 1 4 (x-14) 2 +7; (3)点 P 向左平移距离 d 的取值范围是 2 7 -4≤d≤ 2;向右平移距离 d 的取值范围是 6-2 5 ≤d≤2. 【解 法提示】∵ 点 P 落在矩形 EFGH 的边 EH 上的点的坐 标为(10,3),∴ 点 P 向左或向右最多移动 2 个单位长 度,当 y= - 1 4 (x-14) 2 +7 = 0 时,解得 x= 14+2 7或 x= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 14-2 7 (舍去),当 y= - 1 4 (x-14) 2 +7 = 3 时,解得 x = 18 或 x= 10(舍去),14+2 7 -18 = 2 7 -4,∴ 点 P 向左 平移距离 d 的取值范围是 2 7 - 4 ≤ d≤ 2;当 y = - 1 4 (x-14) 2 +7 = 2 时,解得 x = 14+2 5 或 x = 14-2 5 (舍去),即拋物线 L2 落在正方形 LMNR 的边 LR 上的 点(14+2 5 ,2)处,点 R 的坐标为(4+4+4+6+2,2)即 (20,2),20-(14+ 2 5 ) = 6- 2 5 ,∴ 点 P 向右平移距 离 d 的取值范围是 6- 2 5 ≤d≤2;综上,点 P 向左平 移距离 d 的取值范围是 2 7 -4≤d≤2;向右平移距离 d 的取值范围是 6-2 5 ≤d≤2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13. 2024 年唐山市路南区中考数学二模试卷改编 1. A　 2. B　 3. B　 4. B　 5. A　 6. A　 7. C　 8. A　 9. B 10. C　 11. C 12. C　 【解析】如解图,连接 BD 交 AC 于点 G,∵ 四边形 ABCD 为菱形, ∴ BC = AB = 6, BD ⊥ AC, AC = 2AG, ∠ABD= 1 2 ∠ABC = 60°,在 Rt△AGB 中,AG = 3 2 AB = 3 3 ,∴ AC= 2AG = 6 3 ,由题意可知,AP = 3 t(0≤t≤ 6) . 如解图①所示,当点 P 在 AG 上时,0≤t≤3,重合 部分为 △EFA′,则 S△EFA = S△EFA′ = 4 3 ,在 Rt △APE 中,EF⊥AC,∠DAC= 30°,∴ EP=AP 3 = t,易知△EFA 为 等边三角形,∴ EF = 2EP = 2t,∴ S△EFA = 1 2 EF·AP = 1 2 ×2t× 3 t= 4 3 ,∴ t= 2;如解图②所示,当点 P 在 CG 上时,重合部分为△EFC,则 S△EFC = 4 3 ,在 Rt△CPE 中,EF⊥AC,∠DCA = 30°,CP = AC - AP = 6 3 - 3 t, ∴ EP = CP 3 = 6 - t, ∴ EF = 2EP = 12 - 2t, ∴ S△EFC = 1 2 EF·CP= 1 2 (12-2t)×(6 3 - 3 t)= 4 3 ,∴ t = 4. 综 上,t= 2 或 t= 4,即甲,丙答案合在一起才完整. 图① 图② 第 12 题解图 13. 3 　 14. 1. 5(答案不唯一)　 15. 4,3 16. (1) 3 5 ;(2) 4. 8　 【解析】 (1) ∵ ∠ACB = 90°,AC = 6, BC=8,∴ AB = AC2+BC2 = 62+82 = 10,∴ cos∠BAC = AC AB = 6 10 = 3 5 ;( 2) 当 CP⊥AB 时,线段 PC 取得最小 值,∵ ∠CPB = ∠ACB = 90°,∴ AC·BC 2 = AB·CP 2 ,即 6×8 2 = 10CP 2 ,解得 CP= 4. 8,即 PC 的最小值是 4. 8. 17.解:(1)4-6-11-2 = -2-11-2 = -13-2 = -15; (2)设佳佳所抄数字为 x, 根据题意可得 4+6-x-2≤7, 解得 x≥1. ∴ 佳佳所抄数字的最小值为 1. 18.解:(1)根据题意,得(2x2 - 3x- 1) -(x2 - 2x+ 3) = 2x2 - 3x-1-x2 +2x-3 = x2 -x-4,因为丙卡片上代数式的常数 项为 2,所以甲减乙不能使试验成功; (2)根据题意,得丙的代数式为 2x2 -3x-1+x2 -2x+3 = 3x2 -5x+2. 19.解:(1)总人数为 500÷50% = 1 000, 参加足球活动的学生人数为 1 000-300-500 = 200, 将条形统计图补充完整如解图; 参加各球类活动人数条形统计图 第 19 题解图 (2)①设篮球的单价为 x 元,则足球的单价为(x+30)元, 排球的单价为 4 5 x 元, 由题意得 3x+(x+30)+2× 4 5 x= 478, 解得 x= 80, 则 x+30 = 110, 4 5 x= 64, ∴ 篮球,足球和排球的单价分别为 80 元,110 元,64 元; ②由题意得 W = 52 × 80 + 110m+ 64 ( 48 -m) = 46m + 7 232,且 m≥ 1 5 ×52,即 m≥52 5 , ∵ m 为整数,∴ m 的最小值为 11, ∵ 46>0,∴ W 随 m 的增大而增大, ∴ 当 m= 11 时,W 取得最小值 7 738, ∵ 7 738<8 000, ∴ 学校准备 8 000 元的购买资金能满足要求. 20. (1)①证明:在△DEC 和△PBC 中, CD=CP, ∠DCE= ∠PCB, CE=CB, { 第 20 题解图① ∴ △DEC≌△PBC(SAS), ∴ ∠DEC= ∠PBC, ∴ BP∥DE; ②解:如解图①,延长 AC 交 ED 的延长线于点 F, ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ BC=AC,∠ACB= 60°, 又∵ CE=BC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 45　 　 12 2024 年秦皇岛市海港区中考一模数学试题改编 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. -8 的立方根是 ( B ) A. 2 B. -2 C. 1 2 D. - 1 2 2. 如图,某同学从地图上得知 A 地与 B 地之间的距离是 20 公里,但导航提供的路线长分别是 22 公 里,24. 5 公里,26 公里,其数学道理是 ( D ) A. 两点之间,直线最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间,线段最短 第 2 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 3. 幂的乘方运算、法则推导过程如下: (am) n =am·am·…·amüþ ýï ï ï ï ï ï n个 (第一步) =am+m+…+m { n个 (第二步) =amn(第三步) 甲:第一步的依据是乘方的意义;乙:第二步的依据是同底数幂的乘法法则;丙:第三步的依据是乘法的 意义. 下列判断正确的是 ( A ) A. 甲,乙,丙都对 B. 甲,乙,丙都错 C. 只有丙错 D. 只有乙错 4. 如图,圆弧形桥拱的跨度 AB= 12 米,拱高 CD= 4 米,则拱桥的半径为 ( B ) A. 3 米 B. 6. 5 米 C. 9 米 D. 15 米 5. 如图,直线 y= kx 与双曲线 y= m x 相交于点 A 和 B,已知点 A 的坐标为(4,1),则不等式 kx≥m x 的解集为 ( D ) A. x≥4 B. 0<x≤4 C. x≥4 或 x≤-4 D. x≥4 或-4≤x<0 6. 某市计划在一段公路的一侧栽上银杏树,要求路的两端各栽一棵,并且相邻两棵树的间隔都相等. 现有 树苗 x 棵,如果每隔 5 米栽 1 棵,则树苗缺 21 棵;如果每隔 6 米栽 1 棵,则树苗正好用完,则下列结论正 确的是 ( B ) A. 依题意 x 5 -1 = x 6 +1 B. 依题意 5(x+21-1)= 6(x-1) C. 现有树苗 105 棵 D. 这段公路长为 620 米 7. 如图②是图①中长方体的三视图,若用 S 表示面积,S主 = x2 +2x,S左 = x2 +x,则 S俯 = ( A ) A. x2 +3x+2 B. x2 +2 C. x2 +2x+1 D. 2x2 +3x 图① 图② 　 　 　 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8. 如图,若 x 为正整数,则表示 (x +2) 2 x2 +4x+4 - 1 x+1 的值的点落在 ( B ) A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 9. 如图,∠MON= 60°,以点 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OM 于点 A,交 ON 于点 B;分别以点 A,B 为 圆心,大于 1 2 AB 的长为半径画弧,两弧在∠MON 的内部相交于点 P,画射线 OP;连接 AB,AP,BP,过点 P 作 PE⊥OM 于点 E,PF⊥ON 于点 F,则以下结论错误的是 ( D ) A. △AOB 是等边三角形 B. PE=PF C. △PAE≌△PBF D. S△AOB =S△APB 10. 如图,在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为 16 ℃的豆浆和牛奶,同时浸入 100 ℃的热水中加热相同的时间,已知牛奶比豆浆的温度升高得慢,则上述实验的一段时间内,牛奶 和豆浆的温度 T(℃ )随加热时间 t(min)变化的图象是 ( D ) A B C D 11. 在△ABC 中,只用无刻度直尺和圆规比较∠B 与∠C 的大小. 除了“叠合法”外,嘉琪又想出两种方法: 方法一:作△ABC 的高 AD 和角平分线 AE,若 E 点在线段 BD 上,则说明∠B<∠C. 方法二:作 BC 边的中垂线 MN,若 MN 与 AB 边相交(不包括 A 点),则说明∠B<∠C. 下列说法正确的是 ( C ) A. 方法一可行,方法二不可行 B. 方法二可行,方法一不可行 C. 两种方法都可行 D. 两种方法都不可行 12. 抛物线 y=a(x-1)(x-3)(a≠0)与 x 轴交于点 A,B(A 在 B 左侧),A,B 两点与抛物线的顶点构成的三 角形,当内心与外心重合时,此时抛物线顶点记为点 C. 当拋物线的顶点到 x 轴的距离比点 C 到 x 轴 的距离大时,求 a 的取值范围. 甲求得 a> 3 ;乙求得 a<- 3 . 下列说法正确的是 ( C ) A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 二人答案合在一起才正确 D. 二人答案合在一起也不正确 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 46　 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 13. 请写出一个能与 2合并的二次根式(本身除外) . 14. 有三个相同的正六边形螺母,如图,将其中两个并排摆放在水平地面上,且有一个公共点,将第三个摆 放在上面,形成一个轴对称图形,则图中∠α 的大小为 度. 　 　 　 　 　 　 　 　 图① 　 　 　 　 图②第 14 题图 第 16 题图 15. 已知 a>0,S1 = 1 a ,S2 = -S1 -1,S3 = 1 S2 ,S4 = -S3 -1,S5 = 1 S4 ,…,即当 n 为大于 1 的奇数时,Sn = 1 Sn-1 ;当 n 为 大于 1 的偶数时,Sn = -Sn-1 -1,则 S2 024 = . 16. 如图①,锐角△ABC 中,D 为 BC 边上一点(不与 B,C 重合),连接 AD. 在∠BAD,∠DAC,∠ADC 三个角 中,某两个角之间的关系图象如图②. 下列说法:①纵轴 y 表示∠BAD 的度数,横轴 x 表示∠ADC 的度 数;②∠B= 40 度;③a= 80,正确的是 (填序号) . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分) 嘉嘉解不等式 1-x +1 2 ≤x -1 3 的过程如下: 解:去分母,得 1-3(x+1)≤2(x-1)…第一步, 去括号,得 1-3x-3≤2x-2…第二步, 移项,得-3x-2x≤-2-1+3…第三步, 合并同类项,得-5x≤0…第四步, 系数化为 1,得 x≥0…第五步, (1)以上解题过程中,第二步是依据 (填写相关的运算律)进行变形的; (2)第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 　 ; (3)写出正确的解题过程 18. (本小题满分 8 分) 如图是 6×6 的网格,每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 均在格点上,仅用无刻度的直尺,按要求完 成下列题目. (1)以点 A 为位似中心,将△ABC 放大 3 倍得到△AB1C1,请在网格中画出△AB1C1; (2)在线段 B1C1 上作点 D,使得 B1D ∶C1D= 3 ∶ 2,并直接∙∙ 写出 C1D 的长. 第 18 题图 19. (本小题满分 8 分) 将 a 克糖放入一杯水中,得到 b 克糖水(b>a>0) . (1)糖水的浓度为 ; A. a a+b B. a b C. b a (2)再往杯中加入 m(m>0)克糖,生活经验告诉我们糖水更甜了,用不等式表示加糖前后的浓度关系 为 ; (3)请证明(2)中的不等式成立. (1)解:B; (2)解:a +m b+m > a b ; (3)证明:∵ b>a>0,m>0,∴ a +m b+m - a b =b(a+m)-a(b+m) b(b+m) = m(b-a) b(b+m) >0,∴ a +m b+m > a b . 20. (本小题满分 8 分) 已知:A= 　 ×(2x2 +5x-1) -(6x+5x2 +2) . (1)当 　 = 5 时,请你化简:5(2x2 +5x-1) -(6x+5x2 +2); (2)嘉琪说:“当 　 = 2 时,无论 x 取何值时,A 总是非正数. ”嘉琪的说法是否正确? 并证明你的判断. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 47　 　 21. (本小题满分 9 分) 某校团委举办了一次“中国梦,我的梦”演讲比赛,满分 10 分,学生得分均为整数,成绩达 6 分以上 (含 6 分)为合格,达到 9 分以上(含 9 分)为优秀. 如图是这次竞赛中甲,乙两组学生成绩分布的条形 统计图. 第 21 题图 (1)完成下表; 组别 平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 6. 7 6 3. 41 20% 乙 7. 5 1. 69 80% 10% (2)甲组学生说他们组的合格率,优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组. 但乙组学生不同 意甲组学生的说法,认为乙组的成绩要好于甲组. 请你给出两条支持乙组学生观点的理由; (3)从甲,乙两组优秀的学生中抽取两名学生参加比赛,求两名都是甲组学生的概率. 22. (本小题满分 9 分) 嘉嘉同学在帮妈妈整理厨房时,想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为 35 厘米的柜子里. 他 把碗按如图那样整齐地叠放成一摞(如图①),但他不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里. 【探究发现】嘉嘉同学测量后发现,按这样叠放,这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化,记录的数 据如表; 碗的个数 x(个) 1 2 3 4 5 这摞碗的总高度 y(厘米) 5. 5 7 8. 5 10 11. 5 【建立模型】 (1)请根据表中信息,在如图②的平面直角坐标系中描出对应点,并指出这些点的分布规律; (2)求 y 与 x 的函数关系式,并求当碗的数量为 12 个时这摞碗的总高度; 【结论应用】请帮嘉嘉同学算一算,一摞最多能叠放几个碗可以一次性放进柜子里. 图① 　 　 图② 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 48　 23. (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 中,AB=AC= 5,BC= 8,D 为 BC 的中点,以 B 为圆心,BD 长为半径作☉B. M 为☉B 上一 点,连接 AM,CM,将 AM 绕 A 点顺时针旋转∠BAC 的度数,得线段 AN,连接 BN. (1)求证:△ABN≌△ACM; (2)当点 M 与点 D 重合时,求证:AN 与☉B 相切; (3)△ACM 面积的最大值为 . 第 23 题图 　 　 备用图 24. (本小题满分 12 分) 如图是某数学学习小组设计的动画游戏: x 轴上依次有一个正方形 ABCD,矩形 EFGH,正方形 LMNR,其中 AB= 8,CF=FG= 4,EF= 3,GM= 6,LR= 2,O,S 分别为 BC,AD 的中点,以直线 OS 为 y 轴建 立平面直角坐标系. 从点 S 处向右上方沿拋物线 L1:y= - 1 4 x2 +2x+8 发出一个带光的点 P. 点 P 落在矩 形 EFGH 的边 EH 上后立即弹起,形成最大高度为 7 的抛物线 L2;落在正方形 LMNR 的边 LR 上后又 立即弹起形成最大高度为 3 的抛物线 L3,经过两次弹起后点 P 落在 x 轴上,已知 L1,L2,L3 形状相同. (1)当点 P 发出后达到最大高度时,求点 P 到点 S 的距离; (2)求点 P 第一次弹起后形成的拋物线 L2 的解析式; (3)左右平移发出点 P 的位置(点 P 只能在 AD 边上发出,其他保持不变)若使点 P 只经过一次弹起 后就能落在 x 轴上,直接 ∙∙ 写出点 P 的移动方向和移动距离 d 的取值范围. 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋